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कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 6.3 के हल (Measuring Space: Perimeter and Area)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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प्रश्नावली 6.3 प्रश्न 1
7 cm त्रिज्या और 60° कोण वाले एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (π ≈ 22/7)।
1. त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का सूत्र (θ/360) × πr² है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
2. दिए गए मानों को प्रतिस्थापित कीजिए: θ = 60°, r = 7 cm, और π = 22/7।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
3. क्षेत्रफल = (60/360) × (22/7) × 7²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
4. भिन्न 60/360 को 1/6 तक सरल कीजिए।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
5. क्षेत्रफल = (1/6) × 22 × 7।
6. क्षेत्रफल = 154/6।
7. क्षेत्रफल = 77/3।
8. क्षेत्रफल ≈ 25.67 cm²।
उत्तर: 25.67 cm²
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प्रश्नावली 6.3 प्रश्न 2
परिधि 44 सेमी वाले एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल (π ≈ 22/7)।
1. वृत्त की परिधि 44 सेमी दी गई है।
  क्यों?
  परिधि = 2πr = πd: हर वृत्त के लिए π वही अनुपात (परिधि ÷ व्यास) है। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
2. सूत्र C = 2πr का उपयोग करके, हमारे पास 2 × (22/7) × r = 44 है।
  क्यों?
  परिधि = 2πr = πd: हर वृत्त के लिए π वही अनुपात (परिधि ÷ व्यास) है। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
3. r के लिए हल करने पर r = 44 × 7 ÷ 44 = 7 सेमी मिलता है।
4. पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल πr² = (22/7) × 7 × 7 = 154 सेमी² है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
5. चतुर्थांश वृत्त का एक-चौथाई है, इसलिए इसका क्षेत्रफल 154 ÷ 4 है।
6. चतुर्थांश का क्षेत्रफल 38.5 सेमी² है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
उत्तर: 38.5 सेमी²
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प्रश्नावली 6.3 प्रश्न 3
एक घड़ी की मिनट की सुई 7 सेमी लंबी है। 10 मिनट में यह जो क्षेत्र तय करती है (π ≈ 22/7)?
1. मिनट की सुई 60 मिनट में 360° चलती है।
2. 10 मिनट में, स्वेप्ट कोण (10/60) × 360° = 60° है।
3. स्वेप्ट क्षेत्र 7 सेमी त्रिज्या और 60° कोण वाले एक सेक्टर का क्षेत्रफल है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
4. क्षेत्रफल = (60/360) × (22/7) × 7²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
5. क्षेत्रफल = (1/6) × 22 × 7।
6. क्षेत्रफल = 154/6 सेमी²।
7. क्षेत्रफल ≈ 25.67 सेमी²।
उत्तर: 25.67 सेमी²
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प्रश्नावली 6.3 प्रश्न 4
10 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की जीवा केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। निम्नलिखित का क्षेत्रफल ज्ञात करें: (i) लघु सेक्टर (90°), (ii) दीर्घ सेक्टर (270°), जहाँ π ≈ 3.14।
1. (i) वृत्त की त्रिज्या r = 10 सेमी है।
2. (i) लघु सेक्टर द्वारा बनाया गया कोण θ = 90° है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
3. (i) लघु सेक्टर का क्षेत्रफल सूत्र (θ/360) × πr² का उपयोग करके गणना की जाती है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
4. (i) मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, क्षेत्रफल = (90/360) × 3.14 × (10)²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
5. (i) भिन्न और वर्ग को सरल करते हुए, क्षेत्रफल = (1/4) × 3.14 × 100।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
6. (i) गुणनफल की गणना करते हुए, क्षेत्रफल = 0.25 × 314 = 78.5 सेमी²।
7. (ii) दीर्घ सेक्टर द्वारा बनाया गया कोण 360° − 90° = 270° है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
8. (ii) दीर्घ सेक्टर का क्षेत्रफल सूत्र (θ/360) × πr² का उपयोग करके गणना की जाती है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
9. (ii) मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, क्षेत्रफल = (270/360) × 3.14 × (10)²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
