शि

Home · Schooling · CBSE · Class 9 · Mathematics · I’m Up and Down, and Round and Round · प्रश्नावली 5.5

कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 5.5 के हल (I’m Up and Down, and Round and Round)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

किसी चरण पर अटके हैं?

इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें →📷 सवाल की फ़ोटो लें →

  1. प्रश्नावली 5.5 प्रश्न 1

    त्रिज्या 7 cm वाले एक वृत्त के केंद्र से 6 cm की दूरी पर स्थित जीवा की लंबाई ज्ञात करें।

    1. O को वृत्त का केंद्र माना और AB को O से 6 cm की दूरी पर स्थित जीवा माना।
    2. OM को AB पर लंब खींचा जाता है, इसलिए OM = 6 cm और M, AB का मध्यबिंदु है।
    3. OA को जोड़ा जाता है, जो वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए OA = 7 cm।
    4. समकोण त्रिभुज OMA में, पाइथागोरस प्रमेय को लागू करें: OA² = OM² + AM²।
      क्यों?

      समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।

    5. मानों को प्रतिस्थापित करें: 7² = 6² + AM²।
      क्यों?

      अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

    6. समीकरण को सरल करें: 49 = 36 + AM²।
      क्यों?

      सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।

    7. AM² के लिए हल करें: AM² = 49 − 36 = 13।
    8. AM ज्ञात करें: AM = √13 cm।
    9. चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, जीवा AB की लंबाई 2 × AM है।
      क्यों?

      वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है (इससे बने दोनों समकोण त्रिभुज RHS से सर्वांगसम होते हैं)।

    10. AB की गणना करें: AB = 2√13 cm ≈ 7.21 cm।

    उत्तर: AB = 2√13 cm ≈ 7.21 cm

    इस हल में गलती बताएँ

  2. प्रश्नावली 5.5 प्रश्न 2

    समझाइए कि त्रिज्या r वाले एक वृत्त के केंद्र से लंबवत दूरी d पर स्थित एक जीवा की लंबाई 2√(r² − d²) क्यों होती है।

    1. O को त्रिज्या r वाले वृत्त का केंद्र माना और AB को O से लंबवत दूरी d पर स्थित एक जीवा माना।
    2. OM को AB पर लंब खींचा जाता है, जहां M जीवा पर प्रतिच्छेद का बिंदु है।
    3. चूंकि केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, AM = MB।
      क्यों?

      वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है (इससे बने दोनों समकोण त्रिभुज RHS से सर्वांगसम होते हैं)।

    4. इसलिए, जीवा AB की लंबाई 2 × AM है।
    5. OA को जोड़ा जाता है जो समकोण त्रिभुज OMA बनाता है।
    6. △ OMA में, OA कर्ण है जिसकी लंबाई r है, OM लंब है जिसकी लंबाई d है, और AM आधार है।
      क्यों?

      समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।

    7. पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, OA² = OM² + AM²।
      क्यों?

      समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।

    8. मानों को प्रतिस्थापित करने पर, r² = d² + AM²।
      क्यों?

      अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

    9. समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर AM² = r² − d²।
    10. वर्गमूल लेने पर, AM = √(r² − d²)।
    11. इसलिए, जीवा AB की लंबाई = 2 × AM = 2√(r² − d²)।

    उत्तर: जीवा की लंबाई 2√(r² − d²) है।

    इस हल में गलती बताएँ

  3. प्रश्नावली 5.5 प्रश्न 3

    जीवा AB केंद्र से जीवा CD की दूरी का दोगुना है। क्या हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि CD = 2AB है? कारण दीजिए।

    1. त्रिज्या को r माना और जीवा CD को केंद्र से दूरी d पर माना, इसलिए जीवा AB दूरी 2d पर है (दोनों r से कम)।
    2. केंद्र से दूरी x पर स्थित एक जीवा की लंबाई 2√(r² − x²) होती है, इसलिए CD = 2√(r² − d²) और AB = 2√(r² − 4d²)।
    3. एक उदाहरण का परीक्षण करें: r = 5 cm, d = 2 cm। तब CD = 2√(25 − 4) = 2√21 cm ≈ 9.17 cm।
    4. AB केंद्र से 4 cm दूरी पर है: AB = 2√(25 − 16) = 2 × 3 = 6 cm, इसलिए 2AB = 12 cm।
    5. यहां CD ≈ 9.17 cm, 12 cm नहीं है, इसलिए इस स्थिति में CD = 2AB गलत है।
    6. सामान्य तौर पर CD = 2AB के लिए r² − d² = 4(r² − 4d²) की आवश्यकता होगी, अर्थात 15d² = 3r², या d = r/√5; यह केवल उस एक विशेष दूरी के लिए होता है, इसलिए यह निष्कर्ष नहीं निकाला जा सकता।

    उत्तर: नहीं। उदाहरण r = 5 cm: CD 2 cm पर CD = 2√21 cm ≈ 9.17 cm देता है, AB 4 cm पर AB = 6 cm देता है, और 2AB = 12 cm ≠ CD।

    इस हल में गलती बताएँ

इस अध्याय की अन्य प्रश्नावलियाँ

← I’m Up and Down, and Round and Round: notes, practice and all exercises

Saved for offline

Saves these solutions (Hindi page) in this browser on this phone. No sign-in; nothing about you is saved or sent. A saved copy is not updated until you save it again. Parts that load from the server when you use them (the AI tutor, adaptive practice, sign-in) still need a connection.