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कक्षा 9 गणित अभ्यास के प्रश्न के हल (Measuring Space: Perimeter and Area)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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अभ्यास प्रश्न 1
चित्र 6.41 क्षेत्रफल के रूप में (a + b)² = a² + 2ab + b² दर्शाता है। (a + b)(a − b) = a² − b² और (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca के लिए क्षेत्रफल चित्र बनाइए।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. (a + b)(a − b): भुजा a का एक वर्ग बनाइए (क्षेत्रफल a²) और एक कोने से भुजा b का एक छोटा वर्ग निकालिए (a > b मानिए)। शेष L-आकार का क्षेत्रफल a² − b² है।
  क्यों?
  (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² और a² − b² = (a + b)(a − b) जैसी सर्वसमिकाएँ अक्षरों के हर मान के लिए सही हैं, इसलिए लंबे गुणन की जगह इनका उपयोग किया जा सकता है।
2. L-आकार को आंतरिक किनारे के साथ दो आयतों में काटिए: एक a × (a − b) और एक b × (a − b)।
3. b × (a − b) आयत को a × (a − b) आयत के सिरे के विरुद्ध इस प्रकार रखिए कि उनकी a − b लंबाई की भुजाएं मेल खाएं।
4. एक साथ वे (a + b) और (a − b) भुजाओं वाला एक आयत बनाते हैं, इसलिए (a + b)(a − b) = a² − b²।
  क्यों?
  (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² और a² − b² = (a + b)(a − b) जैसी सर्वसमिकाएँ अक्षरों के हर मान के लिए सही हैं, इसलिए लंबे गुणन की जगह इनका उपयोग किया जा सकता है।
5. (a + b + c)² के लिए, भुजा की लंबाई (a + b + c) वाला एक बड़ा वर्ग बनाइए।
6. बड़े वर्ग की प्रत्येक भुजा को लंबाई a, b और c के तीन खंडों में विभाजित कीजिए।
7. इन विभाजन बिंदुओं के माध्यम से भुजाओं के समानांतर रेखाएं खींचिए ताकि छोटे आयतों की 3 × 3 ग्रिड बने।
8. ग्रिड में क्षेत्रफल a², b² और c² वाले तीन वर्ग हैं।
9. इसमें छह आयत भी हैं: ab का क्षेत्रफल वाले दो, bc का क्षेत्रफल वाले दो, और ca का क्षेत्रफल वाले दो।
10. सभी नौ क्षेत्रफलों का योग a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca है, जो कुल क्षेत्रफल (a + b + c)² के बराबर है।
उत्तर: क्षेत्रफल चित्र दर्शाते हैं कि (a + b)(a − b) = a² − b² और (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca है।
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अभ्यास प्रश्न 2
एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 40 सेमी है और समान भुजाएं 15 सेमी की हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
1. त्रिभुज का परिमाप 40 सेमी है और दोनों समान भुजाएं प्रत्येक 15 सेमी की हैं।
2. तीसरी भुजा की लंबाई 40 − (15 + 15) = 10 सेमी है।
3. अर्ध-परिमाप s (15 + 15 + 10) ÷ 2 = 20 सेमी है।
4. हीरोन के सूत्र का उपयोग करके, क्षेत्रफल = √[s(s−a)(s−b)(s−c)] = √[20(20−15)(20−15)(20−10)]।
5. मानों को प्रतिस्थापित करने से क्षेत्रफल = √[20 × 5 × 5 × 10] मिलता है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. वर्गमूल के अंदर की गुणनफल को सरल करने से √5000 मिलता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
7. 5000 को 2500 × 2 के रूप में गुणनखंडित करने से हम √5000 = √2500 × √2 लिख सकते हैं।
8. चूंकि √2500 = 50, क्षेत्रफल 50√2 सेमी² है।
9. √2 को 1.4142 के रूप में सन्निकटित करने से, क्षेत्रफल 50 × 1.4142 = 70.71 सेमी² है।
उत्तर: 50√2 सेमी², 70.71 सेमी²
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अभ्यास प्रश्न 3
एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 10 सेमी है और क्षेत्रफल 60 सेमी² है। समान भुजाएं ज्ञात कीजिए।
1. समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाओं को x सेमी मानिए।
2. आधार 10 सेमी है, इसलिए लंबवत् आधार को 5 सेमी के दो खंडों में बाँटता है।
3. बने समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, x² = 5² + h², जहाँ h ऊंचाई है।
4. त्रिभुज का क्षेत्रफल (1/2) × आधार × ऊंचाई = 60 सेमी² से दिया गया है।
5. आधार का मान प्रतिस्थापित करने से, (1/2) × 10 × h = 60।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. h के लिए हल करने से 5h = 60, इसलिए h = 12 सेमी।
7. अब पाइथागोरस समीकरण में h = 12 प्रतिस्थापित कीजिए: x² = 5² + 12²।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
8. x² = 25 + 144 = 169 की गणना कीजिए।
9. वर्गमूल लेने से, x = √169 = 13 सेमी।
उत्तर: 13 सेमी
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अभ्यास प्रश्न 4
एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 54 cm² है और एक भुजा 12 cm है। इसका परिमाप ज्ञात करें।
1. समकोण त्रिभुज की दोनों भुजाएँ 12 cm और b cm मानें।
2. समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल (1/2) × आधार × ऊँचाई द्वारा दिया जाता है।
3. ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें 54 = (1/2) × 12 × b प्राप्त होता है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
4. b के लिए हल करने पर, हमें b = 9 cm मिलता है।
5. अब हम कर्ण c को ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं, जहाँ c² = 12² + 9²।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
6. वर्गों की गणना करते हुए, c² = 144 + 81 = 225।
7. वर्गमूल लेते हुए, c = 15 cm।
8. परिमाप तीनों भुजाओं का योग है: 12 + 9 + 15।
9. इन मानों को जोड़ने से 36 cm मिलता है।
उत्तर: 36 cm
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अभ्यास प्रश्न 5
एक त्रिभुज की भुजाएँ 2 : 3 : 4 के अनुपात में हैं और परिमाप 45 cm है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।
1. त्रिभुज की भुजाएँ 2x, 3x और 4x मानें।
2. परिमाप 2x + 3x + 4x = 9x है।
3. परिमाप 45 cm दिया गया है, इसलिए 9x = 45।
4. x के लिए हल करने से x = 5 मिलता है।
5. त्रिभुज की भुजाएँ 2(5) = 10 cm, 3(5) = 15 cm और 4(5) = 20 cm हैं।
6. अर्ध-परिमाप s 45 ÷ 2 = 22.5 cm है।
7. Heron के सूत्र का उपयोग करते हुए, क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]।
8. मानों को प्रतिस्थापित करें: क्षेत्रफल = √[22.5(22.5 − 10)(22.5 − 15)(22.5 − 20)]।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
9. क्षेत्रफल = √[22.5 × 12.5 × 7.5 × 2.5]।
10. भिन्नों के रूप में s = 45/2, s − a = 25/2, s − b = 15/2, s − c = 5/2, इसलिए गुणनफल (45 × 25 × 15 × 5)/16 = 84375/16 (= 5273.4375) है।
11. 84375 = 5625 × 15 = 75² × 15, इसलिए क्षेत्रफल = √84375/4 = 75√15/4 cm²।
12. क्षेत्रफल ≈ 72.62 cm²।
उत्तर: 75√15/4 cm², 72.62
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अभ्यास प्रश्न 6
7 cm, 24 cm, 25 cm भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल दो अलग-अलग तरीकों से ज्ञात करें।
1. त्रिभुज की भुजाओं को a = 7 cm, b = 24 cm और c = 25 cm के रूप में पहचानें।
2. यह जाँचने के लिए कि यह समकोण त्रिभुज है, 7² + 24² = 25² को सत्यापित करें।
3. 49 + 576 = 625 की गणना करें, जो 25² के बराबर है, जिससे यह पुष्टि होती है कि यह 7 cm और 24 cm भुजाओं वाला समकोण त्रिभुज है।
4. विधि 1: समकोण त्रिभुज के लिए क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई सूत्र का उपयोग करें।
5. क्षेत्रफल = (1/2) × 7 × 24 प्राप्त करने के लिए मानों को प्रतिस्थापित करें।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. (1/2) × 168 = 84 cm² की गणना करें।
7. विधि 2: Heron के सूत्र का उपयोग करें, जहाँ s अर्ध-परिमाप है।
8. अर्ध-परिमाप s = (7 + 24 + 25) / 2 = 56 / 2 = 28 cm की गणना करें।
9. Heron के सूत्र को लागू करें: क्षेत्रफल = √(s(s-a)(s-b)(s-c))।
10. मानों को प्रतिस्थापित करें: क्षेत्रफल = √(28(28-7)(28-24)(28-25))।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
11. वर्गमूल के अंदर के पदों को सरल करें: √(28 × 21 × 4 × 3)।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
12. गुणनफल की गणना करें: 28 × 21 = 588 और 4 × 3 = 12, इसलिए √(588 × 12)।
13. 588 × 12 = 7056 को गुणा करें।
14. 7056 का वर्गमूल ज्ञात करें, जो 84 cm² है।
15. दोनों विधियाँ समान क्षेत्रफल देती हैं।
उत्तर: 84 cm²
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अभ्यास प्रश्न 7
एक साइकिल के पहिये का व्यास 60 cm है (π ≈ 22/7)। 100 चक्करों में तय की गई दूरी?
1. साइकिल के पहिये का व्यास 60 cm है।
2. पहिये की त्रिज्या व्यास का आधा है, इसलिए r = 60 ÷ 2 = 30 cm।
3. एक चक्कर में तय की गई दूरी पहिये की परिधि है, जो 2πr है।
  क्यों?
  परिधि = 2πr = πd: हर वृत्त के लिए π वही अनुपात (परिधि ÷ व्यास) है। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
4. मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, परिधि = 2 × (22/7) × 30 cm।
  क्यों?
  परिधि = 2πr = πd: हर वृत्त के लिए π वही अनुपात (परिधि ÷ व्यास) है। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
5. परिधि की गणना करने से (1320/7) cm मिलता है।
6. 100 चक्करों में तय की गई कुल दूरी परिधि का 100 गुना है।
7. कुल दूरी = 100 × (1320/7) cm = 132000/7 cm।
8. भिन्न को दशमलव में बदलते हुए, 132000 ÷ 7 ≈ 18857.14 cm।
9. दूरी को मीटर में बदलने के लिए, 100 से विभाजित करें।
10. 18857.14 cm ÷ 100 = 188.57 m।
उत्तर: 18857.14 cm, 188.57 m
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अभ्यास प्रश्न 8
66 cm परिधि वाले एक वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल (π ≈ 22/7)।
1. माना वृत्त की त्रिज्या r cm है।
2. वृत्त की परिधि सूत्र 2πr द्वारा दी जाती है।
  क्यों?
  परिधि = 2πr = πd: हर वृत्त के लिए π वही अनुपात (परिधि ÷ व्यास) है। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
3. दिए गए मान को प्रतिस्थापित करें: 2 × (22/7) × r = 66।
  क्यों?
