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कक्षा 9 गणित अभ्यास के प्रश्न के हल (Introduction to Linear Polynomials)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

किसी चरण पर अटके हैं?

इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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अभ्यास प्रश्न 1
x में एक घात-3 बहुपद लिखिए जिसका x² गुणांक −7 हो।
1. घात 3 का बहुपद वह होता है जिसमें x की सर्वोच्च घात 3 है।
2. ऐसे बहुपद का सामान्य रूप ax³ + bx² + cx + d है, जहां a शून्य नहीं है।
3. प्रश्न में x² पद का गुणांक −7 होने के लिए कहा गया है, इसलिए हम b = −7 रखते हैं।
4. बहुपद को पूरा करने के लिए हम a के लिए कोई भी गैर-शून्य मान और c और d के लिए कोई भी मान चुन सकते हैं।
5. a = 1, c = 2, और d = 1 चुनने से बहुपद x³ − 7x² + 2x + 1 मिलता है।
उत्तर: x³ − 7x² + 2x + 1
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अभ्यास प्रश्न 2
निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए (i) 5x² − 3x + 7 को x = 1 पर, (ii) 4t³ − t² + 6 को t = a पर।
1. (i) व्यंजक 5x² − 3x + 7 में x = 1 प्रतिस्थापित कीजिए।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
2. (i) 5(1)² − 3(1) + 7 की गणना कीजिए।
3. (i) 5 − 3 + 7 को सरल कीजिए।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
4. (i) परिणाम 9 है।
5. (ii) व्यंजक 4t³ − t² + 6 में t = a प्रतिस्थापित कीजिए।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. (ii) परिणाम 4a³ − a² + 6 है।
उत्तर: (i) 9; (ii) 4a³ − a² + 6
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अभ्यास प्रश्न 3
एक संख्या को 5/2 से गुणा करके 2/3 जोड़ने पर −7/12 मिलता है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।
1. आवश्यक संख्या को x मान लीजिए।
2. प्रश्न के अनुसार, 5/2 गुणा x जमा 2/3 बराबर −7/12।
3. समीकरण को (5/2)x + 2/3 = −7/12 के रूप में लिखिए।
4. x वाले पद को अलग करने के लिए दोनों पक्षों से 2/3 घटाइए।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
5. (5/2)x = −7/12 − 2/3।
6. 2/3 को बारहवें में परिवर्तित कीजिए, जो 8/12 है।
7. (5/2)x = −7/12 − 8/12।
8. (5/2)x = −15/12।
9. भिन्न −15/12 को −5/4 में सरल कीजिए।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
10. (5/2)x = −5/4।
11. x के लिए हल करने के लिए दोनों पक्षों को 2/5 से गुणा कीजिए।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
12. x = (−5/4) × (2/5)।
13. x = −1/2।
उत्तर: −1/2
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अभ्यास प्रश्न 4
एक धनात्मक संख्या दूसरी से 5 गुना है। दोनों में 21 जोड़ने से एक नई संख्या दूसरी का दोगुना हो जाती है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
1. मान लीजिए छोटी संख्या x है, तो बड़ी संख्या 5x है।
2. दोनों में 21 जोड़ने के बाद, संख्याएँ x + 21 और 5x + 21 बन जाती हैं।
3. यदि इसके बजाय x + 21 दो बार 5x + 21 होता, तो x + 21 = 10x + 42 से x = −21/9 मिलता, जो ऋणात्मक है, इसलिए वह स्थिति संभव नहीं है।
4. समस्या के अनुसार, बड़ी नई संख्या छोटी नई संख्या का दोगुना है: 5x + 21 = 2(x + 21)।
5. दाईं ओर को विस्तारित करने से 5x + 21 = 2x + 42 मिलता है।
  क्यों?
  विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
6. दोनों पक्षों से 2x घटाने से 3x + 21 = 42 मिलता है।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
7. दोनों पक्षों से 21 घटाने से 3x = 21 मिलता है।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
8. 3 से भाग देने से x = 7 मिलता है।
9. बड़ी संख्या 5x = 5 × 7 = 35 है।
उत्तर: संख्याएँ 7 और 35 हैं।
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अभ्यास प्रश्न 5
₹800 से शुरू करें और प्रति महीने ₹250 की बचत करें: (i) 6 महीने के बाद, (ii) 2 वर्ष के बाद कुल राशि, और रैखिक पैटर्न ज्ञात करें।
1. (i) प्रारंभिक राशि ₹800 है और मासिक बचत ₹250 है।
2. (i) 6 महीनों के लिए, कुल बचत 250 × 6 = ₹1500 है।
3. (i) 6 महीने के बाद कुल राशि 800 + 1500 = ₹2300 है।
4. (ii) दो वर्ष 24 महीने के बराबर है।
5. (ii) 24 महीनों में कुल बचत 250 × 24 = ₹6000 है।
6. (ii) 2 वर्ष के बाद कुल राशि 800 + 6000 = ₹6800 है।
7. मान लीजिए n बीते हुए महीनों की संख्या है।
8. कुल राशि के लिए रैखिक पैटर्न 800 + 250n है।
उत्तर: (i) 2300; (ii) 6800; 800 + 250n
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अभ्यास प्रश्न 6
एक दो-अंकीय संख्या के अंक 3 से भिन्न हैं; संख्या और उसके विपरीत का योग 143 है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।
1. मान लीजिए इकाई का अंक x है और दहाई का अंक x + 3 है।
2. संख्या 10(x + 3) + x है, जो 11x + 30 को सरल करता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
3. विपरीत संख्या 10x + (x + 3) है, जो 11x + 3 को सरल करता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
4. संख्या और उसके विपरीत का योग (11x + 30) + (11x + 3) = 22x + 33 है।
5. योग को 143 के बराबर सेट करें: 22x + 33 = 143।
6. दोनों पक्षों से 33 घटाएँ: 22x = 110।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
7. 22 से भाग दें: x = 5।
8. इकाई का अंक 5 है और दहाई का अंक 5 + 3 = 8 है।
9. यदि इकाई का अंक बड़ा होता, फिर भी वही दोनों अंक 5 और 8 आते हैं, जिससे संख्याओं का वही युग्म प्राप्त होता है।
10. दोनों संख्याएँ 85 और 58 हैं।
उत्तर: 85, 58
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अभ्यास प्रश्न 7
प्रत्येक रेखा को ग्राफ करें और इसकी ढलान, y-अंतःखंड और वह बिंदु दें जहाँ यह y-अक्ष को काटती है: (i) y = −3x + 4, (ii) 2y = 4x + 7, (iii) 5y = 6x − 10, (iv) 3y = 6x − 11। कौन सी रेखाएँ समानांतर हैं?
1. (i) y = −3x + 4 को ढलान-अंतःखंड रूप y = mx + c में फिर से लिखें, इसलिए ढलान m = −3 और y-अंतःखंड c = 4।
2. (i) रेखा y-अक्ष को बिंदु (0, 4) पर काटती है।
3. (ii) 2y = 4x + 7 को 2 से भाग दें तो y = 2x + 7/2 मिलता है, इसलिए ढलान m = 2 और y-अंतःखंड c = 7/2।
4. (ii) रेखा y-अक्ष को बिंदु (0, 7/2) पर काटती है।
5. (iii) 5y = 6x − 10 को 5 से भाग दें तो y = (6/5)x − 2 मिलता है, इसलिए ढलान m = 6/5 और y-अंतःखंड c = −2।
6. (iii) रेखा y-अक्ष को बिंदु (0, −2) पर काटती है।
7. (iv) 3y = 6x − 11 को 3 से भाग दें तो y = 2x − 11/3 मिलता है, इसलिए ढलान m = 2 और y-अंतःखंड c = −11/3।
8. (iv) रेखा y-अक्ष को बिंदु (0, −11/3) पर काटती है।
