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कक्षा 9 गणित अभ्यास के प्रश्न के हल (I’m Up and Down, and Round and Round)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

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How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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अभ्यास प्रश्न 1
एक जीवा एक 13 cm त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 5 cm की दूरी पर है। इसकी लंबाई ज्ञात कीजिए।
1. मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और AB 2x cm लंबाई की जीवा है।
2. AB के लंबवत OM खींचें, ताकि OM = 5 cm और AM = MB = x cm।
3. समकोण त्रिभुज OMA में, OA त्रिज्या है, इसलिए OA = 13 cm।
4. पाइथागोरस प्रमेय लागू करें: OA² = OM² + AM²।
5. मानों को प्रतिस्थापित करें: 13² = 5² + x²।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. वर्गों की गणना करें: 169 = 25 + x²।
7. x² के लिए हल करें: x² = 169 − 25 = 144।
8. x ज्ञात करें: x = √144 = 12 cm।
9. जीवा AB की लंबाई 2x = 2 × 12 = 24 cm है।
उत्तर: 24 cm
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अभ्यास प्रश्न 2
एक चाप केंद्र पर 70° का कोण बनाता है। यह वृत्त पर एक बिंदु पर क्या कोण बनाता है?
1. एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण 70° दिया गया है।
2. एक ही चाप द्वारा वृत्त के शेष भाग के किसी भी बिंदु पर बनाया गया कोण केंद्र पर बनाए गए कोण का आधा होता है।
3. बिंदु पर कोण की गणना करें: 70° ÷ 2 = 35°।
उत्तर: 35°
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अभ्यास प्रश्न 3
26 सेमी व्यास वाले एक वृत्त की एक जीवा 24 सेमी है। केंद्र से जीवा की दूरी ज्ञात करें।
1. माना O वृत्त का केंद्र है और AB, 24 सेमी लंबाई की जीवा है।
2. O से जीवा AB पर एक लंब खींचें जो इसे बिंदु M पर मिलता है।
3. चूंकि केंद्र से खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए AM = 24 ÷ 2 = 12 सेमी।
  क्यों?
  वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है (इससे बने दोनों समकोण त्रिभुज RHS से सर्वांगसम होते हैं)।
4. वृत्त की त्रिज्या व्यास का आधा है, इसलिए OA = 26 ÷ 2 = 13 सेमी।
5. समकोण त्रिभुज OMA में पाइथागोरस प्रमेय लागू करें: OM² + AM² = OA²।
6. ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें: OM² + 12² = 13²।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
7. वर्गों की गणना करें: OM² + 144 = 169।
8. OM² के लिए हल करें: OM² = 169 − 144 = 25।
9. OM ज्ञात करने के लिए वर्गमूल लें: OM = √25 = 5 सेमी।
10. केंद्र से जीवा की दूरी OM की लंबाई है।
उत्तर: 5 सेमी
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अभ्यास प्रश्न 4
15 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त के केंद्र से 9 सेमी दूर एक जीवा है। इसकी लंबाई ज्ञात करें।
1. माना O वृत्त का केंद्र है और AB, 2x सेमी लंबाई की जीवा है।
2. O से जीवा AB पर लंब खींचें जो इसे M पर मिलता है।
3. केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए AM = MB = x सेमी।
  क्यों?
  वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है (इससे बने दोनों समकोण त्रिभुज RHS से सर्वांगसम होते हैं)।
4. केंद्र से जीवा की दूरी दी गई है OM = 9 सेमी।
5. वृत्त की त्रिज्या OA = 15 सेमी है।
6. समकोण त्रिभुज OMA में पाइथागोरस प्रमेय लागू करें: OA² = OM² + AM²।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
7. ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें: 15² = 9² + x²।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
8. वर्गों की गणना करें: 225 = 81 + x²।
9. x² ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें: x² = 225 − 81 = 144।
10. x ज्ञात करने के लिए वर्गमूल लें: x = √144 = 12 सेमी।
11. जीवा AB की कुल लंबाई 2x = 2 × 12 = 24 सेमी है।
