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कक्षा 9 गणित अभ्यास के प्रश्न के हल (Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions)

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

1. अभ्यास प्रश्न 1

   एक AP का 11वां पद 38 है और 16वां पद 73 है। इसका 31वां पद ज्ञात कीजिए।

   1. मान लीजिए कि प्रथम पद a है और सार्व अंतर d है।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।

   2. 11वां पद a + 10d = 38 द्वारा दिया जाता है।
   3. 16वां पद a + 15d = 73 द्वारा दिया जाता है।
   4. दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर 5d = 35 मिलता है।
   5. d के लिए हल करने पर d = 7 मिलता है।
   6. a + 10d = 38 में d = 7 को प्रतिस्थापित करने पर a + 70 = 38 मिलता है।
      क्यों?

      अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

   7. a के लिए हल करने पर a = -32 मिलता है।
   8. 31वां पद a + 30d द्वारा दिया जाता है।
   9. मानों को प्रतिस्थापित करने पर -32 + 30(7) = -32 + 210 मिलता है।
      क्यों?

      अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

   10. परिणाम 178 है।

   उत्तर: 178

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2. अभ्यास प्रश्न 2

   वह AP ज्ञात कीजिए जिसका 3rd पद 16 है और जिसका 7वां पद इसके 5वें पद से 12 अधिक है।

   1. मान लीजिए कि प्रथम पद a है और सार्व अंतर d है।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।

   2. 3rd पद 16 दिया गया है, इसलिए a + 2d = 16।
   3. 7वां पद 5वें पद से 12 अधिक है, इसलिए a + 6d = (a + 4d) + 12।
   4. दूसरे समीकरण को सरल करने पर 2d = 12 मिलता है, इसलिए d = 6।
      क्यों?

      सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।

   5. a + 2d = 16 में d = 6 को प्रतिस्थापित करने पर a + 12 = 16 मिलता है।
      क्यों?

      अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

   6. a के लिए हल करने पर a = 4 मिलता है।
   7. पहले कुछ पद हैं 4, 10, 16, 22।

   उत्तर: 4, 10, 16, 22

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3. अभ्यास प्रश्न 3

   कितनी तीन अंकों की संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

   1. 7 से विभाज्य सबसे छोटी तीन अंकों की संख्या 105 है।
   2. 7 से विभाज्य सबसे बड़ी तीन अंकों की संख्या 994 है।
   3. ये संख्याएँ एक समांतर श्रेणी बनाती हैं जिसका प्रथम पद a = 105, सार्व अंतर d = 7 और अंतिम पद l = 994 है।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।

   4. nth पद के सूत्र का उपयोग करते हुए, l = a + (n − 1)d।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।

   5. मानों को प्रतिस्थापित करने पर 994 = 105 + (n − 1)7 मिलता है।
      क्यों?

      अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

   6. सरल करने पर, 994 − 105 = 7(n − 1)।
      क्यों?

      सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।

   7. 889 = 7(n − 1)।
   8. दोनों पक्षों को 7 से विभाजित करने पर, n − 1 = 127।
      क्यों?

      समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।

   9. दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर, n = 128।
      क्यों?

      समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।

   उत्तर: 128

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4. अभ्यास प्रश्न 4

   10 और 250 के बीच 4 के कितने गुणज हैं?

   1. 10 से बड़ा 4 का पहला गुणज 12 है।
   2. 250 से छोटा 4 का अंतिम गुणज 248 है।
   3. यह एक समांतर श्रेणी बनाता है जिसका प्रथम पद a = 12 और सार्व अंतर d = 4 है।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।

   4. nth पद के सूत्र का उपयोग करते हुए, 248 = 12 + (n − 1) × 4।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।

   5. दोनों पक्षों से 12 घटाने पर 236 = (n − 1) × 4 मिलता है।
      क्यों?

      समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।

   6. 4 से विभाजित करने पर n − 1 = 59 मिलता है।
   7. दोनों पक्षों में 1 जोड़ने पर n = 60 मिलता है।
      क्यों?

      समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।

   उत्तर: 60

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5. अभ्यास प्रश्न 5

   एक गुणोत्तर श्रेणी (GP) ज्ञात कीजिए जिसके पहले दो पदों का योग −4 हो और जिसका 5वां पद उसके 3वें पद का 4 गुना हो।

   1. मान लीजिए कि प्रथम पद a और सार्व अनुपात r है।
   2. पहले दो पदों का योग a + ar है, अतः a(1 + r) = −4।
      क्यों?

