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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 1.1 के हल (Real Numbers)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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प्रश्नावली 1.1 प्रश्न 1
प्रत्येक संख्या को उसके अभाज्य गुणकों के गुणनफल के रूप में लिखिए: (i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429.
1. (i) 140 ÷ 2 = 70, 70 ÷ 2 = 35, 35 ÷ 5 = 7, 7 ÷ 7 = 1
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
2. (i) अभाज्य गुणक हैं 2, 2, 5, 7
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
3. (ii) 156 ÷ 2 = 78, 78 ÷ 2 = 39, 39 ÷ 3 = 13, 13 ÷ 13 = 1
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
4. (ii) अभाज्य गुणक हैं 2, 2, 3, 13
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
5. (iii) 3825 ÷ 3 = 1275, 1275 ÷ 3 = 425, 425 ÷ 5 = 85, 85 ÷ 5 = 17, 17 ÷ 17 = 1
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
6. (iii) अभाज्य गुणक हैं 3, 3, 5, 5, 17
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
7. (iv) 5005 ÷ 5 = 1001, 1001 ÷ 7 = 143, 143 ÷ 11 = 13, 13 ÷ 13 = 1
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
8. (iv) अभाज्य गुणक हैं 5, 7, 11, 13
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
9. (v) 7429 ÷ 17 = 437, 437 ÷ 19 = 23, 23 ÷ 23 = 1
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
10. (v) अभाज्य गुणक हैं 17, 19, 23
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
उत्तर: (i) 2² × 5 × 7; (ii) 2² × 3 × 13; (iii) 3² × 5² × 17; (iv) 5 × 7 × 11 × 13; (v) 17 × 19 × 23
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प्रश्नावली 1.1 प्रश्न 2
प्रत्येक जोड़ी का LCM और HCF ज्ञात करें और जांच करें कि LCM × HCF = दोनों संख्याओं का गुणनफल: (i) 26 और 91 (ii) 510 और 92 (iii) 336 और 54.
1. (i) 26 का अभाज्य गुणन 2 × 13 है और 91 का 7 × 13 है.
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
2. (i) HCF समान गुणकों का गुणनफल होता है, इसलिए HCF = 13.
  क्यों?
  HCF = सभी संख्याओं में साझा अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे छोटी घात के साथ।
3. (i) LCM सभी गुणकों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है, इसलिए LCM = 2 × 7 × 13 = 182.
  क्यों?
  LCM = किसी भी संख्या में आने वाले हर अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे बड़ी घात के साथ।
4. (i) जांच: LCM × HCF = 182 × 13 = 2366 और संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366.
  क्यों?
  किन्हीं दो धनात्मक पूर्ण संख्याओं के लिए HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल, इसलिए यह गुणा निकाले गए HCF और LCM की जाँच करता है।
5. (ii) 510 का अभाज्य गुणन 2 × 3 × 5 × 17 है और 92 का 2 × 2 × 23 है.
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
6. (ii) HCF समान गुणकों का गुणनफल होता है, इसलिए HCF = 2.
  क्यों?
  HCF = सभी संख्याओं में साझा अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे छोटी घात के साथ।
7. (ii) LCM सभी गुणकों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है, इसलिए LCM = 2 × 2 × 3 × 5 × 17 × 23 = 23460.
  क्यों?
  LCM = किसी भी संख्या में आने वाले हर अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे बड़ी घात के साथ।
8. (ii) जांच: LCM × HCF = 23460 × 2 = 46920 और संख्याओं का गुणनफल = 510 × 92 = 46920.
  क्यों?
  किन्हीं दो धनात्मक पूर्ण संख्याओं के लिए HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल, इसलिए यह गुणा निकाले गए HCF और LCM की जाँच करता है।
9. (iii) 336 का अभाज्य गुणन 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7 है और 54 का 2 × 3 × 3 × 3 है.
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
10. (iii) HCF समान गुणकों का गुणनफल होता है, इसलिए HCF = 2 × 3 = 6.
  क्यों?