उत्तर: 24 सेमी
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अभ्यास प्रश्न 5
सिद्ध करें कि किसी जीवा का लंब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
1. माना AB एक वृत्त की जीवा है जिसका केंद्र O है।
2. माना M जीवा AB का मध्यबिंदु है, इसलिए AM = MB।
3. AB का लंब समद्विभाजक खींचें जो M से होकर जाता है।
4. त्रिभुज OMA और OMB बनाने के लिए OA और OB को जोड़ें।
5. त्रिभुज OMA और OMB में, OA = OB क्योंकि दोनों एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
6. AM = MB क्योंकि M जीवा AB का मध्यबिंदु है।
7. OM त्रिभुज OMA और OMB दोनों के लिए सामान्य है।
8. इसलिए, SSS सर्वांगसमता कसौटी द्वारा त्रिभुज OMA त्रिभुज OMB के सर्वांगसम है।
9. सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भागों द्वारा, कोण OMA कोण OMB के बराबर है।
10. चूंकि कोण OMA और कोण OMB एक रैखिक युग्म बनाते हैं, इनका योग 180 डिग्री है।
11. इसलिए, कोण OMA = कोण OMB = 90 डिग्री।
12. यह सिद्ध करता है कि रेखा OM जीवा AB के लंबवत है।
13. M से होकर AB के लंबवत केवल एक ही रेखा है, इसलिए AB का लंब समद्विभाजक रेखा OM है।
14. इसलिए लंब समद्विभाजक केंद्र O से होकर जाता है (यदि AB एक व्यास है, तो M स्वयं O है और परिणाम तुरंत सिद्ध है)।
उत्तर: किसी जीवा का लंब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर जाता है।
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अभ्यास प्रश्न 6
AB एक व्यास है और C वृत्त पर एक बिंदु है। ∠ACB ज्ञात करें और व्याख्या दें।
1. AB वृत्त का व्यास है और C परिधि पर एक बिंदु है।
2. व्यास द्वारा वृत्त पर किसी भी बिंदु पर अंतरित कोण एक समकोण होता है।
3. इसलिए, कोण ACB 90° है।
उत्तर: 90°
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अभ्यास प्रश्न 7
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें ∠A = 75° और ∠B = 110° है। ∠C और ∠D ज्ञात कीजिए।
1. एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
  क्यों?
  चक्रीय चतुर्भुज (जिसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर हों) के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
2. दिया गया है: ∠A = 75° और ∠B = 110°।
3. चूंकि ∠A और ∠C सम्मुख हैं, इसलिए ∠A + ∠C = 180°।
4. ∠A का मान प्रतिस्थापित करें: 75° + ∠C = 180°।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
5. ∠C के लिए हल करें: ∠C = 180° − 75° = 105°।
6. चूंकि ∠B और ∠D सम्मुख हैं, इसलिए ∠B + ∠D = 180°।
7. ∠B का मान प्रतिस्थापित करें: 110° + ∠D = 180°।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
8. ∠D के लिए हल करें: ∠D = 180° − 110° = 70°।
उत्तर: ∠C = 105°, ∠D = 70°
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अभ्यास प्रश्न 8
PQRS एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें ∠P = (2x + 10)° और ∠R = (3x − 20)° है। x, ∠P और ∠R ज्ञात कीजिए।
1. एक चक्रीय चतुर्भुज में, सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
  क्यों?
  चक्रीय चतुर्भुज (जिसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर हों) के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
2. इसलिए, ∠P + ∠R = 180°।
3. दिए गए व्यंजकों को प्रतिस्थापित करें: (2x + 10) + (3x − 20) = 180।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
4. समीकरण को सरल करें: 5x − 10 = 180।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
5. दोनों पक्षों में 10 जोड़ें: 5x = 190।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
6. 5 से भाग दें: x = 38।
7. ∠P की गणना करें: 2(38) + 10 = 76 + 10 = 86°।
8. ∠R की गणना करें: 3(38) − 20 = 114 − 20 = 94°।
उत्तर: x = 38, ∠P = 86°, ∠R = 94°
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अभ्यास प्रश्न 9
16 सेमी लंबी एक जीवा केंद्र से 6 सेमी दूर है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
