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कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 8.3 के हल (Predicting What Comes Next: Exploring Sequences and Progressions)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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  1. प्रश्नावली 8.3 प्रश्न 1

    एक गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात 2 है और 8वाँ पद 192 है। इसका 12वाँ पद ज्ञात करें।

    1. गुणोत्तर श्रेणी के nवें पद का सूत्र aₙ = a × rⁿ⁻¹ है।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।

    2. दिया गया है: 8वाँ पद a₈ = 192 और सार्व अनुपात r = 2।
    3. इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 192 = a × 2⁷।
      क्यों?

      अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

    4. 2⁷ की गणना करें जो 128 है, तो 192 = a × 128।
    5. प्रथम पद a को हल करें: a = 192 ÷ 128 = 1.5।
    6. अब a = 1.5 और r = 2 का उपयोग करके 12वाँ पद a₁₂ ज्ञात करें।
    7. a₁₂ = 1.5 × 2¹¹।
    8. 2¹¹ की गणना करें जो 2048 है।
    9. 3072 प्राप्त करने के लिए 1.5 को 2048 से गुणा करें।

    उत्तर: 3072

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  2. प्रश्नावली 8.3 प्रश्न 2

    गुणोत्तर श्रेणी 5, 25, 125, … का 10वाँ पद और nवाँ पद।

    1. प्रथम पद a = 5 है और सार्व अनुपात r = 25 ÷ 5 = 5 है (साथ ही 125 ÷ 25 = 5)।
    2. गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद tₙ = a × rⁿ⁻¹ है, तो tₙ = 5 × 5ⁿ⁻¹ = 5ⁿ।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।

    3. जाँच करें: n = 1 से 5 मिलता है, n = 2 से 25 मिलता है, n = 3 से 125 मिलता है, जो दिए गए पदों से मेल खाता है।
    4. 10वाँ पद t₁₀ = 5¹⁰ है।
    5. 5¹⁰ = 5⁵ × 5⁵ = 3125 × 3125 = 9765625।

    उत्तर: t₁₀ = 9765625; tₙ = 5ⁿ

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  3. प्रश्नावली 8.3 प्रश्न 3

    t₁ = 2, tₙ₊₁ = 3tₙ − 2 (n ≥ 1)। कौन सा पद 730 है?

    1. पुनरावृत्ति संबंध को tₙ₊₁ = 3tₙ − 2 के रूप में लिखें जहाँ t₁ = 2 है।
    2. 2वें पद की गणना करें: t₂ = 3(2) − 2 = 4।
    3. 3वें पद की गणना करें: t₃ = 3(4) − 2 = 10।
    4. 4वें पद की गणना करें: t₄ = 3(10) − 2 = 28।
    5. 5वें पद की गणना करें: t₅ = 3(28) − 2 = 82।
    6. 6वें पद की गणना करें: t₆ = 3(82) − 2 = 244।
    7. 7वें पद की गणना करें: t₇ = 3(244) − 2 = 730।

    उत्तर: 7वाँ पद

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  4. प्रश्नावली 8.3 प्रश्न 4

    GP 2, 6, 18, …: कौन सा पद 4374 है? इसका स्पष्ट और पुनरावर्ती सूत्र दीजिए।

    1. प्रथम पद a = 2 और सार्व अनुपात r = 6 ÷ 2 = 3 पहचानिए।
    2. GP के लिए सामान्य पद सूत्र का उपयोग करें: tₙ = a × rⁿ⁻¹।
    3. ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करें: tₙ = 2 × 3ⁿ⁻¹।
      क्यों?

      अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

    4. सामान्य पद को दिए गए मान के बराबर रखें: 2 × 3ⁿ⁻¹ = 4374।
    5. 3 की घात को अलग करने के लिए दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें: 3ⁿ⁻¹ = 2187।
      क्यों?

      समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।

    6. 2187 को 3 की घात के रूप में व्यक्त करें: 2187 = 3⁷।
    7. n − 1 = 7 खोजने के लिए घातांकों को समान करें।
    8. n के लिए हल करें: n = 8।
    9. स्पष्ट सूत्र है: tₙ = 2 × 3ⁿ⁻¹।
    10. पुनरावर्ती सूत्र है: tₙ = 3tₙ₋₁ जहाँ t₁ = 2।

    उत्तर: 8वाँ पद; tₙ = 2 × 3ⁿ⁻¹; tₙ = 3tₙ₋₁

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  5. प्रश्नावली 8.3 प्रश्न 5

    एक गेंद 80 मी की ऊँचाई से गिराई जाती है और हर बार उस ऊँचाई का 60% तक वापस उछलती है। (i) 5वीं उछाल के बाद प्राप्त ऊँचाई? (ii) जब वह 6वीं बार जमीन से टकराती है तो कुल अनुलंब दूरी क्या होगी?

    1. (i) प्रारंभिक ऊँचाई 80 मी है और गेंद पिछली ऊँचाई का 60% तक उछलती है।
      क्यों?