10. (ii) भिन्न और वर्ग को सरल करते हुए, क्षेत्रफल = (3/4) × 3.14 × 100।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
11. (ii) गुणनफल की गणना करते हुए, क्षेत्रफल = 0.75 × 314 = 235.5 सेमी²।
उत्तर: (i) 78.5 सेमी²; (ii) 235.5 सेमी²
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प्रश्नावली 6.3 प्रश्न 5
15 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। लघु और दीर्घ वृत्तखंड (segment) का क्षेत्रफल ज्ञात करें (π ≈ 3.14, √3 ≈ 1.73)।
1. मान लें O केंद्र है, और AB जीवा है जो O पर 60° का कोण बनाती है।
2. △OAB में, OA = OB = 15 सेमी (त्रिज्याएं) हैं, इसलिए ∠OAB = ∠OBA = (180° − 60°)/2 = 60° है।
3. इसलिए △OAB समबाहु त्रिभुज है, और इसका क्षेत्रफल (√3/4) × 15² = (1.73/4) × 225 = 97.3125 सेमी² है।
4. सेक्टर OAB का क्षेत्रफल = (60/360) × π × 15² = (1/6) × 3.14 × 225 = 117.75 सेमी²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
5. लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = सेक्टर का क्षेत्रफल − △OAB का क्षेत्रफल = 117.75 − 97.3125 = 20.4375 सेमी² ≈ 20.44 सेमी²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
6. वृत्त का क्षेत्रफल = π × 15² = 3.14 × 225 = 706.5 सेमी²।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
7. दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल − लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 706.5 − 20.4375 = 686.0625 सेमी² ≈ 686.06 सेमी²।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
उत्तर: लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 20.44 सेमी²; दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल = 686.06 सेमी²
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प्रश्नावली 6.3 प्रश्न 6
दो गैर-अतिव्यापी कार वाइपर, प्रत्येक ब्लेड 28 सेमी लंबा, प्रत्येक 120° को स्वीप करता है। प्रति स्वीप कुल सफाई का क्षेत्र (π ≈ 22/7)?
1. एक वाइपर ब्लेड द्वारा सफाई किया गया क्षेत्र त्रिज्या r = 28 सेमी और कोण θ = 120° वाले एक सेक्टर का क्षेत्र है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
2. एक सेक्टर का क्षेत्र = (θ/360) × πr² = (120/360) × (22/7) × 28²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
3. भिन्न को सरल बनाएं: 120/360 = 1/3।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
4. r² की गणना करें: 28² = 784।
5. एक वाइपर के लिए क्षेत्र की गणना करें: (1/3) × (22/7) × 784 = (1/3) × 22 × 112 = 2464/3 सेमी²।
6. चूंकि दो गैर-अतिव्यापी वाइपर हैं, एक सेक्टर के क्षेत्र को 2 से गुणा करें।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
7. कुल सफाई का क्षेत्र = 2 × (2464/3) = 4928/3 सेमी²।
8. दशमलव में परिवर्तित करें: 4928 ÷ 3 ≈ 1642.67 सेमी²।
उत्तर: 1642.67 सेमी²
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प्रश्नावली 6.3 प्रश्न 7
त्रिज्या r वाले एक वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। दिखाएं कि लघु खंड का क्षेत्र πr²/6 − (√3/4)r² है, अर्थात् r²(π/6 − √3/4)।
1. माना O वृत्त का केंद्र है और AB वह जीवा है जो O पर 60° का कोण बनाती है।
2. चूंकि OA = OB = r और ∠AOB = 60° है, त्रिभुज OAB समबाहु है।
3. समबाहु त्रिभुज OAB का क्षेत्र (√3/4)r² है।
4. 60° कोण वाले सेक्टर OAB का क्षेत्र (60/360) × πr² = πr²/6 है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
5. लघु खंड का क्षेत्र सेक्टर के क्षेत्र से त्रिभुज के क्षेत्र को घटाने के बराबर है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
6. लघु खंड का क्षेत्र = πr²/6 − (√3/4)r²।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
7. इसे r²(π/6 − √3/4) के रूप में लिखा जा सकता है।
उत्तर: लघु खंड का क्षेत्र r²(π/6 − √3/4) है।
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प्रश्नावली 6.3 प्रश्न 8
एक समबाहु त्रिभुज त्रिज्या r वाले एक वृत्त में अंकित है। दिखाएं कि त्रिभुज का क्षेत्र : वृत्त का क्षेत्र = 3√3/(4π) ≈ 0.413।
1. माना समबाहु त्रिभुज त्रिज्या r वाले एक वृत्त में अंकित है।