1. O को वृत्त का केंद्र माना जाए और AB को 16 सेमी लंबी जीवा माना जाए।
2. केंद्र O से AB पर एक लंब OM खींचें, जहाँ M, AB का मध्य बिंदु है।
3. चूंकि केंद्र से जीवा पर लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए AM = 16 ÷ 2 = 8 सेमी।
  क्यों?
  वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है (इससे बने दोनों समकोण त्रिभुज RHS से सर्वांगसम होते हैं)।
4. केंद्र से जीवा की दूरी दी गई है: OM = 6 सेमी।
5. समकोण त्रिभुज OMA में, पाइथागोरस प्रमेय लागू करें: OA² = OM² + AM²।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
6. मानों को प्रतिस्थापित करें: OA² = 6² + 8²।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
7. वर्गों की गणना करें: OA² = 36 + 64।
8. संख्याओं को जोड़ें: OA² = 100।
9. त्रिज्या ज्ञात करने के लिए वर्गमूल लें: OA = √100 = 10 सेमी।
उत्तर: 10 सेमी
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अभ्यास प्रश्न 10
एक चक्रीय चतुर्भुज की भुजाएँ 5, 5, 12 और 12 इकाई हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
1. चक्रीय चतुर्भुज की भुजाओं को a = 5, b = 5, c = 12 और d = 12 माना जाए।
  क्यों?
  चक्रीय चतुर्भुज (जिसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर हों) के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
2. सूत्र s = (a + b + c + d) ÷ 2 का उपयोग करके अर्ध-परिमाप s की गणना करें।
3. मानों को प्रतिस्थापित करें: s = (5 + 5 + 12 + 12) ÷ 2 = 34 ÷ 2 = 17।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
4. चक्रीय चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए ब्रह्मगुप्त का सूत्र उपयोग करें: क्षेत्रफल = √((s − a)(s − b)(s − c)(s − d))।
  क्यों?
  चक्रीय चतुर्भुज (जिसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर हों) के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
5. सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें: क्षेत्रफल = √((17 − 5)(17 − 5)(17 − 12)(17 − 12))।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. वर्गमूल के अंदर के पदों को सरल करें: क्षेत्रफल = √(12 × 12 × 5 × 5)।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
7. गुणनफल की गणना करें: 12 × 12 = 144 और 5 × 5 = 25, इसलिए क्षेत्रफल = √(144 × 25)।
8. वर्गमूल लें: √144 = 12 और √25 = 5, इसलिए क्षेत्रफल = 12 × 5 = 60।
उत्तर: 60 वर्ग इकाई
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अभ्यास प्रश्न 11
एक चक्रीय चतुर्भुज के लिए, परिवृत्त को खींचे बिना, हम कैसे बता सकते हैं कि इसका केंद्र चतुर्भुज के अंदर या बाहर स्थित है?
1. माना ABCD चक्रीय है और इसका परिकेंद्र O है। एक भुजा, मान लीजिए AB को देखें, और किसी शीर्ष पर इसके द्वारा बनाया गया कोण जो इस पर नहीं है, ∠ACB।
2. ∠ACB उस कोण का आधा है जो AB दूसरी ओर O पर बनाता है। यदि ∠ACB < 90° है, तो O, AB के C और D वाली ओर स्थित है; यदि ∠ACB = 90° है, तो AB एक व्यास है और O, AB पर स्थित है; यदि ∠ACB > 90° है, तो O, AB के दूसरी ओर स्थित है।
3. सभी चार भुजाओं के लिए ऐसा करें: AB के लिए ∠ACB, BC के लिए ∠BDC, CD के लिए ∠CAD और DA के लिए ∠DBA।
4. यदि सभी चार कोण न्यूनकोण हैं, तो O प्रत्येक भुजा के आंतरिक ओर है, इसलिए O चतुर्भुज के अंदर स्थित है।
5. यदि उनमें से एक अधिककोण है, तो O बाहर है, उस भुजा के पार (अधिकतम एक अधिककोण हो सकता है, क्योंकि चार चाप 360° तक जोड़ते हैं)।
उत्तर: प्रत्येक भुजा द्वारा विपरीत शीर्ष पर बनाए गए कोण को मापें (∠ACB, ∠BDC, ∠CAD, ∠DBA): सभी न्यूनकोण → केंद्र अंदर; एक 90° के बराबर → केंद्र उस भुजा पर; एक अधिककोण → केंद्र बाहर, उस भुजा के पार।
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अभ्यास प्रश्न 12
एक वृत्त की दो समान जीवाएं एक दूसरे को काटती हैं। दिखाएँ कि एक जीवा के दोनों भाग दूसरी जीवा के दोनों भागों के बराबर हैं।