  परिधि = 2πr = πd: हर वृत्त के लिए π वही अनुपात (परिधि ÷ व्यास) है। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
4. समीकरण को सरल बनाएं: (44/7) × r = 66।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
5. r के लिए हल करें: r = 66 × (7/44)।
6. r की गणना करें: r = 10.5 cm।
7. एक पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र πr² द्वारा दिया जाता है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
8. एक चतुर्थांश एक वृत्त का चौथाई है, इसलिए इसका क्षेत्रफल (1/4) × πr² है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
9. मानों को प्रतिस्थापित करें: क्षेत्रफल = (1/4) × (22/7) × (10.5)²।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
10. त्रिज्या का वर्ग निकालें: (10.5)² = 110.25।
11. पदों को गुणा करें: क्षेत्रफल = (1/4) × (22/7) × 110.25।
12. भिन्न को सरल बनाएं: (22/7) × 110.25 = 346.5।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
13. 4 से भाग दें: क्षेत्रफल = 346.5 / 4।
14. अंतिम गणना: क्षेत्रफल = 86.625 cm²।
उत्तर: 86.625 cm²
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अभ्यास प्रश्न 9
एक कार के पहिए की बाहरी त्रिज्या 28 cm है (π ≈ 22/7)। एक चक्कर में दूरी, और 1 km में चक्करों की संख्या?
1. एक चक्कर में तय की गई दूरी पहिए की परिधि के बराबर होती है।
2. परिधि = 2 × π × r = 2 × (22/7) × 28 cm।
  क्यों?
  परिधि = 2πr = πd: हर वृत्त के लिए π वही अनुपात (परिधि ÷ व्यास) है। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
3. परिधि = 176 cm।
  क्यों?
  परिधि = 2πr = πd: हर वृत्त के लिए π वही अनुपात (परिधि ÷ व्यास) है। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
4. 1 km की कुल दूरी को सेंटीमीटर में परिवर्तित करें: 1 km = 100000 cm।
5. चक्करों की संख्या = कुल दूरी ÷ एक चक्कर में दूरी।
6. चक्करों की संख्या = 100000 ÷ 176।
7. चक्करों की संख्या = 568.18।
उत्तर: एक चक्कर में दूरी = 176 cm; चक्करों की संख्या = 568.18
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अभ्यास प्रश्न 10
दो आयतों का क्षेत्रफल समान है और परिमाप भी समान है। क्या वे सर्वांगसम होने चाहिए?
1. माना पहले आयत की लंबाई l और चौड़ाई w है।
2. माना दूसरे आयत की लंबाई L और चौड़ाई W है।
3. चूंकि क्षेत्रफल समान हैं, lw = LW।
4. चूंकि परिमाप समान हैं, 2(l + w) = 2(L + W), जो l + w = L + W में सरल होता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
5. संख्याओं की जोड़ी (l, w) द्विघात समीकरण x² − (l + w)x + lw = 0 के मूल हैं।
6. संख्याओं की जोड़ी (L, W) द्विघात समीकरण x² − (L + W)x + LW = 0 के मूल हैं।
7. क्योंकि योग और गुणनफल समान हैं, दोनों जोड़ियां एक ही द्विघात समीकरण को संतुष्ट करती हैं।
8. एक द्विघात समीकरण के मूलों का एक अनन्य समुच्चय होता है, इसलिए {l, w} = {L, W}।
9. इसका मतलब है कि दोनों आयतों की लंबाई और चौड़ाई समान हैं, केवल संभवतः आपस में बदली हुई है।
10. इसलिए, दोनों आयत सर्वांगसम हैं।
उत्तर: हां, वे सर्वांगसम होने चाहिए।
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अभ्यास प्रश्न 11
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल (आधार × ऊंचाई) का उपयोग करते हुए और Fig. 6.42 (एक समलंब को एक समांतर चतुर्भुज और एक त्रिभुज में काटा गया) का उपयोग करके, समांतर भुजाओं a, b और ऊंचाई h वाले एक समलंब का क्षेत्रफल ½(a + b)h है, यह दिखाएं।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. एक समलंब ABCD पर विचार करें जिसकी समांतर भुजाएं AB = a और CD = b हैं, और ऊंचाई h है।
2. शीर्ष A के माध्यम से एक रेखा खींचें जो भुजा BC के समांतर है, और यह भुजा CD को बिंदु E पर काटती है।
3. यह निर्माण समलंब को एक समांतर चतुर्भुज ABCE और एक त्रिभुज ADE में विभाजित करता है।
4. समांतर चतुर्भुज ABCE में, आधार AB = a है और ऊंचाई h है, इसलिए इसका क्षेत्रफल a × h है।
5. त्रिभुज ADE में, आधार DE = CD − CE = b − a है और ऊंचाई h है, इसलिए इसका क्षेत्रफल ½(b − a)h है।
6. समलंब का कुल क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज और त्रिभुज के क्षेत्रफलों का योग है।
7. क्षेत्रफल = a × h + ½(b − a)h।
8. h को निकालने के लिए क्षेत्रफल = h(a + ½b − ½a)।
9. कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरल बनाएं क्षेत्रफल = h(½a + ½b)।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
10. ½ को निकालने के लिए अंतिम सूत्र क्षेत्रफल = ½(a + b)h प्राप्त करें।
उत्तर: समलंब का क्षेत्रफल = ½(a + b)h
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अभ्यास प्रश्न 12
