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कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 5.3 के हल (I’m Up and Down, and Round and Round)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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  1. प्रश्नावली 5.3 प्रश्न 1

    दिखाइए कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

    1. मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और AB एक जीवा है।
    2. O से AB पर लंब OM खींचिए, जो AB को M पर मिलता है।
    3. OA और OB को जोड़िए ताकि त्रिभुज OMA और OMB बनें।
    4. OA और OB एक ही वृत्त की त्रिज्याएं हैं, इसलिए OA = OB।
    5. OM त्रिभुज OMA और OMB दोनों के लिए उभयनिष्ठ है।
    6. चूंकि OM, AB पर लंब है, इसलिए ∠OMA = ∠OMB = 90°।
    7. RHS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा, त्रिभुज OMA त्रिभुज OMB के सर्वांगसम है।
    8. इसलिए, CPCT द्वारा AM = BM।
    9. अतः, वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
      क्यों?

      वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है (इससे बने दोनों समकोण त्रिभुज RHS से सर्वांगसम होते हैं)।

    उत्तर: सिद्ध किया गया कि वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

    इस हल में गलती बताएँ

  2. प्रश्नावली 5.3 प्रश्न 2

    एक समद्विबाहु △ABC जिसमें AB = AC है, एक वृत्त में अंतर्निहित है। दिखाइए कि A से BC पर डाली गई ऊंचाई केंद्र से होकर गुजरती है।

    1. मान लीजिए O उस वृत्त का केंद्र है जिसमें समद्विबाहु त्रिभुज ABC अंतर्निहित है।
    2. OA, OB, और OC को जोड़िए ताकि वृत्त की त्रिज्याएं बनें।
    3. चूंकि AB = AC है, त्रिभुज के आधार कोण बराबर हैं, इसलिए ∠ABC = ∠ACB।
    4. त्रिभुज OAB और OAC में, OA उभयनिष्ठ है, OB = OC (त्रिज्याएं), और AB = AC (दिया गया)।
    5. SSS सर्वांगसमता मानदंड द्वारा, △OAB ≅ △OAC।
    6. इसलिए, संगत कोण बराबर हैं, इसलिए ∠BAO = ∠CAO।
    7. इसका अर्थ है कि AO, ∠BAC का कोण समद्विभाजक है।
    8. एक समद्विबाहु त्रिभुज में, शीर्ष कोण का कोण समद्विभाजक आधार पर ऊंचाई भी होता है।
    9. अतः, AO, BC पर लंब है।
    10. चूंकि O, AO पर स्थित है, इसलिए A से BC पर डाली गई ऊंचाई केंद्र O से होकर गुजरती है।

    उत्तर: A से BC पर डाली गई ऊंचाई केंद्र O से होकर गुजरती है।

    इस हल में गलती बताएँ

  3. प्रश्नावली 5.3 प्रश्न 3

    एक वृत्त की त्रिज्या 5 cm है। 6 cm और 8 cm की समांतर जीवाएं वृत्त के केंद्र के विपरीत ओर स्थित हैं। उनके मध्य बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

    1. मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है जिसकी त्रिज्या 5 cm है।
    2. AB को 6 cm लंबाई की जीवा और CD को 8 cm लंबाई की जीवा मान लीजिए।
    3. मान लीजिए M और N क्रमशः AB और CD के मध्य बिंदु हैं।
    4. चूंकि केंद्र से जीवा पर खींचा गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, OM, AB के लंबवत है और ON, CD के लंबवत है।
      क्यों?

      वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है (इससे बने दोनों समकोण त्रिभुज RHS से सर्वांगसम होते हैं)।

    5. समकोण त्रिभुज OMA में, OA = 5 cm और AM = 6/2 = 3 cm है।
    6. पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए, OM = √(OA² − AM²) = √(25 − 9) = √16 = 4 cm।
      क्यों?

      समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।

    7. समकोण त्रिभुज OND में, OD = 5 cm और DN = 8/2 = 4 cm है।
    8. पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करते हुए, ON = √(OD² − DN²) = √(25 − 16) = √9 = 3 cm।
      क्यों?

      समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।

    9. OM ⟂ AB और ON ⟂ CD हैं, और AB ∥ CD है, इसलिए OM और ON दोनों जीवाओं के लंबवत O से होकर जाने वाली एक सीध पर स्थित हैं; चूंकि जीवाएं केंद्र के विपरीत ओर हैं, O, M और N के बीच स्थित है।
    10. मध्य बिंदुओं के बीच की दूरी MN = OM + ON = 4 + 3 = 7 cm है।

    उत्तर: मध्य बिंदु 7 cm दूर हैं।

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