1. माना AB और CD एक वृत्त की समान जीवाएं हैं जिसका केंद्र O है, और वे P पर मिलती हैं। माना M और N क्रमशः O से AB और CD पर लंबों के पद हैं।
2. केंद्र से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए M और N मध्य बिंदु हैं; चूंकि AB = CD है, AM = MB = CN = ND है; इस अर्ध-लंबाई को h कहें।
  क्यों?
  वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है (इससे बने दोनों समकोण त्रिभुज RHS से सर्वांगसम होते हैं)।
3. समान जीवाएं केंद्र से समान दूरी पर होती हैं, इसलिए OM = ON।
4. त्रिभुज OMP और ONP में M और N पर समकोण हैं, OM = ON और उभयनिष्ठ कर्ण OP है, इसलिए वे सर्वांगसम हैं (RHS) और MP = NP है; इस लंबाई को t कहें।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
5. AB पर, P मध्य बिंदु M से t दूर है, इसलिए AB के दोनों भाग h + t और h − t हैं (P वृत्त के अंदर है, इसलिए t < h; यदि P = M है, तो t = 0)।
6. इसी प्रकार CD के दोनों भाग h + t और h − t हैं।
7. इसलिए एक जीवा के भाग दूसरी जीवा के भागों के बराबर हैं: AB का लंबा भाग CD के लंबे भाग के बराबर है और छोटा छोटे के बराबर है।
उत्तर: दोनों जीवाएं h + t और h − t लंबाई के भागों में कट जाती हैं (h = जीवा की आधी लंबाई, t = MP = NP), इसलिए एक जीवा के भाग दूसरी जीवा के संगत भागों के बराबर हैं।
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अभ्यास प्रश्न 13
एक वृत्त खींचें जिसमें एक 6 सेमी की जीवा केंद्र से 3 सेमी दूर हो (संकेत: इसे एक उपयुक्त त्रिभुज के परिवृत्त के रूप में सोचें)।
1. माना AB, 6 सेमी की जीवा है, M इसका मध्य बिंदु है और O केंद्र है; तब AM = 3 सेमी और OM ⟂ AB है जिसमें OM = 3 सेमी है।
2. Baudhāyana–Pythagoras प्रमेय के अनुसार, OA² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18, इसलिए त्रिज्या OA = √18 = 3√2 सेमी ≈ 4.24 सेमी है।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
3. निर्माण: AB = 6 सेमी खींचें और इसका लंब समद्विभाजक खींचें; इस पर O को M से 3 सेमी दूर चिन्हित करें।
4. केंद्र O और त्रिज्या OA (≈ 4.24 सेमी) के साथ वृत्त खींचें; यह A और B से होकर गुजरता है, और जीवा AB, O से 3 सेमी दूर है।
5. संकेत से जुड़ें: OM = AM = MB = 3 सेमी, ∠AOB = 45° + 45° = 90° को सुनिश्चित करता है, इसलिए यह वृत्त किसी भी त्रिभुज ABX का परिवृत्त है जिसमें X प्रमुख चाप पर है, जिसके लिए ∠AXB = 45° है।
उत्तर: त्रिज्या = 3√2 सेमी ≈ 4.24 सेमी; केंद्र जीवा के लंब समद्विभाजक पर, इसके मध्य बिंदु से 3 सेमी दूर।
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अभ्यास प्रश्न 14
दिखाएँ कि आयत ही एकमात्र समांतर चतुर्भुज है जिसे एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है।
1. माना ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जो एक वृत्त में अंकित है।
2. एक समांतर चतुर्भुज में, विपरीत कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠A = ∠C और ∠B = ∠D।
3. चूंकि ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है, विपरीत कोणों का योग 180° है।
  क्यों?
  चक्रीय चतुर्भुज (जिसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर हों) के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
4. इसलिए, ∠A + ∠C = 180°।
5. ∠A = ∠C को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं ∠A + ∠A = 180°, जिसका अर्थ है 2∠A = 180°।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. ∠A के लिए हल करने पर ∠A = 90° मिलता है।
7. समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण 180° तक जोड़ते हैं, इसलिए ∠B = 180° − 90° = 90°; और ∠C = ∠A = 90°, ∠D = ∠B = 90°।
8. एक समांतर चतुर्भुज जिसके सभी चार कोण 90° के बराबर हैं, एक आयत है।
9. इसलिए, एकमात्र समांतर चतुर्भुज जिसे एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है वह आयत है।
