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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 4.3 के हल (Quadratic Equations)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

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How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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प्रश्नावली 4.3 प्रश्न 1
मूलों की प्रकृति और यदि वास्तविक हों तो मूल ज्ञात करें: (i) 2x² − 3x + 5 = 0 (ii) 3x² − 4√3x + 4 = 0 (iii) 2x² − 6x + 3 = 0.
1. (i) 2x² − 3x + 5 = 0 के लिए, a = 2, b = −3, c = 5.
2. (i) विविक्तकर D = b² − 4ac = (−3)² − 4(2)(5) = 9 − 40 = −31.
  क्यों?
  ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac मूल बताता है: D > 0 तो दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 तो दो बराबर वास्तविक मूल, D < 0 तो कोई वास्तविक मूल नहीं।
3. (i) चूँकि D < 0, समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
4. (ii) 3x² − 4√3x + 4 = 0 के लिए, a = 3, b = −4√3, c = 4.
5. (ii) विविक्तकर D = b² − 4ac = (−4√3)² − 4(3)(4) = 48 − 48 = 0.
  क्यों?
  ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac मूल बताता है: D > 0 तो दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 तो दो बराबर वास्तविक मूल, D < 0 तो कोई वास्तविक मूल नहीं।
6. (ii) चूँकि D = 0, समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल हैं।
7. (ii) मूल x = −b/2a = 4√3 / 6 = 2√3 / 3 = 2/√3.
8. (iii) 2x² − 6x + 3 = 0 के लिए, a = 2, b = −6, c = 3.
9. (iii) विविक्तकर D = b² − 4ac = (−6)² − 4(2)(3) = 36 − 24 = 12.
  क्यों?
  ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac मूल बताता है: D > 0 तो दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 तो दो बराबर वास्तविक मूल, D < 0 तो कोई वास्तविक मूल नहीं।
10. (iii) चूँकि D > 0, समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
11. (iii) मूल x = (6 ± √12) / 4 = (6 ± 2√3) / 4 = (3 ± √3) / 2.
उत्तर: (i) कोई वास्तविक मूल नहीं; (ii) दो बराबर मूल, 2/√3; (iii) दो भिन्न वास्तविक मूल, (3 + √3)/2, (3 - √3)/2
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प्रश्नावली 4.3 प्रश्न 2
k का मान ज्ञात करें ताकि प्रत्येक समीकरण के दो बराबर मूल हों: (i) 2x² + kx + 3 = 0 (ii) kx(x − 2) + 6 = 0.
1. (i) 2x² + kx + 3 = 0 के लिए, a = 2, b = k, c = 3.
2. (i) बराबर मूलों के लिए शर्त b² − 4ac = 0 है।
  क्यों?
  ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac मूल बताता है: D > 0 तो दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 तो दो बराबर वास्तविक मूल, D < 0 तो कोई वास्तविक मूल नहीं।
3. (i) मानों को प्रतिस्थापित करने पर k² − 4(2)(3) = 0 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
4. (i) सरल करने पर k² − 24 = 0, अतः k² = 24।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
5. (i) वर्गमूल लेने पर k = ±√24 = ±2√6।
6. (ii) kx(x − 2) + 6 = 0 को विस्तार करने पर kx² − 2kx + 6 = 0 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
7. (ii) यहाँ a = k, b = −2k, c = 6।
8. (ii) बराबर मूलों के लिए शर्त b² − 4ac = 0 है।
  क्यों?
  ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac मूल बताता है: D > 0 तो दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 तो दो बराबर वास्तविक मूल, D < 0 तो कोई वास्तविक मूल नहीं।
9. (ii) मानों को प्रतिस्थापित करने पर (−2k)² − 4(k)(6) = 0 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
10. (ii) सरल करने पर 4k² − 24k = 0।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
11. (ii) गुणनखंड करने पर 4k(k − 6) = 0।
12. (ii) चूँकि द्विघात समीकरण के लिए k ≠ 0 होता है, k = 6।
उत्तर: (i) k = ±2√6; (ii) k = 6
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प्रश्नावली 4.3 प्रश्न 3
क्या एक आयताकार आम के बाग की लंबाई उसकी चौड़ाई की दोगुनी हो सकती है और क्षेत्रफल 800 m² हो? यदि हाँ, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात करें।
1. मान लीजिए आयताकार आम के बाग की चौड़ाई x m है।
2. चूँकि लंबाई चौड़ाई की दोगुनी है, इसलिए लंबाई 2x m है।
3. आयत का क्षेत्रफल लंबाई × चौड़ाई से दिया जाता है, अतः 2x × x = 800।