      Sₙ = n/2 × (पहला पद + अंतिम पद) = n/2 [2a + (n − 1)d]: पहले और अंतिम पद, दूसरे और उपांतिम पद, इसी तरह जोड़े बनाने पर हर जोड़े का योग बराबर आता है।

   3. 5वां पद 3वें पद का 4 गुना है, अतः ar⁴ = 4ar²।
   4. ar² से भाग देने पर (क्योंकि a और r शून्य नहीं हैं), हमें r² = 4 प्राप्त होता है।
   5. r के लिए हल करने पर r = 2 या r = −2 प्राप्त होता है।
   6. यदि r = 2 है, तो a(1 + 2) = −4, अतः 3a = −4 और a = −4/3।
   7. पहले तीन पद −4/3, −8/3, और −16/3 हैं।
   8. यदि r = −2 है, तो a(1 − 2) = −4, अतः −a = −4 और a = 4।
   9. पहले तीन पद 4, −8, और 16 हैं।

   उत्तर: दो संभावित गुणोत्तर श्रेणियाँ −4/3, −8/3, −16/3, ... और 4, −8, 16, ... हैं।

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6. अभ्यास प्रश्न 6

   100 को क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के योग के रूप में लिखने के सभी तरीके खोजें।

   1. मान लीजिए a से शुरू होने वाली n क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का योग 100 है।
   2. योग सूत्र n/2 × (2a + n − 1) = 100 द्वारा दिया जाता है।
   3. सरल करने पर, हम n(2a + n − 1) = 200 प्राप्त करते हैं।
      क्यों?

      सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।

   4. चूंकि a एक प्राकृतिक संख्या है, a ≥ 1, इसलिए 2a + n − 1 ≥ n, जिसका अर्थ है n² ≤ 200।
   5. इस प्रकार, n 200 का एक भाजक होना चाहिए ताकि n² ≤ 200, इसलिए n 1, 2, 4, 5, 8 या 10 हो सकता है।
   6. n = 1 के लिए, 2a = 200 से a = 100 मिलता है: यह केवल संख्या 100 है, दो या अधिक क्रमागत संख्याओं का योग नहीं।
   7. n = 2 के लिए, 2a + 1 = 100, इसलिए 2a = 99, जो एक गैर-पूर्णांक मान देता है।
   8. n = 4 के लिए, 2a + 3 = 50, इसलिए 2a = 47, जो एक गैर-पूर्णांक मान देता है।
   9. n = 5 के लिए, 2a + 4 = 40, इसलिए 2a = 36, जिससे a = 18।
   10. n = 5 के लिए क्रम 18 + 19 + 20 + 21 + 22 है।
   11. n = 8 के लिए, 2a + 7 = 25, इसलिए 2a = 18, जिससे a = 9।
   12. n = 8 के लिए क्रम 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 है।
   13. n = 10 के लिए, 2a + 9 = 20, इसलिए 2a = 11, जो एक गैर-पूर्णांक मान देता है।
   14. इसलिए, 100 को क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं के योग के रूप में लिखने के केवल दो तरीके हैं।

   उत्तर: 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16; 18 + 19 + 20 + 21 + 22

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7. अभ्यास प्रश्न 7

   एक संस्कृति 30 बैक्टीरिया के साथ शुरू होती है और हर घंटे दोगुनी हो जाती है। घंटे 2, घंटे 4 और घंटे n के अंत में संख्या क्या है?

   1. बैक्टीरिया की प्रारंभिक संख्या 30 है।
   2. बैक्टीरिया हर घंटे दोगुने हो जाते हैं, इसलिए n घंटों के बाद संख्या 30 × 2ⁿ है।
   3. घंटे 2 के लिए, सूत्र में n = 2 प्रतिस्थापित करें: 30 × 2²।
      क्यों?

      अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

   4. 30 × 4 की गणना करें ताकि 120 मिले।
   5. घंटे 4 के लिए, सूत्र में n = 4 प्रतिस्थापित करें: 30 × 2⁴।
      क्यों?

      अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

   6. 30 × 16 की गणना करें ताकि 480 मिले।
   7. घंटे n के लिए, सामान्य व्यंजक 30 × 2ⁿ है।

   उत्तर: 120; 480; 30 × 2ⁿ

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8. अभ्यास प्रश्न 8

   एक AP में, t₄ + t₈ = 24 और t₆ + t₁₀ = 44। पहले तीन पद खोजें।

   1. मान लीजिए पहला पद a है और सामान्य अंतर d है।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।

   2. 4था पद a + 3d है और 8वाँ पद a + 7d है, इसलिए उनका योग 2a + 10d = 24 है।
   3. 6वाँ पद a + 5d है और 10वाँ पद a + 9d है, इसलिए उनका योग 2a + 14d = 44 है।
   4. पहले समीकरण को दूसरे से घटाने पर 4d = 20, इसलिए d = 5।
   5. d = 5 को 2a + 10d = 24 में प्रतिस्थापित करें ताकि 2a + 50 = 24 मिले।
      क्यों?

      अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

   6. a के लिए हल करने से 2a = −26, इसलिए a = −13।
   7. पहला पद −13 है, दूसरा पद −13 + 5 = −8 है, और तीसरा पद −8 + 5 = −3 है।

   उत्तर: −13, −8, −3

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9. अभ्यास प्रश्न 9

   सबसे छोटा n ज्ञात कीजिए जिसके लिए 1 + 2 + … + n, 1,000 से बड़ा हो।

   1. पहली n प्राकृत संख्याओं का योग सूत्र S = n(n + 1) / 2 द्वारा दिया जाता है।
   2. हमें सबसे छोटा n ज्ञात करना है जिसके लिए S > 1000।
   3. सूत्र को असमिका में प्रतिस्थापित कीजिए: n(n + 1) / 2 > 1000।
      क्यों?

      अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

   4. दोनों पक्षों को 2 से गुणा कीजिए: n(n + 1) > 2000।
      क्यों?

      समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।

   5. n = 44 के लिए परीक्षण कीजिए: 44 × 45 = 1980, जो 2000 से कम है।
   6. n = 45 के लिए परीक्षण कीजिए: 45 × 46 = 2070, जो 2000 से बड़ा है।
   7. चूँकि 2070 > 2000, n = 45 के लिए योग 1000 से बड़ा है।
   8. इसलिए, n का सबसे छोटा मान 45 है।

   उत्तर: n = 45

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10. अभ्यास प्रश्न 10

    गुणोत्तर श्रेणी 2, 8, 32, … में कौन सा पद 131072 है? इसके स्पष्ट और पुनरावर्ती सूत्र दीजिए।

    1. पहला पद a = 2 और सार्व अनुपात r = 8 ÷ 2 = 4 ज्ञात कीजिए।
    2. गुणोत्तर श्रेणी के लिए सामान्य पद सूत्र का प्रयोग कीजिए: tₙ = a × rⁿ⁻¹।
    3. दिए गए पद 131072 को प्रतिस्थापित कीजिए: 131072 = 2 × 4ⁿ⁻¹।
       क्यों?

       अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

    4. दोनों पक्षों को 2 से विभाजित कीजिए: 65536 = 4ⁿ⁻¹।
       क्यों?

       समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।

    5. 65536 को 4 की घात के रूप में व्यक्त कीजिए: 4⁸ = 65536।
    6. घातांकों को बराबर कीजिए: n − 1 = 8।
    7. n के लिए हल कीजिए: n = 9।
    8. स्पष्ट सूत्र है: tₙ = 2 × 4ⁿ⁻¹।
    9. पुनरावर्ती सूत्र है: tₙ = 4tₙ₋₁।

    उत्तर: 9वाँ पद; tₙ = 2 × 4ⁿ⁻¹; tₙ = 4tₙ₋₁

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11. अभ्यास प्रश्न 11

    एक गुणोत्तर श्रेणी के पहले तीन पद 13/12 के बराबर जोड़ते हैं और −1 के बराबर गुणा करते हैं। सार्व अनुपात और पद ज्ञात कीजिए।

    1. गुणोत्तर श्रेणी के तीन पद a/r, a और ar मानिए।
    2. पदों का गुणनफल (a/r) × a × ar = a³ है।
    3. दिया गया है कि गुणनफल −1 है, इसलिए a³ = −1, अतः a = −1।
    4. पदों का योग a/r + a + ar = 13/12 है।
    5. योग समीकरण में a = −1 को प्रतिस्थापित कीजिए: −1/r − 1 + (−1)r = 13/12।
       क्यों?

       अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

    6. सरल कीजिए: −1/r − 1 − r = 13/12।
       क्यों?

       सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।

    7. पूरी समीकरण को 12r से गुणा कीजिए: −12 − 12r − 12r² = 13r।
    8. मानक द्विघात रूप में पुनर्व्यवस्थित कीजिए: 12r² + 25r + 12 = 0।
    9. द्विघात को गुणनखंडित कीजिए: (3r + 4)(4r + 3) = 0।
    10. r के लिए हल करने से r = −4/3 या r = −3/4 मिलता है।
    11. यदि r = −4/3, तो पद हैं a/r = (−1)/(−4/3) = 3/4, a = −1 और ar = (−1)(−4/3) = 4/3।
    12. यदि r = −3/4, तो पद हैं a/r = (−1)/(−3/4) = 4/3, a = −1 और ar = (−1)(−3/4) = 3/4।
    13. पदों के दोनों समुच्चय गुणोत्तर श्रेणी के वैध समाधान हैं।

    उत्तर: सार्व अनुपात: −3/4 या −4/3; पद: 4/3, −1, 3/4 या 3/4, −1, 4/3

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12. अभ्यास प्रश्न 12

    एक गुणोत्तर श्रेणी के 4वें, 10वें और 16वें पद क्रमशः x, y, z हैं। सिद्ध कीजिए कि x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

    1. दी गई गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद a और सार्व अनुपात r मानिए।
    2. 4वाँ पद x = ar³, 10वाँ पद y = ar⁹ और 16वाँ पद z = ar¹⁵ है।
    3. सिद्ध करने के लिए कि x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हैं, हमें दिखाना है कि y² = xz।
    4. x, y और z के व्यंजकों को समीकरण y² = xz में प्रतिस्थापित कीजिए।
       क्यों?

       अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

    5. बाईं ओर (ar⁹)² = a²r¹⁸ है।
    6. दाईं ओर (ar³)(ar¹⁵) = a²r¹⁸ है।
    7. चूँकि दोनों पक्ष बराबर हैं, y² = xz सत्य है।
       क्यों?

       समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।

    8. इसलिए, x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

    उत्तर: सिद्ध किया गया है कि x, y, z गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

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13. अभ्यास प्रश्न 13

    एक GP के तीन पद 26 जोड़ते हैं और उनके वर्ग 364 जोड़ते हैं। पद ज्ञात कीजिए।

    1. GP के तीन पद a/r, a, और ar हों।
    2. पदों का योग 26 दिया गया है, इसलिए a/r + a + ar = 26।
    3. a को निकालने पर a(1/r + 1 + r) = 26।
    4. वर्गों का योग 364 दिया गया है, इसलिए (a/r)² + a² + (ar)² = 364।
    5. a² को निकालने पर a²(1/r² + 1 + r²) = 364।
    6. वर्ग योग समीकरण को रैखिक योग समीकरण से विभाजित करें: [a²(1/r² + 1 + r²)] / [a(1/r + 1 + r)] = 364 / 26।
    7. बायां पक्ष a(1/r² + 1 + r²) / (1/r + 1 + r) और दायां पक्ष 14 सरल होता है।
       क्यों?

       सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।

    8. मान लीजिए S = 1/r + 1 + r। तब 1/r² + 1 + r² = S² − 2(1 + r + 1/r) = S² − 2S।
    9. अनुपात में प्रतिस्थापित करें: a(S² − 2S) / S = 14, जो a(S − 2) = 14 सरल हो जाता है।
       क्यों?

       अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

    10. योग समीकरण से, aS = 26, इसलिए a = 26/S।
    11. पिछली समीकरण में a प्रतिस्थापित करें: (26/S)(S − 2) = 14।
        क्यों?

        अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

    12. S से गुणा करें: 26(S − 2) = 14S।
    13. विस्तार करें: 26S − 52 = 14S।
        क्यों?

        विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।

    14. पुनर्व्यवस्थित करें: 12S = 52, इसलिए S = 52/12 = 13/3।
    15. a ज्ञात कीजिए: a = 26 / (13/3) = 26 × 3/13 = 6।
    16. S = 1/r + 1 + r = 13/3 का उपयोग करके r ज्ञात कीजिए।
    17. 1 घटाएं: 1/r + r = 13/3 − 1 = 10/3।
    18. r से गुणा करें: 1 + r² = (10/3)r।
    19. पुनर्व्यवस्थित करें: 3r² − 10r + 3 = 0।
    20. गुणनखंड करें: (3r − 1)(r − 3) = 0।
    21. इसलिए r = 3 या r = 1/3।
    22. यदि r = 3, तो पद 6/3, 6, 6×3 हैं, जो 2, 6, 18 हैं।
    23. यदि r = 1/3, तो पद 6/(1/3), 6, 6×(1/3) हैं, जो 18, 6, 2 हैं।
    24. दोनों समुच्चय अलग क्रम में समान पद हैं।

