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कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 8.2 के हल (Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 1
AP 3, 8, 13, 18, … का 10वाँ और 26वाँ पद
1. प्रथम पद a = 3 और सामान्य अंतर d = 8 − 3 = 5 को चिन्हित कीजिए।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।
2. AP के nवें पद का सूत्र उपयोग कीजिए: tₙ = a + (n − 1)d।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।
3. 10वें पद के लिए, n = 10 प्रतिस्थापित कीजिए: t₁₀ = 3 + (10 − 1) × 5।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
4. t₁₀ = 3 + 9 × 5 = 3 + 45 = 48 की गणना कीजिए।
5. 26वें पद के लिए, n = 26 प्रतिस्थापित कीजिए: t₂₆ = 3 + (26 − 1) × 5।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. t₂₆ = 3 + 25 × 5 = 3 + 125 = 128 की गणना कीजिए।
उत्तर: t₁₀ = 48; t₂₆ = 128
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प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 2
AP 21, 18, 15, …: कौन सा पद −81 है? क्या 0 एक पद है? क्यों?
1. प्रथम पद a = 21 है और सामान्य अंतर d = 18 − 21 = −3 है।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।
2. −81 के बराबर पद ज्ञात करने के लिए, सूत्र aₙ = a + (n − 1)d का उपयोग कीजिए।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।
3. मानों को प्रतिस्थापित कीजिए: −81 = 21 + (n − 1)(−3)।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
4. समीकरण को सरल कीजिए: −81 = 21 − 3n + 3।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
5. स्थिरांकों को जोड़िए: −81 = 24 − 3n।
6. n के लिए हल करने के लिए पुनर्व्यवस्थित कीजिए: 3n = 24 + 81।
7. n की गणना कीजिए: 3n = 105, इसलिए n = 35।
8. चूँकि n एक धनात्मक पूर्णांक है, −81 35वाँ पद है।
9. यह जाँचने के लिए कि 0 एक पद है या नहीं, सूत्र में aₙ = 0 रखिए।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।
10. मानों को प्रतिस्थापित कीजिए: 0 = 21 + (n − 1)(−3)।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
11. सरल कीजिए: 0 = 21 − 3n + 3।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
12. स्थिरांकों को जोड़िए: 0 = 24 − 3n।
13. पुनर्व्यवस्थित कीजिए: 3n = 24।
14. n की गणना कीजिए: n = 8।
15. चूँकि n एक धनात्मक पूर्णांक है, 0 8वाँ पद है।
उत्तर: −81 35वाँ पद है; 0 8वाँ पद है
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प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 3
AP 11, 8, 5, 2, … का nth term और recursive rule
1. समांतर श्रेणी का पहला पद a = 11 के रूप में पहचानें।
2. दूसरे पद से पहले पद को घटाकर सार्व अंतर d ज्ञात करें: d = 8 − 11 = −3।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।
3. AP के nth पद के लिए सूत्र का उपयोग करें, tₙ = a + (n − 1)d।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।
4. सूत्र में a = 11 और d = −3 को प्रतिस्थापित करें: tₙ = 11 + (n − 1)(−3)।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
5. व्यंजक को सरल बनाएं: tₙ = 11 − 3n + 3।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
6. समान पदों को संयोजित करके अंतिम सूत्र प्राप्त करें: tₙ = 14 − 3n।
7. n = 1 को प्रतिस्थापित करके पहले पद को सत्यापित करें: t₁ = 14 − 3(1) = 11।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
8. यह देखकर recursive rule निर्धारित करें कि प्रत्येक पद पिछले पद से 3 कम है।
9. recursive rule को इस प्रकार लिखें: tₙ₊₁ = tₙ − 3।
उत्तर: tₙ = 14 − 3n; t₁ = 11; tₙ₊₁ = tₙ − 3
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प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 4
एक AP के 50 पद हैं, 3वां पद 12 है और अंतिम पद 106 है। 29वां पद ज्ञात करें।
1. पहले पद को a और सार्व अंतर को d मानें।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।
2. 3वां पद 12 दिया गया है, इसलिए a + 2d = 12।
3. अंतिम पद (50वां पद) 106 है, इसलिए a + 49d = 106।
4. दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाएं: (a + 49d) - (a + 2d) = 106 - 12।
5. यह 47d = 94 तक सरल हो जाता है, इसलिए d = 2।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
6. a + 2d = 12 में d = 2 को प्रतिस्थापित करें ताकि a + 4 = 12, इसलिए a = 8।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
7. 29वां पद a + 28d द्वारा दिया गया है।
8. मानों को प्रतिस्थापित करें: 8 + 28(2) = 8 + 56 = 64।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