उत्तर: आयत ही एकमात्र समांतर चतुर्भुज है जिसे एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है।
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अभ्यास प्रश्न 15
दिखाइए कि एक वृत्त में अंतर्निहित आयत के विकर्ण वृत्त के केंद्र पर मिलते हैं।
1. ABCD एक आयत है जो केंद्र O वाले वृत्त में अंतर्निहित है, और इसके विकर्ण AC और BD बिंदु P पर मिलते हैं।
2. आयत के विकर्ण बराबर होते हैं और एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं, इसलिए PA = PC = AC/2 और PB = PD = BD/2।
3. चूंकि AC = BD, इसलिए PA = PB = PC = PD।
4. इसलिए P बिंदु A, B और C से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र है।
5. A, B, C संरेखीय नहीं हैं, और तीन असंरेखीय बिंदुओं से केवल एक वृत्त गुजरता है; वह वृत्त दिया हुआ है, जिसका केंद्र O है।
6. अतः P = O: विकर्ण वृत्त के केंद्र पर मिलते हैं।
उत्तर: एक वृत्त में अंतर्निहित आयत के विकर्ण वृत्त के केंद्र पर मिलते हैं।
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अभ्यास प्रश्न 16
एक वृत्त में एक निश्चित लंबाई की सभी जीवाएं: उनके मध्यबिंदु क्या आकार बनाते हैं?
1. केंद्र O और त्रिज्या R वाले एक वृत्त पर विचार करें।
2. AB एक निश्चित लंबाई L की जीवा है।
3. M जीवा AB का मध्यबिंदु है।
4. O को M से जोड़ें।
5. चूंकि केंद्र से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए OM, AB पर लंब है।
  क्यों?
  वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है (इससे बने दोनों समकोण त्रिभुज RHS से सर्वांगसम होते हैं)।
6. समकोण त्रिभुज OMA में, OA त्रिज्या R है और AM जीवा लंबाई का आधा है, इसलिए AM = L/2।
7. पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, OM² + AM² = OA²।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
8. मानों को प्रतिस्थापित करने से, OM² + (L/2)² = R²।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
9. पुनः व्यवस्थित करने से OM² = R² − (L/2)² मिलता है।
10. चूंकि R और L निश्चित हैं, OM का मान स्थिर है।
11. इसका अर्थ है कि केंद्र O से मध्यबिंदु M तक की दूरी लंबाई L की किसी भी जीवा के लिए हमेशा समान रहती है।
12. एक केंद्र से निश्चित दूरी पर बिंदुओं का बिंदुपथ एक वृत्त है।
13. इसलिए मध्यबिंदु केंद्र O और त्रिज्या √(R² − (L/2)²) वाले वृत्त पर स्थित हैं; और उस वृत्त का प्रत्येक बिंदु ऐसी जीवा का मध्यबिंदु है (इसके माध्यम से त्रिज्या के लंबवत जीवा खींचें)।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) है: हर निर्देशांक दोनों सिरों का औसत है।
उत्तर: दिए गए वृत्त के साथ संकेंद्रीय एक वृत्त, त्रिज्या √(R² − (L/2)²) के साथ (यदि जीवाएं व्यास हैं तो केवल केंद्र)।
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अभ्यास प्रश्न 17
केंद्र O वाले एक वृत्त में, जीवाएं AB और AC बराबर हैं। समझाइए कि केंद्र ∠BAC के समद्विभाजक पर क्यों स्थित है।
1. दिया गया है कि केंद्र O वाले एक वृत्त में जीवाएं AB और AC बराबर हैं।
2. त्रिभुज OAB और OAC पर विचार करें।
3. OA दोनों त्रिभुजों की एक सामान्य भुजा है।
4. OB और OC एक ही वृत्त की त्रिज्याएं हैं, इसलिए OB = OC।
5. चूंकि AB = AC (दिया गया है), OB = OC, और OA = OA, त्रिभुज OAB, त्रिभुज OAC के अनुरूप है SSS सर्वांगसमता मानदंड के अनुसार।
6. CPCT (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग) के अनुसार, कोण OAB कोण OAC के बराबर है।
7. इसका अर्थ है कि AO कोण BAC को समद्विभाजित करता है।
8. इसलिए, केंद्र O कोण BAC के समद्विभाजक पर स्थित है।
उत्तर: केंद्र O ∠BAC के समद्विभाजक पर स्थित है क्योंकि त्रिभुज OAB और OAC अनुरूप हैं, जिससे ∠OAB = ∠OAC होता है।
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अभ्यास प्रश्न 18
समांतर जीवाएं 10 सेमी और 24 सेमी केंद्र के एक ही ओर स्थित हैं, 7 सेमी अलग हैं। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