  HCF = सभी संख्याओं में साझा अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे छोटी घात के साथ।
11. (iii) LCM सभी गुणकों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है, इसलिए LCM = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 7 = 3024.
  क्यों?
  LCM = किसी भी संख्या में आने वाले हर अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे बड़ी घात के साथ।
12. (iii) जांच: LCM × HCF = 3024 × 6 = 18144 और संख्याओं का गुणनफल = 336 × 54 = 18144.
  क्यों?
  किन्हीं दो धनात्मक पूर्ण संख्याओं के लिए HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल, इसलिए यह गुणा निकाले गए HCF और LCM की जाँच करता है।
उत्तर: (i) HCF = 13, LCM = 182; (ii) HCF = 2, LCM = 23460; (iii) HCF = 6, LCM = 3024
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प्रश्नावली 1.1 प्रश्न 3
अभाज्य गुणन विधि का उपयोग करके LCM और HCF ज्ञात करें: (i) 12, 15 और 21 (ii) 17, 23 और 29 (iii) 8, 9 और 25.
1. (i) अभाज्य गुणन: 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 21 = 3 × 7
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
2. (i) HCF समान अभाज्य गुणकों की न्यूनतम घातों का गुणनफल है: 3
  क्यों?
  HCF = सभी संख्याओं में साझा अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे छोटी घात के साथ।
3. (i) LCM सभी अभाज्य गुणकों की उच्चतम घातों का गुणनफल है: 2² × 3 × 5 × 7 = 420
  क्यों?
  LCM = किसी भी संख्या में आने वाले हर अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे बड़ी घात के साथ।
4. (ii) अभाज्य गुणन: 17, 23, और 29 सभी अभाज्य संख्याएँ हैं
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
5. (ii) चूँकि कोई समान अभाज्य गुणक नहीं है, इसलिए HCF 1 है
  क्यों?
  HCF = सभी संख्याओं में साझा अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे छोटी घात के साथ।
6. (ii) LCM सभी संख्याओं का गुणनफल है: 17 × 23 × 29 = 11339
  क्यों?
  LCM = किसी भी संख्या में आने वाले हर अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे बड़ी घात के साथ।
7. (iii) अभाज्य गुणन: 8 = 2³, 9 = 3², 25 = 5²
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
8. (iii) चूँकि कोई समान अभाज्य गुणक नहीं है, इसलिए HCF 1 है
  क्यों?
  HCF = सभी संख्याओं में साझा अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे छोटी घात के साथ।
9. (iii) LCM सभी अभाज्य गुणकों की उच्चतम घातों का गुणनफल है: 2³ × 3² × 5² = 8 × 9 × 25 = 1800
  क्यों?
  LCM = किसी भी संख्या में आने वाले हर अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे बड़ी घात के साथ।
उत्तर: (i) HCF = 3, LCM = 420; (ii) HCF = 1, LCM = 11339; (iii) HCF = 1, LCM = 1800
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प्रश्नावली 1.1 प्रश्न 4
HCF(306, 657) = 9 है. LCM(306, 657) ज्ञात करें.
1. हम उस गुणधर्म का उपयोग करते हैं कि दो संख्याओं के HCF और LCM का गुणनफल, उन संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है.
  क्यों?
  HCF = सभी संख्याओं में साझा अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे छोटी घात के साथ।
2. इसलिए, HCF(306, 657) × LCM(306, 657) = 306 × 657.
  क्यों?
  HCF = सभी संख्याओं में साझा अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे छोटी घात के साथ।
3. दिया गया HCF मान प्रतिस्थापित करें: 9 × LCM(306, 657) = 306 × 657.
  क्यों?
  HCF = सभी संख्याओं में साझा अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे छोटी घात के साथ।
4. दोनों संख्याओं का गुणनफल गणना करें: 306 × 657 = 201042.
5. अब, LCM(306, 657) = 201042 ÷ 9.
  क्यों?
  LCM = किसी भी संख्या में आने वाले हर अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे बड़ी घात के साथ।
6. भागफल की गणना करें: 201042 ÷ 9 = 22338.