      प्रतिशत का अर्थ है '100 में से', इसलिए किसी राशि का x% = (x / 100) × वह राशि।

    2. (i) 1st उछाल के बाद ऊँचाई 80 × 0.6 = 48 मी है।
    3. (i) 2nd उछाल के बाद ऊँचाई 48 × 0.6 = 28.8 मी है।
    4. (i) 3rd उछाल के बाद ऊँचाई 28.8 × 0.6 = 17.28 मी है।
    5. (i) 4th उछाल के बाद ऊँचाई 17.28 × 0.6 = 10.368 मी है।
    6. (i) 5वीं उछाल के बाद ऊँचाई 10.368 × 0.6 = 6.2208 मी है।
    7. (ii) कुल दूरी में 80 मी की प्रारंभिक गिरावट शामिल है।
    8. (ii) गेंद 6वीं बार जमीन से टकराने से पहले पहली 5 उछालों के लिए ऊपर और नीचे दोनों ओर यात्रा करती है।
    9. (ii) पहली 5 उछालों की ऊँचाइयों का योग 48 + 28.8 + 17.28 + 10.368 + 6.2208 = 110.6688 मी है।
    10. (ii) कुल अनुलंब दूरी 80 + 2 × 110.6688 = 301.3376 मी है।

    उत्तर: (i) 6.2208 मी; (ii) 301.3376 मी

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  6. प्रश्नावली 8.3 प्रश्न 6

    श्रेणी 2, 2√2, 4, … का कौन सा पद 128 है?

    1. दी गई श्रेणी 2, 2√2, 4, ... है।
    2. दूसरे पद को पहले पद से विभाजित करके सार्व अनुपात r ज्ञात करें: r = 2√2 ÷ 2 = √2।
    3. तीसरे पद के साथ अनुपात को सत्यापित करें: 2√2 × √2 = 2 × 2 = 4, जो दिए गए पद से मेल खाता है।
    4. गुणोत्तर श्रेणी के nवें पद के लिए सूत्र का उपयोग करें: aₙ = a × rⁿ⁻¹।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।

    5. ज्ञात मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें: 128 = 2 × (√2)ⁿ⁻¹।
      क्यों?

      अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

    6. घातांकीय पद को अलग करने के लिए दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें: 64 = (√2)ⁿ⁻¹।
      क्यों?

      समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।

    7. 64 को √2 की घात के रूप में व्यक्त करें। चूंकि (√2)² = 2, तो (√2)⁶ = 2³ = 8 और (√2)¹² = 2⁶ = 64।
    8. घातांकों को समान करें: n − 1 = 12।
    9. n के लिए हल करें: n = 12 + 1 = 13।

    उत्तर: 13वाँ पद

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  7. प्रश्नावली 8.3 प्रश्न 7

    Sierpiński वर्ग कालीन (Fig. 8.12): Stage 0 एक वर्ग है; प्रत्येक stage हर लाल वर्ग को 9 में काटता है और मध्य वर्ग को हटाता है। (i) Stages 0 से 3 में लाल वर्ग; (ii) Stages 4 और 5 में; (iii) Stage n के लिए स्पष्ट और पुनरावर्ती नियम; (iv) यदि Stage 0 का क्षेत्रफल 1 है तो Stages 1 से 5 में लाल क्षेत्र, स्पष्ट और पुनरावर्ती सूत्र, और n बढ़ने पर क्या होता है।

    यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।

    1. (i) Stage 0 में 1 लाल वर्ग है।
    2. (i) Stage 1 में 8 लाल वर्ग हैं।
    3. (i) Stage 2 में 64 लाल वर्ग हैं।
    4. (i) Stage 3 में 512 लाल वर्ग हैं।
    5. (ii) Stage 4 में 4096 लाल वर्ग हैं।
    6. (ii) Stage 5 में 32768 लाल वर्ग हैं।
    7. (iii) Stage n पर लाल वर्गों की संख्या के लिए स्पष्ट नियम 8ⁿ है।
    8. (iii) पुनरावर्ती नियम aₙ = 8 × aₙ₋₁ है जहाँ a₀ = 1।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।

    9. (iv) Stage 1 पर लाल क्षेत्र 8/9 है।
    10. (iv) Stage 2 पर लाल क्षेत्र 64/81 है।
    11. (iv) Stage 3 पर लाल क्षेत्र 512/729 है।
    12. (iv) Stage 4 पर लाल क्षेत्र 4096/6561 है।
    13. (iv) Stage 5 पर लाल क्षेत्र 32768/59049 है।
    14. (iv) Stage n पर लाल क्षेत्र के लिए स्पष्ट सूत्र (8/9)ⁿ है।
    15. (iv) पुनरावर्ती सूत्र Aₙ = (8/9) × Aₙ₋₁ है जहाँ A₀ = 1।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।

    16. (iv) जैसे-जैसे n बढ़ता है, लाल क्षेत्र 0 के करीब पहुँचता है।

    उत्तर: (i) 1, 8, 64, 512; (ii) 4096, 32768; (iii) 8ⁿ, aₙ = 8aₙ₋₁; (iv) 8/9, 64/81, 512/729, 4096/6561, 32768/59049, (8/9)ⁿ, Aₙ = (8/9)Aₙ₋₁, 0 के करीब पहुँचता है

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