1. मान लीजिए O केंद्र है और r त्रिज्या है। केंद्र के एक ही ओर, लंबी जीवा केंद्र के निकट है।
2. 24 सेमी की जीवा O से x सेमी दूर है; तब 10 सेमी की जीवा O से x + 7 सेमी दूर है (दोनों लंब एक ही रेखा पर स्थित हैं, क्योंकि जीवाएं समांतर हैं)।
3. अर्ध-जीवाएं 12 सेमी और 5 सेमी हैं, इसलिए बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार r² = x² + 12² और r² = (x + 7)² + 5²।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
4. समान करें: x² + 144 = x² + 14x + 49 + 25, इसलिए 14x = 70 और x = 5।
5. तब r² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169, इसलिए r = 13।
6. जांच: 10 सेमी की जीवा O से 12 सेमी दूर है और 12² + 5² = 169 भी है।
उत्तर: त्रिज्या = 13 सेमी
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अभ्यास प्रश्न 19
एक वृत्त जिसकी त्रिज्या r है, में एक नियमित षट्भुज अंतर्निहित है। इसकी भुजा और केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी ज्ञात करें।
1. एक नियमित षट्भुज की 6 बराबर भुजाएँ होती हैं, इसलिए केंद्र पर प्रत्येक भुजा द्वारा बनाया गया कोण 360° ÷ 6 = 60° है।
2. षट्भुज के केंद्र और दो आसन्न शीर्षों द्वारा बनत्रिभुज पर विचार करें।
3. इस त्रिभुज की दोनों भुजाएँ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, इसलिए दोनों की लंबाई r है।
4. चूंकि इन दोनों त्रिज्याओं के बीच का कोण 60° है और दोनों भुजाएँ बराबर हैं, त्रिभुज 60° के शीर्ष कोण वाला समद्विबाहु है।
5. आधार कोण इसलिए (180° − 60°) ÷ 2 = 60° प्रत्येक हैं।
6. चूंकि सभी तीनों कोण 60° हैं, त्रिभुज समबाहु है।
7. इस प्रकार, षट्भुज की भुजा त्रिज्या के बराबर है, अर्थात् भुजा = r।
8. केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी ज्ञात करने के लिए, केंद्र से भुजा के मध्य बिंदु पर एक लंब खींचें।
9. यह लंब भुजा को समद्विभाजित करता है, इसलिए यह भुजा को प्रत्येक छोर से r/2 की दूरी पर मिलता है।
10. बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, दूरी² = r² − (r/2)² = (3/4)r²।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
11. इसलिए केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी (√3/2)r है।
उत्तर: भुजा = r; केंद्र से प्रत्येक भुजा की दूरी = (√3/2)r
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अभ्यास प्रश्न 20
MNOP एक वृत्त में अंतर्निहित है और MN एक व्यास है। ∠MOP और ∠MNP के बारे में आप क्या कह सकते हैं? समझाइए।
1. शीर्ष वृत्त के चारों ओर M, N, O, P के क्रम में हैं, इसलिए N और O जीवा MP द्वारा काटे गए एक ही चाप पर स्थित हैं।
2. एक ही चाप द्वारा वृत्त पर एक ही ओर स्थित बिंदुओं पर बनाए गए कोण बराबर होते हैं, इसलिए ∠MOP = ∠MNP।
3. चूंकि MN एक व्यास है, यह P पर एक समकोण बनाता है: ∠MPN = 90° (और साथ ही ∠MON = 90°)।
4. △MNP में कोण 180° तक जोड़ते हैं, इसलिए ∠MNP = 90° − ∠NMP; विशेष रूप से दोनों कोण न्यून हैं।
उत्तर: ∠MOP = ∠MNP (दोनों एक ही चाप से जीवा MP को बनाते हैं); प्रत्येक 90° − ∠NMP के बराबर है, क्योंकि MN पर अर्धवृत्त में ∠MPN = 90° है।
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अभ्यास प्रश्न 21
ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। समझाइए कि बाहरी कोण आंतरिक विपरीत कोण के बराबर क्यों है (उदाहरण के लिए D पर, DA और भुजा CD के बीच का कोण जो D के आगे बढ़ाया गया है, ∠ABC के बराबर है)।
1. मान लीजिए ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जो एक वृत्त में अंतर्निहित है।
  क्यों?
  चक्रीय चतुर्भुज (जिसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर हों) के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
2. भुजा CD को एक बिंदु E तक बढ़ाएँ ताकि शीर्ष D पर बाहरी कोण ∠ADE बने।
3. ∠ADE का आंतरिक विपरीत कोण ∠ABC है।
4. चूंकि ABCD चक्रीय है, विपरीत कोणों का योग 180° है, इसलिए ∠ABC + ∠ADC = 180°।