एक समलंब चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में काटकर दिखाएँ कि इसका क्षेत्रफल ½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई है।
1. एक समलंब चतुर्भुज ABCD पर विचार करें जिसकी समांतर भुजाएँ AB और CD हैं, और ऊँचाई h है।
2. विकर्ण AC खींचें ताकि समलंब चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित किया जा सके: त्रिभुज ABC और त्रिभुज ACD।
3. त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ½ × आधार × ऊँचाई है, जो ½ × AB × h है।
4. त्रिभुज ACD का क्षेत्रफल ½ × आधार × ऊँचाई है, जो ½ × CD × h है।
5. समलंब चतुर्भुज का कुल क्षेत्रफल इन दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल का योग है।
6. क्षेत्रफल = ½ × AB × h + ½ × CD × h।
7. उभयनिष्ठ पद ½ × h को बाहर निकालें और ½ × h × (AB + CD) प्राप्त करें।
8. इस प्रकार, क्षेत्रफल ½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई है।
उत्तर: समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½ × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई
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अभ्यास प्रश्न 13
दिखाएँ कि दो समान समलंब चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, और इससे समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र प्राप्त करें।
1. दो समान समलंब चतुर्भुज लें जिनकी समांतर भुजाएँ a और b हैं और ऊँचाई h है।
2. दूसरे समलंब चतुर्भुज को उल्टा करके पहले के बगल में रखें ताकि उनकी असमांतर भुजाएँ संरेखित हों।
3. संयुक्त आकृति एक समांतर चतुर्भुज बनाती है क्योंकि विपरीत भुजाएँ समान और समांतर हैं।
4. इस समांतर चतुर्भुज का आधार समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाओं का योग है, जो a + b है।
5. समांतर चतुर्भुज की ऊँचाई समलंब चतुर्भुज की ऊँचाई के समान रहती है, अर्थात् h।
6. समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार × ऊँचाई के रूप में परिकलित किया जाता है, जो (a + b) × h है।
7. चूँकि समांतर चतुर्भुज दो समान समलंब चतुर्भुजों से बना है, एक समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा है।
8. इसलिए, समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 1/2 × (a + b) × h है।
उत्तर: समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = 1/2 × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊँचाई
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अभ्यास प्रश्न 14
दिखाएँ कि पतंग का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा है, (i) बीजगणितीय विधि से, (ii) ज्यामितीय विधि से।
1. पतंग को ABCD मान लें जिसमें AB = AD और CB = CD है। इसके विकर्ण AC और BD, O पर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं (AC सममिति की रेखा है)।
2. (i) पतंग चार समकोण त्रिभुजों AOB, BOC, COD, DOA से बना है जिनकी भुजाएँ विकर्णों के अनुदिश हैं।
3. (i) क्षेत्रफल = ½·AO·BO + ½·CO·BO + ½·CO·DO + ½·AO·DO = ½·BO·(AO + CO) + ½·DO·(AO + CO) = ½·(AO + CO)·(BO + DO)।
4. (i) चूँकि AO + CO = AC और BO + DO = BD, क्षेत्रफल = ½ × AC × BD।
5. (ii) पतंग के चारों ओर एक आयत खींचें जिसकी भुजाएँ A, B, C, D से होकर विकर्णों के समांतर गुजरती हैं; इसकी भुजाएँ AC और BD हैं, इसलिए इसका क्षेत्रफल AC × BD है।
6. (ii) विकर्ण इस आयत को चार छोटे आयतों में विभाजित करते हैं, और पतंग की प्रत्येक भुजा उनमें से एक का विकर्ण है, जो इसे दो बराबर भागों में काटती है।
7. (ii) पतंग प्रत्येक छोटे आयत का ठीक आधा भाग रखता है, इसलिए इसका क्षेत्रफल ½ × AC × BD है।
उत्तर: पतंग का क्षेत्रफल = ½ × AC × BD, अर्थात् इसके विकर्णों के गुणनफल का आधा
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अभ्यास प्रश्न 15
(i) भुजाएँ 2a, 2b वाले आयत बनाम भुजाएँ a, b वाले आयत; (ii) भुजाएँ 2a, 2b, 2c वाला त्रिभुज बनाम भुजाएँ a, b, c वाला त्रिभुज; (iii) भुजाएँ 3a, 3b, 3c वाला त्रिभुज बनाम a, b, c वाला त्रिभुज। दिखाएँ कि क्षेत्रफल 4, 4 और 9 गुना हैं, और जाँचें कि क्या 4, 4 और 9 प्रतियाँ छोटी आकृति की बड़ी आकृति में समा सकती हैं।
1. (i) क्षेत्रफल(ABCD) = ab और क्षेत्रफल(PQRS) = 2a × 2b = 4ab, जो 4 गुना अधिक है।
2. (i) हाँ: PQRS की विपरीत भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाएँ इसे चार आयतों में काटती हैं, प्रत्येक a × b का है, इसलिए ABCD की 4 प्रतियाँ PQRS को पूरी तरह भरती हैं।
3. (ii) △ABC के लिए, s = (a + b + c)/2 के साथ, हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल = √(s(s − a)(s − b)(s − c))।
4. (ii) △PQR में प्रत्येक भुजा दोगुनी होती है, इसलिए इसका अर्ध-परिमाप 2s है और s − a, s − b, s − c में से प्रत्येक भी दोगुना हो जाता है।