उत्तर: LCM(306, 657) = 22338
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प्रश्नावली 1.1 प्रश्न 5
क्या किसी प्राकृतिक संख्या n के लिए 6ⁿ का अंतिम अंक 0 हो सकता है?
1. किसी संख्या का अंतिम अंक 0 होने के लिए, उसका 10 से विभाज्य होना आवश्यक है।
2. चूँकि 10 = 2 × 5, इसलिए उस संख्या में 2 और 5 दोनों को अभाज्य गुणनखंडों के रूप में होना चाहिए।
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
3. 6 के अभाज्य गुणनखंड 2 × 3 हैं।
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
4. अतः, 6ⁿ के अभाज्य गुणनखंड (2 × 3)ⁿ = 2ⁿ × 3ⁿ हैं।
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
5. 6ⁿ के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 और 3 हैं।
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
6. 6ⁿ के गुणनखंडन में अभाज्य गुणनखंड 5 अनुपस्थित है।
7. संख्याओं के मूल प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic) के अनुसार, किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय होता है।
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
8. चूँकि 5, 6ⁿ का गुणनखंड नहीं है, इसलिए यह 10 से विभाज्य नहीं हो सकता।
9. अतः, किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए 6ⁿ का अंतिम अंक 0 नहीं हो सकता।
उत्तर: नहीं, किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए 6ⁿ का अंतिम अंक 0 नहीं हो सकता।
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प्रश्नावली 1.1 प्रश्न 6
7 × 11 × 13 + 13 और 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य संख्याएँ क्यों हैं?
1. (i) 13 को समान रूप से निकालें: 7 × 11 × 13 + 13 = 13 × (7 × 11 + 1) = 13 × 78 = 1014।
2. (i) 1014 का गुणनखंड 13 है, जो न तो 1 है और न ही 1014 है, इसलिए यह भाज्य है।
3. (ii) 5 को समान रूप से निकालें: 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 = 5 × (7 × 6 × 4 × 3 × 2 × 1 + 1) = 5 × 1009 = 5045।
4. (ii) 5045 का गुणनखंड 5 है, जो न तो 1 है और न ही 5045 है, इसलिए यह भाज्य है।
उत्तर: (i) 7 × 11 × 13 + 13 भाज्य है; (ii) 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 + 5 भाज्य है
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प्रश्नावली 1.1 प्रश्न 7
सोनिया को एक वृत्ताकार पथ पर एक चक्कर लगाने में 18 मिनट और रवि को 12 मिनट लगते हैं। यदि वे एक ही बिंदु से एक ही दिशा में साथ-साथ प्रारंभ करते हैं, तो वे प्रारंभिक बिंदु पर फिर से कितने मिनट बाद मिलेंगे?
1. सोनिया को एक चक्कर लगाने में 18 मिनट और रवि को 12 मिनट लगते हैं।
2. वे प्रारंभिक बिंदु पर फिर से तब मिलेंगे जब समय 18 और 12 दोनों का गुणज हो।
3. हमें 18 और 12 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात करना होगा।
  क्यों?
  LCM = किसी भी संख्या में आने वाले हर अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे बड़ी घात के साथ।
4. 18 के अभाज्य गुणनखंड 2 × 3² हैं।
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
5. 12 के अभाज्य गुणनखंड 2² × 3 हैं।
  क्यों?
  1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
6. LCM सभी अभाज्य गुणनखंडों की उच्चतम घातों का गुणनफल होता है: 2² × 3²।
  क्यों?
  LCM = किसी भी संख्या में आने वाले हर अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे बड़ी घात के साथ।
7. LCM = 4 × 9 = 36।
  क्यों?
  LCM = किसी भी संख्या में आने वाले हर अभाज्य गुणनखंड का गुणनफल, हर गुणनखंड उसकी सबसे बड़ी घात के साथ।
8. अतः, वे 36 मिनट बाद प्रारंभिक बिंदु पर फिर से मिलेंगे।
उत्तर: 36 मिनट
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