5. कोण ∠ADE और ∠ADC सीधी रेखा CDE पर एक रेखीय जोड़ी बनाते हैं, इसलिए ∠ADE + ∠ADC = 180°।
6. दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, ∠ABC + ∠ADC = ∠ADE + ∠ADC।
7. दोनों ओर से ∠ADC घटाने पर ∠ABC = ∠ADE मिलता है।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
8. इस प्रकार, एक चक्रीय चतुर्भुज का बाहरी कोण इसके आंतरिक विपरीत कोण के बराबर है।
  क्यों?
  चक्रीय चतुर्भुज (जिसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर हों) के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
उत्तर: एक चक्रीय चतुर्भुज का बाहरी कोण इसके आंतरिक विपरीत कोण के बराबर है।
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अभ्यास प्रश्न 22
औचित्य सिद्ध करें: एक वृत्त की कोई भी जीवा उसके व्यास से लंबी नहीं हो सकती।
1. मान लीजिए AB एक वृत्त की कोई भी जीवा है जिसका केंद्र O है।
2. मान लीजिए CD इसी वृत्त का व्यास है।
3. यदि AB O से होकर गुजरती है, तो यह स्वयं एक व्यास है, जिसकी लंबाई 2r है। अन्यथा O, A, B एक त्रिभुज बनाते हैं।
4. जीवा के अंत बिंदुओं को केंद्र से जोड़कर बने त्रिभुज OAB पर विचार करें।
5. चूंकि OA और OB वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, OA = OB।
6. मान लीजिए त्रिज्या की लंबाई r है, इसलिए OA = OB = r।
7. त्रिभुज की असमिका के अनुसार, एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।
8. इसलिए, OA + OB > AB।
9. मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें r + r > AB मिलता है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
10. यह 2r > AB को सरल करता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
11. चूंकि व्यास CD 2r के बराबर है, हमारे पास CD > AB है।
12. इस प्रकार व्यास के अलावा प्रत्येक जीवा व्यास से छोटी है, और एक व्यास इसके बराबर है: कोई भी जीवा व्यास से लंबी नहीं है।
उत्तर: एक वृत्त की कोई भी जीवा उसके व्यास से लंबी नहीं है।
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अभ्यास प्रश्न 23
A एक वृत्त के अन्दर एक बिंदु है जिसका केंद्र O है। दिखाएँ कि A से गुजरने वाली सबसे छोटी जीवा वह है जो OA के लंबवत है।
1. A ≠ O लीजिए (यदि A = O, तो A से गुजरने वाली प्रत्येक जीवा एक व्यास है और सभी की लंबाई समान है)। माना r त्रिज्या है और OA = a, तो a < r।
2. माना PQ वह जीवा है जो A से गुजरती है और OA के लंबवत है। O से PQ पर डाला गया लंब OA ही है, इसलिए A इसका मध्य बिंदु है और PQ = 2√(r² − a²)।
3. माना XY कोई अन्य जीवा है जो A से गुजरती है और M इसका मध्य बिंदु है; OM ⟂ XY, इसलिए XY = 2√(r² − OM²)।
4. △OMA में M पर कोण 90° है, इसलिए OA कर्ण है और OM < OA = a (M ≠ A क्योंकि XY, OA के लंबवत नहीं है)।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
5. तब r² − OM² > r² − a², इसलिए XY > PQ।
6. अतः A से गुजरने वाली OA के लंबवत जीवा सबसे छोटी है।
उत्तर: A से गुजरने वाली प्रत्येक अन्य जीवा O के अधिक निकट है OA की तुलना में, इसलिए यह लंबी है; OA के लंबवत जीवा (O से दूरी OA पर) सबसे छोटी है।
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अभ्यास प्रश्न 24
चित्र 5.30: एक व्यास पर त्रिभुज जिसका केंद्र O है, शीर्ष A वृत्त पर है, OA खींचा गया है, आधार कोण a और b चिह्नित हैं। इसका उपयोग करके दिखाएँ कि अर्धवृत्त में कोण 90° है।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. चित्र 5.30 में आधार एक व्यास है जिसका केंद्र O है; इसके सिरों को P (कोण a) और Q (कोण b) कहें, A तीसरा शीर्ष है जो वृत्त पर है।
2. OP = OA (त्रिज्याएँ), इसलिए △OPA समद्विबाहु है और ∠OAP = ∠OPA = a।
3. OQ = OA (त्रिज्याएँ), इसलिए △OQA समद्विबाहु है और ∠OAQ = ∠OQA = b।
4. इसलिए A पर कोण ∠PAQ = a + b है।
5. △PAQ में कोण योग: a + b + (a + b) = 180°, इसलिए 2(a + b) = 180° और a + b = 90°।
6. अतः ∠PAQ = 90°: अर्धवृत्त में कोण एक समकोण है।
  क्यों?