    उत्तर: 2, 6, 18

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14. अभ्यास प्रश्न 14

    P₁ = 1, P₂ = 2 और n > 2 के लिए Pₙ = P₁ + P₂ + … + Pₙ₋₁ + 1। P₁ से P₈ तक ज्ञात कीजिए, एक सरल पुनरावर्ती नियम और एक स्पष्ट सूत्र ज्ञात कीजिए।

    1. दिया गया है P₁ = 1 और P₂ = 2।
    2. n > 2 के लिए, Pₙ सभी पिछले पदों का योग जोड़ 1 है।
    3. P₃ = P₁ + P₂ + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 की गणना करें।
    4. P₄ = P₁ + P₂ + P₃ + 1 = 1 + 2 + 4 + 1 = 8 की गणना करें।
    5. P₅ = P₁ + P₂ + P₃ + P₄ + 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 1 = 16 की गणना करें।
    6. P₆ = P₁ + P₂ + P₃ + P₄ + P₅ + 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 1 = 32 की गणना करें।
    7. P₇ = P₁ + P₂ + P₃ + P₄ + P₅ + P₆ + 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 1 = 64 की गणना करें।
    8. P₈ = P₁ + P₂ + P₃ + P₄ + P₅ + P₆ + P₇ + 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 1 = 128 की गणना करें।
    9. अनुक्रम 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 है।
    10. n ≥ 4 के लिए, Pₙ = (P₁ + … + Pₙ₋₂ + 1) + Pₙ₋₁ = Pₙ₋₁ + Pₙ₋₁, क्योंकि कोष्ठक ठीक Pₙ₋₁ है; और P₃ = 4 = 2P₂। इसलिए सरल पुनरावर्ती नियम Pₙ = 2Pₙ₋₁ है (n ≥ 2, क्योंकि P₂ = 2 = 2P₁ भी)।
    11. चूंकि P₁ = 1 और सामान्य अनुपात 2 है, स्पष्ट सूत्र Pₙ = 2ⁿ⁻¹ है।

    उत्तर: P₁ से P₈ 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 हैं; सरल पुनरावर्ती नियम Pₙ = 2Pₙ₋₁ है; स्पष्ट सूत्र Pₙ = 2ⁿ⁻¹ है

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15. अभ्यास प्रश्न 15

    W₁ = 1, W₂ = 2 और n > 2 के लिए Wₙ = W₁ + W₂ + … + Wₙ₋₂ + 2। W₁ से W₈ तक ज्ञात कीजिए। यह कौन सा ज्ञात अनुक्रम है?

    1. दिया गया है W₁ = 1 और W₂ = 2।
    2. n > 2 के लिए, नियम Wₙ = W₁ + W₂ + … + Wₙ₋₂ + 2 है।
    3. W₃ की गणना करें: नियम W₁ तक के पदों को जोड़ता है, जोड़ 2, इसलिए W₃ = W₁ + 2 = 1 + 2 = 3।
    4. W₄ की गणना करें: W₂ तक के पद, जोड़ 2, इसलिए W₄ = 1 + 2 + 2 = 5।
    5. W₅ की गणना करें: W₃ तक के पदों का योग जोड़ 2, इसलिए W₅ = 1 + 2 + 3 + 2 = 8।
    6. W₆ की गणना करें: W₄ तक के पदों का योग जोड़ 2, इसलिए W₆ = 1 + 2 + 3 + 5 + 2 = 13।
    7. W₇ की गणना करें: W₅ तक के पदों का योग जोड़ 2, इसलिए W₇ = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 2 = 21।
    8. W₈ की गणना करें: W₆ तक के पदों का योग जोड़ 2, इसलिए W₈ = 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 2 = 34।
    9. अनुक्रम 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 इस पैटर्न का पालन करता है जहां प्रत्येक पद दो पिछले पदों का योग है।
    10. यह Virahānka–Fibonacci अनुक्रम है।

    उत्तर: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34; Virahānka–Fibonacci

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