9. रेखाएँ (ii) और (iv) दोनों की ढलान 2 है, इसलिए वे समानांतर हैं।
उत्तर: (i) ढलान −3, y-अंतःखंड (0, 4); (ii) ढलान 2, y-अंतःखंड (0, 7/2); (iii) ढलान 6/5, y-अंतःखंड (0, −2); (iv) ढलान 2, y-अंतःखंड (0, −11/3); (ii) और (iv) समानांतर हैं
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अभ्यास प्रश्न 8
y °F = (9/5)(x − 273) + 32, जहाँ x K है। (i) 313 K को °F में; (ii) 158 °F को K में।
1. (i) सूत्र y = (9/5)(x − 273) + 32 में x = 313 को प्रतिस्थापित करें।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
2. (i) कोष्ठक के अंदर का अंतर ज्ञात करें: 313 − 273 = 40।
3. (i) 9/5 से गुणा करें: (9/5) × 40 = 72।
4. (i) परिणाम में 32 जोड़ें: 72 + 32 = 104।
5. (ii) सूत्र 158 = (9/5)(x − 273) + 32 में y = 158 को प्रतिस्थापित करें।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. (ii) दोनों पक्षों से 32 घटाएं: 158 − 32 = 126।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
7. (ii) पद को अलग करने के लिए दोनों पक्षों को 5/9 से गुणा करें: 126 × (5/9) = 70।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
8. (ii) x ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों में 273 जोड़ें: 70 + 273 = 343।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
उत्तर: (i) 104 °F; (ii) 343 K
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अभ्यास प्रश्न 9
कार्य = बल × दूरी: इसे w और d में एक रैखिक समीकरण के रूप में लिखें जब बल 3 इकाई हो, इसका आलेख बनाएं, और 2 इकाई की दूरी के लिए कार्य ज्ञात करें।
1. कार्य का सूत्र है Work = Force × Distance।
2. यहाँ, बल 3 इकाई है, इसलिए समीकरण w = 3 × d है।
3. यह रैखिक समीकरण w = 3d देता है।
4. इसका आलेख बनाने के लिए बिंदु ज्ञात करें: जब d = 0, w = 0; जब d = 1, w = 3; जब d = 2, w = 6।
5. बिंदु (0, 0), (1, 3), और (2, 6) को आलेख पर आलेखित करें और इनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें।
6. 2 इकाई की दूरी के लिए कार्य ज्ञात करने के लिए समीकरण w = 3d में d = 2 को प्रतिस्थापित करें।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
7. w = 3 × 2 = 6।
उत्तर: w = 3d; 6 इकाई
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अभ्यास प्रश्न 10
एक रैखिक p(x) (1, 5) और (3, 11) से होकर गुजरता है। (i) p(x) ज्ञात करें; (ii) इसका आलेख अक्षों को कहाँ काटता है; (iii) आलेख बनाएं और सत्यापित करें।
1. (i) माना p(x) = ax + b।
2. (1, 5) को प्रतिस्थापित करके a + b = 5 प्राप्त करें।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
3. (3, 11) को प्रतिस्थापित करके 3a + b = 11 प्राप्त करें।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
4. दूसरी समीकरण से पहली को घटाएं: 2a = 6, इसलिए a = 3।
5. a = 3 को a + b = 5 में प्रतिस्थापित करके b = 2 प्राप्त करें।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. इसलिए, p(x) = 3x + 2।
7. (ii) y-अवरोधन ज्ञात करने के लिए p(x) = 3x + 2 में x = 0 रखें।
8. p(0) = 3(0) + 2 = 2, इसलिए आलेख y-अक्ष को (0, 2) पर काटता है।
9. x-अवरोधन ज्ञात करने के लिए p(x) = 0 रखें।