  अर्धवृत्त में बना कोण (व्यास के दोनों सिरों से वृत्त पर बना कोण) समकोण होता है।
उत्तर: ∠PAQ = a + b और a + b + (a + b) = 180°, इसलिए अर्धवृत्त में कोण 90° है।
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अभ्यास प्रश्न 25
जीवाएँ CC′ और DD′ एक व्यास AB के लंबवत हैं। सिद्ध कीजिए कि CD और C′D′ के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड MM′, AB के लंबवत है।
1. वृत्त को केंद्र O के साथ मूल बिंदु पर रखें और व्यास AB को x-अक्ष के साथ रखें।
2. CC′ ⟂ AB, इसलिए CC′ एक ऊर्ध्वाधर जीवा है; केंद्र से डाला गया लंब इसे समद्विभाजित करता है, इसलिए इसका मध्य बिंदु AB पर है। C = (p, c), C′ = (p, −c) लिखें।
  क्यों?
  वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है (इससे बने दोनों समकोण त्रिभुज RHS से सर्वांगसम होते हैं)।
3. इसी प्रकार D = (q, d), D′ = (q, −d)।
4. CD का मध्य बिंदु: M = ((p + q)/2, (c + d)/2)। C′D′ का मध्य बिंदु: M′ = ((p + q)/2, (−c − d)/2)।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) है: हर निर्देशांक दोनों सिरों का औसत है।
5. M और M′ का x-निर्देशांक समान है, इसलिए MM′ एक ऊर्ध्वाधर खंड है (यदि c + d = 0 तो दोनों बिंदु AB पर मिलते हैं)।
6. एक ऊर्ध्वाधर खंड x-अक्ष के लंबवत है, अर्थात्, AB के लंबवत है।
उत्तर: M और M′ का x-निर्देशांक (p + q)/2 समान है जब AB x-अक्ष है, इसलिए MM′ ⟂ AB।
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अभ्यास प्रश्न 26
चित्र 5.31: चक्रीय ABCD केंद्र O के साथ अन्दर है, OA, OB, OC, OD खींचे गए हैं; चिह्नित कोण p = ∠OAB, q = ∠OBC, u = ∠OCD, v = ∠ODA। इसका उपयोग करके दिखाएँ कि सम्मुख कोण 180° तक जोड़े जाते हैं।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. चूंकि OA और OB वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, OA = OB, इसलिए △OAB समद्विबाहु है।
2. △OAB में, समान भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर हैं, इसलिए ∠OAB = ∠OBA = p।
3. इसी प्रकार, △OBC में, OB = OC, इसलिए ∠OBC = ∠OCB = q।
4. △OCD में, OC = OD, इसलिए ∠OCD = ∠ODC = u।
5. △ODA में, OD = OA, इसलिए ∠ODA = ∠OAD = v।
6. △OAB में कोणों का योग 180° है, इसलिए ∠AOB = 180° − 2p।
7. △OBC में कोणों का योग 180° है, इसलिए ∠BOC = 180° − 2q।
8. △OCD में कोणों का योग 180° है, इसलिए ∠COD = 180° − 2u।
9. △ODA में कोणों का योग 180° है, इसलिए ∠DOA = 180° − 2v।
10. केंद्र O के चारों ओर कोण 360° तक जोड़े जाते हैं, इसलिए (180° − 2p) + (180° − 2q) + (180° − 2u) + (180° − 2v) = 360°।
11. सरल करने पर 720° − 2(p + q + u + v) = 360° मिलता है, इसलिए p + q + u + v = 180°।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
12. चतुर्भुज का कोण A ∠DAB = ∠OAD + ∠OAB = v + p है।
13. चतुर्भुज का कोण B ∠ABC = ∠OBA + ∠OBC = p + q है।
14. चतुर्भुज का कोण C ∠BCD = ∠OCB + ∠OCD = q + u है।
15. चतुर्भुज का कोण D ∠CDA = ∠ODC + ∠ODA = u + v है।
16. सम्मुख कोणों A और C को जोड़ने पर: (v + p) + (q + u) = p + q + u + v = 180°।
17. सम्मुख कोणों B और D को जोड़ने पर: (p + q) + (u + v) = p + q + u + v = 180°।
उत्तर: चक्रीय चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोण 180° तक जोड़े जाते हैं।
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इस अध्याय की अन्य प्रश्नावलियाँ

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कक्षा 9 गणित अभ्यास के प्रश्न के हल (I’m Up and Down, and Round and Round)

अभ्यास प्रश्न 1

अभ्यास प्रश्न 2

अभ्यास प्रश्न 3

अभ्यास प्रश्न 4

अभ्यास प्रश्न 5

अभ्यास प्रश्न 6

अभ्यास प्रश्न 7

अभ्यास प्रश्न 8

अभ्यास प्रश्न 9

अभ्यास प्रश्न 10

अभ्यास प्रश्न 11

अभ्यास प्रश्न 12

अभ्यास प्रश्न 13

अभ्यास प्रश्न 14

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अभ्यास प्रश्न 24

अभ्यास प्रश्न 25

अभ्यास प्रश्न 26