उत्तर: a = 8, d = 2, t₂₉ = 64
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प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 5
कितनी 2-अंकीय संख्याएं 3 से विभाज्य हैं, और उनका योग क्या है?
1. 3 से विभाज्य 2-अंकीय संख्याएं 12 से शुरू होने वाली और 99 पर समाप्त होने वाली एक समांतर श्रेणी बनाती हैं।
2. यहां, पहला पद a = 12, सार्व अंतर d = 3, और अंतिम पद l = 99।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।
3. nth पद के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, l = a + (n − 1)d, हम मानों को प्रतिस्थापित करते हैं: 99 = 12 + (n − 1)3।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।
4. n के लिए हल करने पर, हमें 87 = 3(n − 1) मिलता है, जो n − 1 = 29 तक सरल हो जाता है, इसलिए n = 30।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
5. इस प्रकार, ऐसी 30 संख्याएं हैं।
6. इन संख्याओं का योग S = n/2 × (a + l) द्वारा दिया गया है।
  क्यों?
  Sₙ = n/2 × (पहला पद + अंतिम पद) = n/2 [2a + (n − 1)d]: पहले और अंतिम पद, दूसरे और उपांतिम पद, इसी तरह जोड़े बनाने पर हर जोड़े का योग बराबर आता है।
7. मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, S = 30/2 × (12 + 99)।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
8. यह S = 15 × 111 तक सरल हो जाता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
9. गुणनफल की गणना करने से S = 1665 मिलता है।
उत्तर: ऐसी 30 संख्याएं हैं और उनका योग 1665 है।
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प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 6
वेतन ₹5,00,000 वार्षिक से शुरू होता है और हर साल ₹20,000 की वृद्धि होती है। कितने वर्षों में यह ₹7,00,000 तक पहुंचता है?
1. प्रारंभिक वेतन पहला पद है, इसलिए a = 500000।
2. वार्षिक वृद्धि सार्व अंतर है, इसलिए d = 20000।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।
3. लक्ष्य वेतन nth पद है, इसलिए a_n = 700000।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।
4. समांतर श्रेणी के nth पद के लिए सूत्र का उपयोग करें: a_n = a + (n − 1)d।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।
5. मानों को प्रतिस्थापित करें: 700000 = 500000 + (n − 1) × 20000।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. समीकरण को सरल बनाएं: 200000 = (n − 1) × 20000।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
7. दोनों पक्षों को 20000 से विभाजित करें: 10 = n − 1।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
8. n के लिए हल करें: n = 11।
9. इसका अर्थ है कि वेतन 11वें वर्ष में 7,00,000 तक पहुंचता है।
10. शुरुआत के बाद वर्षों की संख्या 11 − 1 = 10 वर्ष है।
उत्तर: 10 वर्ष; 11वां वर्ष
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प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 7
1, 2, 3, … से 25 पंक्तियों तक कंचों की पंक्तियाँ। कंचों की कुल संख्या?
1. पंक्तियों में कंचों की संख्या एक समांतर श्रेणी बनाती है जिसका प्रथम पद a = 1 और सार्व अंतर d = 1 है।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।
2. पंक्तियों की कुल संख्या n = 25 है।
3. समांतर श्रेणी के प्रथम n पदों का योग सूत्र S = n/2 × [2a + (n − 1)d] द्वारा दिया जाता है।
  क्यों?
  Sₙ = n/2 × (पहला पद + अंतिम पद) = n/2 [2a + (n − 1)d]: पहले और अंतिम पद, दूसरे और उपांतिम पद, इसी तरह जोड़े बनाने पर हर जोड़े का योग बराबर आता है।
4. सूत्र में मान प्रतिस्थापित करें: S = 25/2 × [2(1) + (25 − 1)(1)]।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
5. कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल करें: 2 + 24 = 26।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
6. अंतिम योग की गणना करें: S = 25/2 × 26 = 25 × 13 = 325।
उत्तर: 325
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कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 8.2 के हल (Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions)

प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 1

प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 2

प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 3

प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 4

प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 5

प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 6

प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 7