5. (ii) इसका क्षेत्रफल = √(2s × 2(s − a) × 2(s − b) × 2(s − c)) = √16 × √(s(s − a)(s − b)(s − c)) = 4 × क्षेत्रफल(△ABC)।
6. (ii) हाँ, 4 प्रतियाँ समा सकती हैं: △PQR की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाएँ। मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार प्रत्येक जोड़ने वाली रेखा उसकी समांतर भुजा का आधा है, इसलिए चारों छोटे त्रिभुज सभी की भुजाएँ a, b, c हैं और △ABC के सर्वांगसम हैं।
7. (iii) भुजाएँ 3a, 3b, 3c वाले के साथ अर्ध-परिमाप 3s है और प्रत्येक गुणनखंड तीन गुना हो जाता है, इसलिए क्षेत्रफल = √81 × √(s(s − a)(s − b)(s − c)) = 9 × क्षेत्रफल(△ABC)।
8. (iii) हाँ, 9 प्रतियाँ समा सकती हैं: △PQR की प्रत्येक भुजा को तीन बराबर भागों में विभाजित करें और इन बिंदुओं से होकर भुजाओं के समांतर रेखाएँ खींचें। यह 9 छोटे त्रिभुज बनाता है (6 एक ओर, 3 दूसरी ओर), प्रत्येक की भुजाएँ a, b, c हैं।
उत्तर: (i) 4 गुना, और 4 प्रतियाँ समा सकती हैं; (ii) 4 गुना, और 4 प्रतियाँ समा सकती हैं; (iii) 9 गुना, और 9 प्रतियाँ समा सकती हैं
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अभ्यास प्रश्न 16
कितना भाग छायांकित है? (i) चित्र 6.43: एक त्रिभुज में, छायांकित 4-भुज के कोने एक शीर्ष पर, उस शीर्ष से एक भुजा के मध्य बिंदु पर, और इसके विपरीत भुजा के दो त्रिभाजन बिंदुओं पर हैं; (ii) चित्र 6.44: एक वर्ग में, छोटा वर्ग चार रेखाओं द्वारा बनाया गया है जो प्रत्येक कोने से एक भुजा के मध्य बिंदु तक जाती हैं।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. (i) त्रिभुज को PTR कहें, जहाँ P छायांकित कोने पर शीर्ष है, M PT का मध्य बिंदु है, और X, Y वे बिंदु हैं जो TR को तीन समान भागों में विभाजित करते हैं (X, T के निकट)।
2. (i) छायांकित 4-भुज PMXY त्रिभुज PTY है जिससे त्रिभुज TMX निकाला गया है।
3. (i) त्रिभुज PTY और PTR का P से समान ऊँचाई है, और TY = (2/3)TR, इसलिए क्षेत्र(△PTY) = (2/3) क्षेत्र(△PTR)।
4. (i) TX = (1/3)TR, इसलिए क्षेत्र(△TPX) = (1/3) क्षेत्र(△PTR); M, TP का मध्य बिंदु है, इसलिए क्षेत्र(△TMX) = ½ क्षेत्र(△TPX) = (1/6) क्षेत्र(△PTR)।
5. (i) छायांकित = 2/3 − 1/6 = 4/6 − 1/6 = 3/6 = 1/2 त्रिभुज का।
6. (ii) वर्ग को कोनों के साथ लें (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2)। चार रेखाएँ हैं y = x/2 और y = 1 + x/2 (ढलान ½), और y = 2 − 2x और y = 4 − 2x (ढलान −2)।
7. (ii) ढलान ½ और −2 का गुणनफल −1 है, इसलिए विभिन्न जोड़ी की रेखाएँ लंबवत हैं, और प्रत्येक जोड़ी समानांतर है: छायांकित आकृति एक आयत है।
8. (ii) इसके कोने: y = x/2, y = 2 − 2x को (0.8, 0.4) पर और y = 4 − 2x को (1.6, 0.8) पर मिलता है; y = 1 + x/2, y = 4 − 2x को (1.2, 1.6) पर और y = 2 − 2x को (0.4, 1.2) पर मिलता है।
9. (ii) भुजाएँ: (0.8, 0.4) से (1.6, 0.8) तक √(0.8² + 0.4²) = √0.8 है, और (1.6, 0.8) से (1.2, 1.6) तक √(0.4² + 0.8²) = √0.8 है। इसलिए यह क्षेत्रफल 0.8 का एक वर्ग है।
10. (ii) भाग = 0.8 ÷ 4 = 1/5।
उत्तर: (i) 1/2; (ii) 1/5
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अभ्यास प्रश्न 17
आयत का कितना भाग वृत्तों द्वारा आवृत है? चित्र 6.45: एक पंक्ति में 3 समान वृत्त, एक-दूसरे को और आयत की भुजाओं को स्पर्श करते हुए; चित्र 6.46: 4 वृत्तों के साथ समान।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या r हो। वृत्त एक-दूसरे को और आयत की भुजाओं को स्पर्श करते हैं, इसलिए आयत 2r लंबा और एक पंक्ति में रखा गया व्यासों जितना लंबा है।
2. चित्र 6.45: 3 वृत्त; आयत 6r × 2r = 12r²; वृत्त 3 × πr² = 3πr²।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
3. भाग = 3πr² ÷ 12r² = π/4।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
4. चित्र 6.46: 4 वृत्त; आयत 8r × 2r = 16r²; वृत्त 4πr²।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
5. भाग = 4πr² ÷ 16r² = π/4।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
6. π ≈ 22/7 के साथ, π/4 ≈ 22/28 = 11/14, लगभग 0.786।
उत्तर: दोनों चित्रों में वृत्त आयत का π/4 ≈ 11/14 आवृत करते हैं
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अभ्यास प्रश्न 18
n समान वृत्तों द्वारा आयत के आवृत भाग का अनुमान लगाएँ जो एक पंक्ति में उसी तरह फिट किए गए हैं; 10, 20 और 50 वृत्तों के लिए परीक्षण करें, फिर इसे सिद्ध करें।
1. प्रत्येक वृत्त का व्यास d हो, इसलिए त्रिज्या r = d/2 है।
2. एक वृत्त का क्षेत्रफल πr² = π(d/2)² = πd²/4 है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
3. एक पंक्ति में n वृत्तों को रखने वाले आयत का क्षेत्रफल लंबाई × चौड़ाई = (nd) × d = nd² है।
4. n वृत्तों का कुल क्षेत्रफल n × (πd²/4) = nπd²/4 है।
5. आयत का आवृत भाग (nπd²/4) / (nd²) = π/4 है।