4. समीकरण को सरल करने पर 2x² = 800।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
5. दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर x² = 400।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
6. दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर x = 20 (क्योंकि चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)।
  क्यों?
  यदि दो अऋणात्मक राशियाँ बराबर हैं तो उनके वर्गमूल भी बराबर हैं। वर्ग के दो मूल होते हैं, + और −; लंबाई या गिनती ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए वहाँ ऋणात्मक मूल छोड़ दिया जाता है।
7. अतः, चौड़ाई 20 m है और लंबाई 2 × 20 = 40 m है।
उत्तर: हाँ; चौड़ाई 20 m; लंबाई 40 m
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प्रश्नावली 4.3 प्रश्न 4
दो दोस्तों की आयु का योग 20 वर्ष है और चार वर्ष पहले उनकी आयु का गुणनफल 48 था। क्या यह संभव है? यदि हाँ, तो उनकी आयु ज्ञात करें।
1. मान लीजिए दो दोस्तों की वर्तमान आयु x और (20 − x) वर्ष है।
2. चार वर्ष पहले, उनकी आयु (x − 4) और (20 − x − 4) थी, जो सरल रूप में (x − 4) और (16 − x) होती है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
3. प्रश्न के अनुसार, चार वर्ष पहले उनकी आयु का गुणनफल 48 था।
4. अतः, (x − 4)(16 − x) = 48।
5. बाईं ओर को विस्तार करने पर 16x − x² − 64 + 4x = 48।
  क्यों?
  विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
6. समान पदों को जोड़ने पर −x² + 20x − 64 = 48।
7. मानक द्विघात रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर x² − 20x + 112 = 0।
8. विविक्तकर b² − 4ac = (−20)² − 4(1)(112) = 400 − 448 = −48 है।
  क्यों?
  ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac मूल बताता है: D > 0 तो दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 तो दो बराबर वास्तविक मूल, D < 0 तो कोई वास्तविक मूल नहीं।
9. चूँकि विविक्तकर ऋणात्मक है, समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं हैं।
  क्यों?
  ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac मूल बताता है: D > 0 तो दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 तो दो बराबर वास्तविक मूल, D < 0 तो कोई वास्तविक मूल नहीं।
10. अतः, चार वर्ष पहले उनकी आयु का गुणनफल 48 होना संभव नहीं है।
उत्तर: संभव नहीं
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प्रश्नावली 4.3 प्रश्न 5
क्या किसी आयताकार पार्क का परिमाप 80 m और क्षेत्रफल 400 m² हो सकता है? यदि हाँ, तो उसकी लंबाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
1. मान लीजिए आयताकार पार्क की लंबाई x m है।
2. चूँकि परिमाप 80 m है, इसलिए लंबाई और चौड़ाई का योग 80 ÷ 2 = 40 m है।
3. अतः, पार्क की चौड़ाई (40 − x) m है।
4. पार्क का क्षेत्रफल 400 m² दिया गया है, इसलिए x(40 − x) = 400।
5. समीकरण को विस्तार करने पर 40x − x² = 400 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
6. पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर द्विघात समीकरण x² − 40x + 400 = 0 प्राप्त होता है।
7. विभेदक D की गणना b² − 4ac = (−40)² − 4(1)(400) = 1600 − 1600 = 0 के रूप में की जाती है।
  क्यों?
  ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac मूल बताता है: D > 0 तो दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 तो दो बराबर वास्तविक मूल, D < 0 तो कोई वास्तविक मूल नहीं।
8. चूँकि विभेदक शून्य है, समीकरण के दो बराबर वास्तविक मूल हैं, जिसका अर्थ है कि पार्क का अस्तित्व हो सकता है।
  क्यों?
  ax² + bx + c = 0 के लिए विविक्तकर D = b² − 4ac मूल बताता है: D > 0 तो दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 तो दो बराबर वास्तविक मूल, D < 0 तो कोई वास्तविक मूल नहीं।
9. x का मान सूत्र −b ÷ 2a = 40 ÷ 2 = 20 का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है।
10. अतः, लंबाई 20 m है और चौड़ाई 40 − 20 = 20 m है।
उत्तर: हाँ, 20 m x 20 m
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प्रश्नावली 4.1 — 2 questions
प्रश्नावली 4.2 — 6 questions

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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 4.3 के हल (Quadratic Equations)

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