शि

Home · Schooling · CBSE · Class 10 · Mathematics · Real Numbers · प्रश्नावली 1.2

कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 1.2 के हल (Real Numbers)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

किसी चरण पर अटके हैं?

इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें →📷 सवाल की फ़ोटो लें →

  1. प्रश्नावली 1.2 प्रश्न 1

    प्रमाणित करें कि √5 अपरिमेय संख्या है।

    1. मान लीजिए कि √5 एक परिमेय संख्या है।
      क्यों?

      विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: जो सिद्ध करना है उसका उल्टा मान लें और दिखाएँ कि इससे कोई असंभव बात निकलती है; तब वह मान्यता गलत होनी चाहिए।

    2. तब √5 को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और q ≠ 0।
    3. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें 5 = p²/q² मिलता है, जिसका अर्थ है p² = 5q²।
      क्यों?

      समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।

    4. यह समीकरण दिखाता है कि 5, p² को विभाजित करता है, और चूँकि 5 एक अभाज्य संख्या है, इसलिए 5 को p को विभाजित करना चाहिए।
    5. मान लीजिए p = 5m, जहाँ m कोई पूर्णांक है।
    6. p² = 5q² में p = 5m प्रतिस्थापित करने पर (5m)² = 5q² मिलता है, अर्थात् 25m² = 5q²।
      क्यों?

      अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।

    7. 5 से भाग देने पर, हमें 5m² = q² मिलता है, जिसका अर्थ है कि 5, q² को विभाजित करता है और अतः 5, q को भी विभाजित करता है।
    8. इस प्रकार, 5, p और q दोनों का उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो p और q के सह-अभाज्य होने की धारणा के विरोधाभास है।
      क्यों?

      विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: जो सिद्ध करना है उसका उल्टा मान लें और दिखाएँ कि इससे कोई असंभव बात निकलती है; तब वह मान्यता गलत होनी चाहिए।

    9. अतः, प्रारंभिक धारणा गलत है, और √5 अपरिमेय संख्या है।

    उत्तर: √5 अपरिमेय संख्या है।

    इस हल में गलती बताएँ

  2. प्रश्नावली 1.2 प्रश्न 2

    प्रमाणित कीजिए कि 3 + 2√5 अपरिमेय है।

    1. मान लीजिए कि 3 + 2√5 परिमेय है, इसलिए 3 + 2√5 = a/b जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और b ≠ 0।
      क्यों?

      विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: जो सिद्ध करना है उसका उल्टा मान लें और दिखाएँ कि इससे कोई असंभव बात निकलती है; तब वह मान्यता गलत होनी चाहिए।

    2. वर्गमूल को अलग करने के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें: 2√5 = a/b − 3।
    3. दाईं ओर के पदों को मिलाएँ: 2√5 = (a − 3b)/b।
    4. दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करके √5 = (a − 3b)/(2b) प्राप्त करें।
      क्यों?

      समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।

    5. चूँकि a, b और 3 पूर्णांक हैं, इसलिए व्यंजक (a − 3b)/(2b) पूर्णांकों का अनुपात है, जिससे यह परिमेय बन जाता है।
    6. इसका अर्थ है कि √5 परिमेय है, जो इस प्रसिद्ध तथ्य के विरोधाभास है कि √5 अपरिमेय है।
      क्यों?

      विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: जो सिद्ध करना है उसका उल्टा मान लें और दिखाएँ कि इससे कोई असंभव बात निकलती है; तब वह मान्यता गलत होनी चाहिए।

    7. अतः, 3 + 2√5 परिमेय है, यह प्रारंभिक मान्यता गलत है।

    उत्तर: 3 + 2√5 अपरिमेय है।

    इस हल में गलती बताएँ

  3. प्रश्नावली 1.2 प्रश्न 3

    प्रमाणित कीजिए कि ये अपरिमेय हैं: (i) 1/√2 (ii) 7√5 (iii) 6 + √2।

    1. (i) मान लीजिए कि 1/√2 परिमेय है, इसलिए 1/√2 = a/b जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और b ≠ 0।
      क्यों?

      विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: जो सिद्ध करना है उसका उल्टा मान लें और दिखाएँ कि इससे कोई असंभव बात निकलती है; तब वह मान्यता गलत होनी चाहिए।

    2. (i) चूँकि 1/√2 ≠ 0, a ≠ 0, इसलिए √2 = b/a, जो पूर्णांकों का अनुपात है — √2 परिमेय होगा।
    3. (i) यह इस प्रसिद्ध तथ्य के विरोधाभास है कि √2 अपरिमेय है, इसलिए 1/√2 अपरिमेय है।
      क्यों?

      विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: जो सिद्ध करना है उसका उल्टा मान लें और दिखाएँ कि इससे कोई असंभव बात निकलती है; तब वह मान्यता गलत होनी चाहिए।

    4. (ii) मान लीजिए कि 7√5 परिमेय है, इसलिए 7√5 = a/b जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और b ≠ 0।
      क्यों?

      विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: जो सिद्ध करना है उसका उल्टा मान लें और दिखाएँ कि इससे कोई असंभव बात निकलती है; तब वह मान्यता गलत होनी चाहिए।

    5. (ii) इसका अर्थ है कि √5 = a/(7b), जिसका अर्थ है कि √5 परिमेय है।
    6. (ii) यह इस प्रसिद्ध तथ्य के विरोधाभास है कि √5 अपरिमेय है, इसलिए 7√5 अपरिमेय है।
      क्यों?

      विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: जो सिद्ध करना है उसका उल्टा मान लें और दिखाएँ कि इससे कोई असंभव बात निकलती है; तब वह मान्यता गलत होनी चाहिए।

    7. (iii) मान लीजिए कि 6 + √2 परिमेय है, इसलिए 6 + √2 = a/b जहाँ a और b सह-अभाज्य पूर्णांक हैं और b ≠ 0।
      क्यों?

      विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: जो सिद्ध करना है उसका उल्टा मान लें और दिखाएँ कि इससे कोई असंभव बात निकलती है; तब वह मान्यता गलत होनी चाहिए।

    8. (iii) इसका अर्थ है कि √2 = a/b − 6 = (a − 6b)/b, जिसका अर्थ है कि √2 परिमेय है।
    9. (iii) यह इस प्रसिद्ध तथ्य के विरोधाभास है कि √2 अपरिमेय है, इसलिए 6 + √2 अपरिमेय है।
      क्यों?

      विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: जो सिद्ध करना है उसका उल्टा मान लें और दिखाएँ कि इससे कोई असंभव बात निकलती है; तब वह मान्यता गलत होनी चाहिए।

    उत्तर: (i) 1/√2 अपरिमेय है; (ii) 7√5 अपरिमेय है; (iii) 6 + √2 अपरिमेय है

    इस हल में गलती बताएँ

इस अध्याय की अन्य प्रश्नावलियाँ

← Real Numbers: notes, practice and all exercises

Saved for offline

Saves these solutions (Hindi page) in this browser on this phone. No sign-in; nothing about you is saved or sent. A saved copy is not updated until you save it again. Parts that load from the server when you use them (the AI tutor, adaptive practice, sign-in) still need a connection.