6. 10 वृत्तों के लिए, भाग π/4 ≈ 3.14159/4 ≈ 0.7854 है।
7. 20 वृत्तों के लिए, भाग π/4 ≈ 0.7854 है।
8. 50 वृत्तों के लिए, भाग π/4 ≈ 0.7854 है।
9. भाग n से स्वतंत्र है और π/4 के बराबर है।
10. मान 11/14 लगभग 0.7857 है, जो π/4 का एक निकट परिमेय सन्निकटन है।
उत्तर: भाग π/4 है; 11/14
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अभ्यास प्रश्न 19
चित्र 6.47: नौ समान आयत (ऊपरी पंक्ति में 4 लेटे हुए, निचली पंक्ति में 5 खड़े हुए) 72 cm² क्षेत्रफल वाले एक बड़े आयत बनाते हैं। प्रत्येक छोटे आयत का परिमाप ज्ञात करें।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. प्रत्येक छोटे आयत की लंबाई l cm और चौड़ाई b cm हो।
2. ऊपरी पंक्ति से, बड़े आयत की लंबाई 4l है, और निचली पंक्ति से, यह 5b है।
3. लंबाईयों को बराबर करने से 4l = 5b, इसलिए l = (5/4)b।
4. बड़े आयत की चौड़ाई ऊर्ध्वाधर आयामों का योग है: l + b।
5. बड़े आयत का क्षेत्रफल 4l × (l + b) = 72 है।
6. क्षेत्रफल समीकरण में l = (5/4)b रखें: 4 × (5/4)b × ((5/4)b + b) = 72।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
7. सरल करें 5b × (9/4)b = 72, जो (45/4)b² = 72 देता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
8. b² के लिए हल करें b² = 72 × 4 / 45 = 32/5।
9. इसलिए b = √(32/5) = 4√10 / 5 cm।
10. l = (5/4)b = (5/4) × (4√10 / 5) = √10 cm की गणना करें।
11. प्रत्येक छोटे आयत का परिमाप 2(l + b) = 2(√10 + 4√10 / 5) है।
12. परिमाप को सरल करें: 2(9√10 / 5) = 18√10 / 5 cm।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
13. मान का सन्निकटन: 18 × 3.162 / 5 ≈ 11.38 cm।
उत्तर: 18√10/5 cm, 11.38
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अभ्यास प्रश्न 20
चित्र 6.48: एक त्रिभुज के शीर्ष से आधार के दो त्रिभाजन बिंदुओं तक खींची गई रेखाएं। नीले त्रिभुज (बायाँ तीसरा भाग) और लाल त्रिभुज (दायाँ तीसरा भाग) का क्षेत्रफल समान है, यह दिखाएं और नीले त्रिभुज को इस तरह काटने का एक तरीका खोजें कि वह टुकड़े लाल त्रिभुज को ढक सकें।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. माना त्रिभुज ABC है जहाँ A शीर्ष है और BC आधार है, तथा D और E, BC को तीन समान भागों में बाँटते हैं, BD = DE = EC। नीला = △ABD, लाल = △AEC।
2. दोनों त्रिभुज का BC पर आधार BC/3 की लंबाई का है और समान शीर्ष A है, इसलिए दोनों की समान ऊँचाई h है, जो A की BC से दूरी है।
3. क्षेत्रफल(△ABD) = ½ × BD × h = ½ × EC × h = क्षेत्रफल(△AEC)।
4. काटने का एक तरीका: माना M और N क्रमशः AB और AD के मध्य बिंदु हैं। नीले त्रिभुज को MN के साथ काटें और छोटे त्रिभुज AMN को N के चारों ओर 180° घुमाएं, ताकि NA, ND पर आ जाए। नीला त्रिभुज एक समांतर चतुर्भुज बन जाता है जिसका आधार BD और ऊँचाई h/2 है।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) है: हर निर्देशांक दोनों सिरों का औसत है।
5. इस समांतर चतुर्भुज के एक तिरछे सिरे पर एक त्रिभुज को काटें और इसे दूसरे सिरे पर खिसकाएं (यदि तिरछापन बड़ा है तो एक से अधिक काट); यह BC/3 आधार और h/2 ऊँचाई वाला एक आयत बन जाता है।
6. लाल त्रिभुज एक ही चरणों द्वारा उसी आयत में बदल जाता है (AE और AC के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के साथ काटें, फिर सीधा करें)।
7. इसलिए नीले त्रिभुज के टुकड़े, उस आयत में पुनः व्यवस्थित किए जा सकते हैं, जिन्हें लाल त्रिभुज के चरणों को उलट कर लाल त्रिभुज को बिल्कुल ढकने के लिए एक साथ रखा जा सकता है। अन्य विभाजन भी काम करते हैं।
उत्तर: नीले और लाल त्रिभुज प्रत्येक का क्षेत्रफल ½ × (BC/3) × h है, इसलिए वे समान हैं; नीले त्रिभुज को BC/3 आधार और h/2 ऊँचाई वाले आयत में काटा जा सकता है, जो लाल त्रिभुज को फिर से बनाता है
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अभ्यास प्रश्न 21
चित्र 6.49: एक वर्ग में एक चतुर्थांश वृत्त, जिसका केंद्र एक शीर्ष पर है और यह दोनों आसन्न शीर्षों से गुजरता है, और उस शीर्ष से गुजरने वाली दोनों भुजाओं पर अर्धवृत्त। दिखाएं कि छायांकित क्षेत्र A (दोनों अर्धवृत्तों के लिए सामान्य) और B (चतुर्थांश वृत्त में, दोनों अर्धवृत्तों के बाहर) का क्षेत्रफल समान है।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. माना वर्ग की भुजा s है। चतुर्थांश वृत्त एक कोने O पर केंद्रित है जिसकी त्रिज्या s है; दोनों अर्धवृत्त O से गुजरने वाली दोनों भुजाओं पर खड़े हैं, प्रत्येक की त्रिज्या s/2 है।
2. चतुर्थांश वृत्त का क्षेत्रफल = ¼ × π × s² = πs²/4।
3. प्रत्येक अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = ½ × π × (s/2)² = πs²/8, इसलिए दोनों का क्षेत्रफल πs²/4 है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
