Home · Schooling · CBSE · Class 10 · Mathematics · Quadratic Equations · प्रश्नावली 4.1
कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 4.1 के हल (Quadratic Equations)
AI-written, checked on 23 Oct 2026
Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं
मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026
ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।
How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.
Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.
किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।
किसी चरण पर अटके हैं?
इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।
प्रश्नावली 4.1 प्रश्न 1
कौन से द्विघात समीकरण हैं? (i) (x + 1)² = 2(x − 3) (ii) x² − 2x = (−2)(3 − x) (iii) (x − 2)(x + 1) = (x − 1)(x + 3) (iv) (x − 3)(2x + 1) = x(x + 5) (v) (2x − 1)(x − 3) = (x + 5)(x − 1) (vi) x² + 3x + 1 = (x − 2)² (vii) (x + 2)³ = 2x(x² − 1) (viii) x³ − 4x² − x + 1 = (x − 2)³.
- (i) दोनों पक्षों को विस्तारित करने पर x² + 2x + 1 = 2x − 6 प्राप्त होता है, जो x² + 7 = 0 में सरल होता है, इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
क्यों?
समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
- (ii) दाएं पक्ष को विस्तारित करने पर x² − 2x = −6 + 2x प्राप्त होता है, जो x² − 4x + 6 = 0 में सरल होता है, इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
क्यों?
विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
- (iii) दोनों पक्षों को विस्तारित करने पर x² − x − 2 = x² + 2x − 3 प्राप्त होता है, जो −3x + 1 = 0 में सरल होता है, इसलिए यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।
क्यों?
समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
- (iv) दोनों पक्षों को विस्तारित करने पर 2x² − 5x − 3 = x² + 5x प्राप्त होता है, जो x² − 10x − 3 = 0 में सरल होता है, इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
क्यों?
समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
- (v) दोनों पक्षों को विस्तारित करने पर 2x² − 7x + 3 = x² + 4x − 5 प्राप्त होता है, जो x² − 11x + 8 = 0 में सरल होता है, इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
क्यों?
समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
- (vi) दाएं पक्ष को विस्तारित करने पर x² + 3x + 1 = x² − 4x + 4 प्राप्त होता है, जो 7x − 3 = 0 में सरल होता है, इसलिए यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।
क्यों?
विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
- (vii) बाएं पक्ष को विस्तारित करने पर x³ + 6x² + 12x + 8 = 2x³ − 2x प्राप्त होता है, जो x³ − 6x² − 14x − 8 = 0 में सरल होता है, इसलिए यह एक द्विघात समीकरण नहीं है।
क्यों?
विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
- (viii) दाएं पक्ष को विस्तारित करने पर x³ − 4x² − x + 1 = x³ − 6x² + 12x − 8 प्राप्त होता है, जो 2x² − 13x + 9 = 0 में सरल होता है, इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
क्यों?
विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
उत्तर: (i) हाँ; (ii) हाँ; (iii) नहीं; (iv) हाँ; (v) हाँ; (vi) नहीं; (vii) नहीं; (viii) हाँ
- (i) दोनों पक्षों को विस्तारित करने पर x² + 2x + 1 = 2x − 6 प्राप्त होता है, जो x² + 7 = 0 में सरल होता है, इसलिए यह एक द्विघात समीकरण है।
प्रश्नावली 4.1 प्रश्न 2
द्विघात समीकरण के रूप में लिखें: (i) एक आयत जिसका क्षेत्रफल 528 m² है और जिसकी लंबाई चौड़ाई के दोगुने से 1 अधिक है (ii) दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक जिनका गुणनफल 306 है (iii) रोहन की मां 26 वर्ष बड़ी हैं; 3 वर्षों बाद उनकी आयुओं का गुणनफल 360 होगा (iv) एक ट्रेन 480 km की दूरी तय करती है; 8 km/h धीमी गति से चलने पर उसे 3 घंटे अधिक लगेंगे।
- (i) मान लें कि चौड़ाई x m है, इसलिए लंबाई (2x + 1) m है। क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, अतः x(2x + 1) = 528। विस्तारित और पुनर्व्यवस्थित करने पर 2x² + x − 528 = 0 प्राप्त होता है।
क्यों?
विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
- (ii) मान लें कि पहला पूर्णांक x है, इसलिए अगला पूर्णांक (x + 1) है। उनका गुणनफल x(x + 1) = 306 है। विस्तारित और पुनर्व्यवस्थित करने पर x² + x − 306 = 0 प्राप्त होता है।
क्यों?
विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
- (iii) मान लें कि रोहन की आयु x है, इसलिए उनकी मां की आयु (x + 26) है। 3 वर्षों बाद, उनकी आयु (x + 3) और (x + 29) होगी। गुणनफल (x + 3)(x + 29) = 360 है। विस्तारित करने पर x² + 32x + 87 = 360। पुनर्व्यवस्थित करने पर x² + 32x − 273 = 0।
क्यों?
विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
- (iv) मान लें कि गति x km/h है। लिया गया समय 480/x घंटे है। यदि गति (x − 8) km/h है, तो समय 480/(x − 8) घंटे होगा। अंतर 3 घंटे है, इसलिए 480/(x − 8) − 480/x = 3। बाएं पक्ष को सरल करने पर 3840/(x(x − 8)) = 3। x(x − 8) से गुणा करने पर 3840 = 3x² − 24x। 3 से भाग देने पर 1280 = x² − 8x। पुनर्व्यवस्थित करने पर x² − 8x − 1280 = 0।
क्यों?
सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
उत्तर: (i) 2x² + x - 528 = 0; (ii) x² + x - 306 = 0; (iii) x² + 32x - 273 = 0; (iv) x² - 8x - 1280 = 0
- (i) मान लें कि चौड़ाई x m है, इसलिए लंबाई (2x + 1) m है। क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, अतः x(2x + 1) = 528। विस्तारित और पुनर्व्यवस्थित करने पर 2x² + x − 528 = 0 प्राप्त होता है।
इस अध्याय की अन्य प्रश्नावलियाँ
- प्रश्नावली 4.2 — 6 questions
- प्रश्नावली 4.3 — 5 questions
← Quadratic Equations: notes, practice and all exercises
Saves these solutions (Hindi page) in this browser on this phone. No sign-in; nothing about you is saved or sent. A saved copy is not updated until you save it again. Parts that load from the server when you use them (the AI tutor, adaptive practice, sign-in) still need a connection.