10. 3x + 2 = 0 से 3x = −2, इसलिए x = −2/3।
11. आलेख x-अक्ष को (−2/3, 0) पर काटता है।
12. (iii) (0, 2) और (−2/3, 0) से गुजरने वाली रेखा खींचें।
13. यह जाँचकर सत्यापित करें कि रेखा (1, 5) और (3, 11) से भी गुजरती है।
उत्तर: (i) p(x) = 3x + 2; (ii) (0, 2), (−2/3, 0); (iii) आलेख एक सीधी रेखा है जो इन बिंदुओं से गुजरती है।
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अभ्यास प्रश्न 11
p(x) = ax + b, q(x) = cx + d जहाँ p(0) = 5, p(x) − q(x) x = 3 पर शून्य है, और p(x) + q(x) = 6x + 4। p(x) और q(x) ज्ञात करें।
1. दिया गया है p(x) = ax + b और q(x) = cx + d।
2. चूँकि p(0) = 5, x = 0 को प्रतिस्थापित करने से a(0) + b = 5, इसलिए b = 5।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
3. इसलिए p(x) = ax + 5।
4. दिया गया है p(x) + q(x) = 6x + 4, हम पाते हैं (ax + 5) + (cx + d) = 6x + 4।
5. x के गुणांकों की तुलना करने से: a + c = 6।
6. अचर पदों की तुलना करने से: 5 + d = 4, इसलिए d = −1।
7. इसलिए q(x) = cx − 1।
8. दिया गया है p(x) − q(x) x = 3 पर शून्य है, हम पाते हैं (ax + 5) − (cx − 1) = 0, x = 3 पर।
9. सरल करने से: (a − c)x + 6 = 0। x = 3 पर: 3(a − c) + 6 = 0।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
10. इसलिए 3(a − c) = −6, जो a − c = −2 देता है।
11. हमारे पास अब a + c = 6 और a − c = −2 है।
12. दोनों समीकरणों को जोड़ने से: 2a = 4, इसलिए a = 2।
13. a = 2 को a + c = 6 में प्रतिस्थापित करने से 2 + c = 6, इसलिए c = 4।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
14. इसलिए p(x) = 2x + 5 और q(x) = 4x − 1।
उत्तर: p(x) = 2x + 5, q(x) = 4x − 1
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अभ्यास प्रश्न 12
एक पंक्ति में माचिस की छड़ियों से बने षट्भुज (प्रत्येक नया षट्भुज पिछले वाले के साथ एक भुजा साझा करता है): (i) चरण 4 और 5 के लिए माचिस की छड़ियाँ; (ii) चरण 1 से 5 और n के लिए तालिका; (iii) चरण n के लिए नियम; (iv) चरण 15; (v) क्या 200 माचिस की छड़ियाँ किसी चरण को बना सकती हैं?
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. (i) चरण 1 में 6 माचिस की छड़ियाँ लगती हैं। पंक्ति में जोड़ा गया प्रत्येक नया षट्भुज पिछले वाले के साथ एक भुजा साझा करता है, इसलिए इसके लिए 5 अतिरिक्त माचिस की छड़ियाँ आवश्यक हैं।
2. (i) चरण 4 के लिए, हम पहले षट्भुज में 3 और षट्भुज जोड़ते हैं: 6 + 3 × 5 = 6 + 15 = 21 माचिस की छड़ियाँ।
3. (i) चरण 5 के लिए, हम पहले षट्भुज में 4 और षट्भुज जोड़ते हैं: 6 + 4 × 5 = 6 + 20 = 26 माचिस की छड़ियाँ।
4. (ii) चरण 1: 6 माचिस की छड़ियाँ। चरण 2: 6 + 5 = 11। चरण 3: 11 + 5 = 16। चरण 4: 16 + 5 = 21। चरण 5: 21 + 5 = 26।
5. (ii) चरण 1 से 5 के लिए माचिस की छड़ियों की तालिका है: 6, 11, 16, 21, 26।
6. (iii) चरण n में पहले षट्भुज के लिए 6 माचिस की छड़ियाँ हैं और अन्य n − 1 षट्भुजों में से प्रत्येक के लिए 5 माचिस की छड़ियाँ हैं: 6 + 5(n − 1) = 5n + 1।
7. (iv) चरण 15 के लिए, नियम में n = 15 को प्रतिस्थापित करें: 5 × 15 + 1 = 75 + 1 = 76 माचिस की छड़ियाँ।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