4. O से गुजरने वाली s लंबाई की भुजा पर अर्धवृत्त का कोई भी बिंदु O से s से अधिक दूर नहीं है, इसलिए दोनों अर्धवृत्त चतुर्थांश वृत्त के अंदर हैं।
5. दोनों अर्धवृत्त क्षेत्र A में बिल्कुल ओवरलैप करते हैं, इसलिए वे एक साथ πs²/8 + πs²/8 − A = πs²/4 − A का क्षेत्रफल कवर करते हैं।
6. क्षेत्र B चतुर्थांश वृत्त का वह भाग है जो दोनों अर्धवृत्तों के बाहर है: B = πs²/4 − (πs²/4 − A) = A।
उत्तर: क्षेत्रफल(A) = क्षेत्रफल(B)
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अभ्यास प्रश्न 22
चित्र 6.50: 2 इकाई की भुजा वाला एक वर्ग, जिसके अंदर इसकी भुजाओं पर चार अर्धवृत्त हैं, जो एक 4-पंखुड़ी वाला फूल बनाते हैं। फूल का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात करें।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. वर्ग की भुजा 2 है, इसलिए प्रत्येक अर्धवृत्त की त्रिज्या 1 है, जो एक भुजा के मध्य बिंदु पर केंद्रित है।
2. प्रत्येक पंखुड़ी वर्ग के एक कोने से उसके केंद्र तक जाती है। इसके दोनों किनारे उन दोनों अर्धवृत्तों के चाप हैं जो उस कोने पर मिलती हैं।
3. ऐसे अर्धवृत्त के केंद्र (एक भुजा का मध्य बिंदु) से, कोना और वर्ग के केंद्र दोनों 1 इकाई दूर हैं और लंबवत दिशाओं में हैं, इसलिए प्रत्येक पंखुड़ी किनारा 1 की त्रिज्या का चतुर्थांश वृत्त है।
4. परिमाप: 4 पंखुड़ियाँ × 2 किनारे = 8 चतुर्थांश चाप = 8 × ¼ × 2π × 1 = 4π इकाइयाँ।
5. π ≈ 22/7 के साथ, 4π ≈ 88/7 ≈ 12.57 इकाइयाँ।
6. आधी पंखुड़ी एक चतुर्थांश वृत्त 1 की त्रिज्या का माइनस 1 और 1 पैरों वाला समकोण त्रिभुज: π/4 − 1/2।
7. एक पंखुड़ी = 2 × (π/4 − 1/2) = π/2 − 1, इसलिए चारों पंखुड़ियों का क्षेत्रफल 2π − 4 वर्ग इकाइयाँ हैं।
8. π ≈ 22/7 के साथ, 2π − 4 ≈ 44/7 − 28/7 = 16/7 ≈ 2.29 वर्ग इकाइयाँ।
उत्तर: परिमाप 4π ≈ 88/7 ≈ 12.57 इकाइयाँ; क्षेत्रफल 2π − 4 ≈ 16/7 ≈ 2.29 वर्ग इकाइयाँ
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अभ्यास प्रश्न 23
चित्र 6.51: दो संकेंद्रित वृत्त, केंद्र O; बड़े वृत्त की जीवा BC, जिसकी लंबाई l है, छोटे वृत्त को A पर स्पर्श करती है। दिखाएं कि वृत्तों के बीच की वलय का क्षेत्रफल ¼πl² है।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. माना छोटे वृत्त की त्रिज्या r है और बड़े वृत्त की त्रिज्या R है।
2. क्योंकि जीवा BC छोटे वृत्त को A पर स्पर्श करती है, OA, BC के लंबवत है।
3. एक वृत्त में, केंद्र से जीवा पर लंबवत जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए AB = BC / 2 = l / 2।
  क्यों?
  वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है (इससे बने दोनों समकोण त्रिभुज RHS से सर्वांगसम होते हैं)।
4. समकोण त्रिभुज OAB में, कर्ण OB = R है और भुजाएं OA = r और AB = l / 2 हैं।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
5. पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, R² = r² + (l / 2)²।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
6. वर्ग को विस्तृत करने पर, R² = r² + l² / 4।
  क्यों?
  विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
7. पदों को पुनः व्यवस्थित करने से R² − r² = l² / 4 मिलता है।
8. दोनों वृत्तों के बीच वलय का क्षेत्रफल बड़े वृत्त के क्षेत्रफल से छोटे वृत्त के क्षेत्रफल को घटाना है।
9. वलय का क्षेत्रफल = πR² − πr² = π(R² − r²)।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
10. पिछले चरण से मान को प्रतिस्थापित करने पर, क्षेत्रफल = π(l² / 4) = ¼πl²।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
उत्तर: वलय का क्षेत्रफल ¼πl² है।
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अभ्यास प्रश्न 24
Fig. 6.52: एक समकोण त्रिभुज के सभी ओर अर्धवृत्त, कर्ण पर बना अर्धवृत्त त्रिभुज के ऊपर खींचा गया है। दिखाएँ कि area(A) + area(B) = area(C), जहाँ A और B दोनों छोटी भुजाओं पर अर्धचंद्र हैं और C त्रिभुज है।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. समकोण त्रिभुज की भुजाएँ a, b और c हों, जहाँ c कर्ण है।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
2. व्यास x वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल (1/2) × π × (x/2)² = πx²/8 है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
3. भुजा a पर अर्धवृत्त का क्षेत्रफल πa²/8 है, भुजा b पर πb²/8 है, और कर्ण c पर πc²/8 है।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
4. कर्ण को व्यास मानकर बना वृत्त समकोण के शीर्ष से गुजरता है, इसलिए c पर त्रिभुज के ऊपर खींचा गया अर्धवृत्त त्रिभुज C और दो खंडों को कवर करता है: एक भुजा a द्वारा काटा गया और एक भुजा b द्वारा काटा गया।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