2. वृत्त का केंद्र समबाहु त्रिभुज का केंद्रक भी है, प्रत्येक माध्यिका के साथ 2/3 रास्ता, इसलिए त्रिभुज की ऊंचाई r + r/2 = 3r/2 है; (√3/2)s = 3r/2 से भुजा s = r√3 है।
3. समबाहु त्रिभुज का क्षेत्र (√3/4) × s² है।
4. s = r√3 को प्रतिस्थापित करने पर, त्रिभुज का क्षेत्र (√3/4) × (r√3)² = (√3/4) × 3r² = (3√3/4)r² है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
5. वृत्त का क्षेत्र πr² है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
6. त्रिभुज के क्षेत्र से वृत्त के क्षेत्र का अनुपात [(3√3/4)r²] / [πr²] है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
7. r² को रद्द करके अनुपात को सरल बनाने पर (3√3)/(4π) मिलता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
8. संख्यात्मक रूप से, 3√3 ≈ 5.196 और 4π ≈ 12.566, इसलिए अनुपात लगभग 5.196 / 12.566 ≈ 0.413 है।
उत्तर: त्रिभुज का क्षेत्र : वृत्त का क्षेत्र = 3√3/(4π) ≈ 0.413
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प्रश्नावली 6.3 प्रश्न 9
एक वर्ग त्रिज्या r वाले एक वृत्त में अंकित है। दिखाएं कि वर्ग का क्षेत्र : वृत्त का क्षेत्र = 2/π ≈ 0.637।
1. माना वृत्त की त्रिज्या r है, इसलिए व्यास 2r है।
2. अंकित वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर है, जो 2r है।
3. माना वर्ग की भुजा a है। पाइथागोरस प्रमेय से, a² + a² = (2r)²।
4. सरल बनाने पर 2a² = 4r² मिलता है, इसलिए a² = 2r²।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
5. वर्ग का क्षेत्र a² है, जो 2r² के बराबर है।
6. वृत्त का क्षेत्र πr² है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
7. वर्ग के क्षेत्र से वृत्त के क्षेत्र का अनुपात 2r² / πr² है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
8. अंश और हर से r² को रद्द करने पर 2/π मिलता है।
9. मान 2/π लगभग 0.637 है।
उत्तर: वर्ग का क्षेत्र : वृत्त का क्षेत्र = 2/π ≈ 0.637
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प्रश्नावली 6.3 प्रश्न 10
त्रिज्या r वाले वृत्त में एक नियमित षट्भुज अंतर्लिखित (inscribed) है। दिखाइए कि षट्भुज का क्षेत्रफल : वृत्त का क्षेत्रफल = 3√3/(2π) ≈ 0.827, और समझाइए कि यह Q8 के उत्तर का ठीक दोगुना क्यों है।
1. त्रिज्या r वाले वृत्त में अंतर्लिखित नियमित षट्भुज को केंद्र से प्रत्येक शीर्ष से जोड़कर 6 समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
2. प्रत्येक समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई त्रिज्या r के बराबर होती है।
3. भुजा r वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (√3/4)r² होता है।
4. षट्भुज का कुल क्षेत्रफल 6 × (√3/4)r² = (3√3/2)r² होता है।
5. त्रिज्या r वाले वृत्त का क्षेत्रफल πr² होता है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
6. षट्भुज के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात [(3√3/2)r²] / [πr²] है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
7. अनुपात को सरल करने पर 3√3/(2π) प्राप्त होता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
8. √3 ≈ 1.732 और π ≈ 3.14 के मानों का उपयोग करने पर, अनुपात (3 × 1.732) / (2 × 3.14) = 5.196 / 6.28 ≈ 0.827 होता है।
9. षट्भुज के वैकल्पिक शीर्षों को जोड़ने पर Q8 का अंतर्लिखित समबाहु त्रिभुज प्राप्त होता है, जिसका क्षेत्रफल (3√3/4)r² है; षट्भुज का क्षेत्रफल (3√3/2)r² ठीक दोगुना है।
10. कारण: केंद्र से, त्रिभुज 3 त्रिभुजों में विभाजित होता है जिनमें दो भुजाएँ r होती हैं और उनके बीच 120° का कोण होता है; षट्भुज वह त्रिभुज है जिसमें 3 कोने वाले भाग (corner caps) जुड़े हैं, जिनमें से प्रत्येक में दो भुजाएँ r (षट्भुज की भुजाएँ) और 120° का कोण होता है। सभी 6 भाग सर्वांगसम (congruent) हैं, इसलिए षट्भुज त्रिभुज का दोगुना है, और इसका अनुपात 2 × 3√3/(4π) = 3√3/(2π) है।
उत्तर: नियमित षट्भुज के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात 3√3/(2π) ≈ 0.827 है, जो Q8 में प्राप्त अनुपात का ठीक दोगुना है।
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कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 6.3 के हल (Measuring Space: Perimeter and Area)

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