8. (v) यह जाँचने के लिए कि क्या 200 माचिस की छड़ियाँ किसी चरण को बना सकती हैं, 5n + 1 = 200 सेट करें।
9. (v) n के लिए हल करने पर: 5n = 199, इसलिए n = 199 ÷ 5 = 39.8।
10. (v) चूँकि n एक पूर्ण संख्या होनी चाहिए (आप किसी चरण का अंश नहीं रख सकते), 200 माचिस की छड़ियाँ एक पूर्ण चरण नहीं बना सकती।
उत्तर: (i) चरण 4: 21, चरण 5: 26; (ii) 6, 11, 16, 21, 26, …, 5n + 1; (iii) 5n + 1; (iv) 76; (v) नहीं, क्योंकि 5n + 1 = 200 से n = 39.8 मिलता है, जो पूर्ण संख्या नहीं है
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अभ्यास प्रश्न 13
p(x) = ax + b बिंदुओं (2, 3) और (6, 11) से गुजरता है; q(x) = cx + d बिंदु (4, −1) से गुजरता है और p के समानांतर है। p(x), q(x) ज्ञात कीजिए और प्रत्येक रेखा x-अक्ष को कहाँ काटती है।
1. p(x) = ax + b बिंदु (2, 3) से गुजरता है, इसलिए 2a + b = 3।
2. p(x) = ax + b बिंदु (6, 11) से गुजरता है, इसलिए 6a + b = 11।
3. दूसरे समीकरण से पहला समीकरण घटाने पर 4a = 8 मिलता है, इसलिए a = 2।
4. 2a + b = 3 में a = 2 को प्रतिस्थापित करने पर 4 + b = 3 मिलता है, इसलिए b = −1।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
5. इसलिए, p(x) = 2x − 1।
6. q(x) = cx + d, p(x) के समानांतर है, इसलिए इसकी ढाल c, a के बराबर है, जिसका अर्थ है c = 2।
7. q(x) = 2x + d बिंदु (4, −1) से गुजरता है, इसलिए 2(4) + d = −1।
8. 8 + d = −1 को हल करने पर d = −9 मिलता है।
9. इसलिए, q(x) = 2x − 9।
10. p(x) जहाँ x-अक्ष को काटता है, वह ज्ञात करने के लिए, p(x) = 0 सेट करें, इसलिए 2x − 1 = 0।
11. 2x = 1 को हल करने पर x = 1/2 मिलता है, इसलिए बिंदु (1/2, 0) है।
12. q(x) जहाँ x-अक्ष को काटता है, वह ज्ञात करने के लिए, q(x) = 0 सेट करें, इसलिए 2x − 9 = 0।
13. 2x = 9 को हल करने पर x = 9/2 मिलता है, इसलिए बिंदु (9/2, 0) है।
उत्तर: p(x) = 2x − 1; q(x) = 2x − 9; (1/2, 0); (9/2, 0)
इस हल में गलती बताएँ
अभ्यास प्रश्न 14
सभी रैखिक फलन f(x) = ax + a, जहाँ a > 0, में क्या समानता है?
1. दिया गया रैखिक फलन f(x) = ax + a है, जहाँ a, 0 से बड़ा है।
2. सामान्य बिंदु खोजने के लिए, x-अंतःखंड (x-intercept) खोजने हेतु f(x) को 0 के बराबर रखें।
3. ax + a = 0 को हल करने पर ax = −a प्राप्त होता है।
4. दोनों पक्षों को a से भाग देने पर (चूँकि a, 0 नहीं है) x = −1 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
5. फलन में x = −1 प्रतिस्थापित करने पर f(−1) = a(−1) + a = 0 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. यह दर्शाता है कि a के किसी भी मान के लिए, ग्राफ बिंदु (−1, 0) से गुजरता है।
7. साथ ही f(x) = a(x + 1): ढलान (slope) a और y-अंतःखंड (y-intercept) a बराबर और धनात्मक हैं, इसलिए प्रत्येक ऐसी रेखा दाईं ओर ऊपर की ओर जाती है और मूल बिंदु (origin) के ऊपर (0, a) पर y-अक्ष को काटती है।
उत्तर: सभी ऐसे रैखिक फलन बिंदु (−1, 0) से गुजरते हैं; प्रत्येक का ढलान उसके y-अंतःखंड के बराबर होता है, a > 0, इसलिए प्रत्येक रेखा दाईं ओर ऊपर की ओर जाती है।
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कक्षा 9 गणित अभ्यास के प्रश्न के हल (Introduction to Linear Polynomials)

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