5. इसलिए πc²/8 = C + (a पर खंड) + (b पर खंड)।
6. अर्धचंद्र A = a पर अर्धवृत्त घटा a पर खंड, और अर्धचंद्र B = b पर अर्धवृत्त घटा b पर खंड।
7. A + B = πa²/8 + πb²/8 − (a पर खंड + b पर खंड) = π(a² + b²)/8 − (πc²/8 − C)।
8. पाइथागोरस प्रमेय द्वारा a² + b² = c², इसलिए A + B = πc²/8 − πc²/8 + C = C।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
उत्तर: area(A) + area(B) = area(C)
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अभ्यास प्रश्न 25
Fig. 6.53: त्रिज्या r के दो वृत्त, प्रत्येक दूसरे के केंद्र से गुजरता है। दोनों वृत्तों के लिए सामान्य क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. दोनों वृत्तों के केंद्र O और O' हों और त्रिज्या r हो।
2. चूँकि प्रत्येक वृत्त दूसरे के केंद्र से गुजरता है, दूरी OO' = r है।
3. वृत्त बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करें।
4. OA, O'A, OB और O'B को जोड़ें।
5. त्रिभुज OAO' में, OA = O'A = OO' = r, इसलिए यह एक समबाहु त्रिभुज है।
6. इसलिए, angle AOO' = 60°।
7. इसी तरह, त्रिभुज OBO' समबाहु है, इसलिए angle BOO' = 60°।
8. उभयनिष्ठ जीवा AB द्वारा केंद्र O पर अंतरित केंद्रीय कोण angle AOB = 60° + 60° = 120° है।
9. त्रिज्यखंड OAB का क्षेत्रफल (120/360) × πr² = (1/3)πr² है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
10. त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल (1/2)r² sin(120°) = (1/2)r²(√3/2) = (√3/4)r² है।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
11. जीवा AB द्वारा काटे गए पहले वृत्त के खंड का क्षेत्रफल Area(Sector OAB) − Area(△OAB) = (π/3 − √3/4)r² है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
12. उभयनिष्ठ क्षेत्र ऐसे दो समान खंडों का योग है (एक प्रत्येक वृत्त से)।
13. कुल उभयनिष्ठ क्षेत्रफल = 2 × (π/3 − √3/4)r² = (2π/3 − √3/2)r²।
14. π ≈ 3.14 का उपयोग करते हुए, गुणांक (2 × 3.14 / 3) − (1.732 / 2) ≈ 2.093 − 0.866 = 1.227 ≈ 1.23 है।
उत्तर: (2π/3 − √3/2)r², जो लगभग 1.23 r² है
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अभ्यास प्रश्न 26
Fig. 6.54: एक आयत में, क्षेत्रफल A, B, C के त्रिभुज अंकित हैं (C का आंतरिक बिंदु पर समकोण है)। दिखाएँ कि आयत का क्षेत्रफल 2(A + C)(B + C)/C है।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. त्रिभुज A और B द्वारा साझा किया गया कोना O = (0, 0) हो, और आयत की चौड़ाई w और ऊँचाई h हो, इसलिए इसका क्षेत्रफल wh है।
2. चित्र की तरह, शीर्ष शिखर T = (x, h) ऊपरी भुजा पर है, R = (w, y) दाईं भुजा पर है, और आंतरिक बिंदु Q = (x, y) सीधे T के नीचे और R के स्तर पर है।
3. C = △TQR का Q पर समकोण है जिसकी भुजाएँ TQ = h − y और QR = w − x हैं, इसलिए C = ½(h − y)(w − x)।
4. A = △OTQ का आधार TQ = h − y T के माध्यम से ऊर्ध्वाधर रेखा पर है, और O उस रेखा से x दूर है, इसलिए A = ½(h − y)x।
5. B = △OQR का आधार QR = w − x R के माध्यम से क्षैतिज रेखा पर है, और O उस रेखा से y नीचे है, इसलिए B = ½(w − x)y।
6. A + C = ½(h − y)(x + w − x) = ½(h − y)w, और B + C = ½(w − x)(y + h − y) = ½(w − x)h।
7. 2(A + C)(B + C)/C = 2 × ½(h − y)w × ½(w − x)h ÷ [½(h − y)(w − x)] = wh, आयत का क्षेत्रफल।
उत्तर: आयत का क्षेत्रफल = 2(A + C)(B + C)/C
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अभ्यास प्रश्न 27
Fig. 6.55: केंद्र O के साथ त्रैमासिक वृत्त AFB, AB को व्यास मानकर अर्धवृत्त AEB, त्रिभुज AOB। दिखाएँ कि छायांकित अर्धचंद्र AEBF और छायांकित त्रिभुज AOB के क्षेत्रफल समान हैं।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. OA = OB = r हो। कोण AOB 90° है, इसलिए AB = √(r² + r²) = r√2।
2. त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल ½ × r × r = r²/2 है।
3. अर्धवृत्त AEB की त्रिज्या AB/2 = r√2/2 है, इसलिए इसका क्षेत्रफल ½ × π × (r√2/2)² = ½ × π × r²/2 = πr²/4 है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
4. त्रैमासिक वृत्त AFB (केंद्र O) का क्षेत्रफल πr²/4 है। जीवा AB और चाप AFB के बीच इसका भाग क्षेत्रफल πr²/4 − r²/2 का खंड है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
5. अर्धचंद्र AEBF AB पर अर्ध-डिस्क घटा यह खंड है: πr²/4 − (πr²/4 − r²/2) = r²/2।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
6. इसलिए अर्धचंद्र AEBF और त्रिभुज AOB दोनों का क्षेत्रफल r²/2 है।
उत्तर: area(अर्धचंद्र AEBF) = area(△AOB) = r²/2
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कक्षा 9 गणित अभ्यास के प्रश्न के हल (Measuring Space: Perimeter and Area)

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