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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 4.2 के हल (Quadratic Equations)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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प्रश्नावली 4.2 प्रश्न 1
गुणनखंडन द्वारा मूल ज्ञात कीजिए: (i) x² − 3x − 10 = 0 (ii) 2x² + x − 6 = 0 (iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0 (iv) 2x² − x + 1/8 = 0 (v) 100x² − 20x + 1 = 0।
1. (i) x² − 3x − 10 = x² − 5x + 2x − 10 = x(x − 5) + 2(x − 5) = (x − 5)(x + 2) = 0, इसलिए x = 5 या x = −2।
2. (ii) 2x² + x − 6 = 2x² + 4x − 3x − 6 = 2x(x + 2) − 3(x + 2) = (2x − 3)(x + 2) = 0, इसलिए x = 3/2 या x = −2।
3. (iii) गुणनफल a × c = √2 × 5√2 = 10, इसलिए 7x को 5x + 2x में विभाजित करते हैं: √2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0।
4. (iii) समूह बनाएं: x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = (√2x + 5)(x + √2) = 0, इसलिए x = −5/√2 या x = −√2।
5. (iv) 8 से गुणा करें: 16x² − 8x + 1 = 0, जो (4x − 1)² = 0 है, इसलिए x = 1/4 (एक दोहराया गया मूल)।
6. (v) 100x² − 20x + 1 = (10x − 1)² = 0, इसलिए x = 1/10 (एक दोहराया गया मूल)।
उत्तर: (i) −2, 5; (ii) −2, 3/2; (iii) −5/√2, −√2; (iv) 1/4, 1/4; (v) 1/10, 1/10
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प्रश्नावली 4.2 प्रश्न 2
अध्याय के उदाहरण 1 की दो स्थितियों को हल करें: (i) जॉन और जिवानी के पास 45 मरबल हैं; प्रत्येक के 5 मरबल खोने के बाद गुणनफल 124 है (ii) खिलौनों की लागत (55 − निर्मित संख्या) रुपये प्रति खिलौना है और दिन की कुल लागत ₹750 थी।
1. (i) मान लें कि जॉन के पास मरबलों की संख्या x है, इसलिए जिवानी के पास 45 − x हैं।
2. (i) प्रत्येक के 5 खोने के बाद, उनकी संख्या x − 5 और 40 − x है।
3. (i) गुणनफल 124 है, इसलिए (x − 5)(40 − x) = 124।
4. (i) विस्तारित करने पर 40x − x² − 200 + 5x = 124, जो x² − 45x + 324 = 0 में सरल होता है।
  क्यों?
  विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
5. (i) द्विघात को कारणीकरण करने पर (x − 36)(x − 9) = 0, इसलिए x = 36 या x = 9।
6. (i) यदि जॉन के पास 36 हैं, तो जिवानी के पास 9 हैं; यदि जॉन के पास 9 हैं, तो जिवानी के पास 36 हैं।
7. (ii) मान लें कि निर्मित खिलौनों की संख्या x है, इसलिए प्रति खिलौना लागत 55 − x है।
8. (ii) कुल लागत 750 है, इसलिए x(55 − x) = 750।
9. (ii) यह 55x − x² = 750, या x² − 55x + 750 = 0 में सरल होता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
10. (ii) कारणीकरण करने पर (x − 25)(x − 30) = 0, इसलिए x = 25 या x = 30।
उत्तर: (i) 36 और 9; (ii) 25 या 30
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प्रश्नावली 4.2 प्रश्न 3
दो संख्याएँ जिनका योग 27 और गुणनफल 182 है, ज्ञात कीजिए।
1. मान लीजिए दो संख्याएँ x और 27 − x हैं।
2. उनका गुणनफल 182 दिया गया है, इसलिए x(27 − x) = 182।
3. विस्तार करने पर 27x − x² = 182 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
4. मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करने पर x² − 27x + 182 = 0 प्राप्त होता है।
5. द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करने पर: x² − 13x − 14x + 182 = 0।
6. पदों को समूहबद्ध करने पर: x(x − 13) − 14(x − 13) = 0।
7. सामान्य गुणनखंड को बाहर निकालने पर: (x − 13)(x − 14) = 0।
8. इसलिए x = 13 या x = 14।
9. यदि x = 13 है, तो दूसरी संख्या 27 − 13 = 14 है।
10. यदि x = 14 है, तो दूसरी संख्या 27 − 14 = 13 है।
उत्तर: 13 और 14
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प्रश्नावली 4.2 प्रश्न 4
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक जिनके वर्गों का योग 365 है, ज्ञात कीजिए।
1. मान लीजिए दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक x और x + 1 हैं।
2. प्रश्न के अनुसार, उनके वर्गों का योग 365 है, इसलिए x² + (x + 1)² = 365।
3. समीकरण का विस्तार करने पर x² + x² + 2x + 1 = 365 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
4. पदों को सरल करने पर 2x² + 2x + 1 = 365 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
5. दोनों पक्षों से 365 घटाने पर 2x² + 2x − 364 = 0 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
6. पूरे समीकरण को 2 से भाग देने पर x² + x − 182 = 0 प्राप्त होता है।
7. मध्य पद को विभाजित करके द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करने पर x² + 14x − 13x − 182 = 0 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  मध्य पद को ऐसे दो भागों में तोड़ने से, जिनका गुणनफल (पहला गुणांक × अचर पद) हो, व्यंजक दो कोष्ठकों में बँट जाता है; गुणनफल शून्य तभी होता है जब कोई एक गुणनखंड शून्य हो।
8. पदों को समूहबद्ध करने पर x(x + 14) − 13(x + 14) = 0, जिसका गुणनखंड (x + 14)(x − 13) = 0 होता है।
9. x के लिए हल करने पर x = −14 या x = 13 प्राप्त होता है।
10. चूँकि पूर्णांक धनात्मक होने चाहिए, हम x = 13 लेते हैं, जिससे दूसरा पूर्णांक x + 1 = 14 हो जाता है।
उत्तर: 13 और 14
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प्रश्नावली 4.2 प्रश्न 5
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई (लंब) उसके आधार से 7 सेमी कम है और कर्ण 13 सेमी है। शेष दो भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।
1. मान लीजिए समकोण त्रिभुज का आधार x सेमी है।
2. ऊँचाई आधार से 7 सेमी कम है, इसलिए यह (x − 7) सेमी है।
3. कर्ण 13 सेमी दिया गया है।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
4. पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, आधार² + ऊँचाई² = कर्ण²।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
5. मान रखें: x² + (x − 7)² = 13²।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. पदों का विस्तार करें: x² + x² − 14x + 49 = 169।
  क्यों?
  विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
7. समान पदों को जोड़ें और सरल करें: 2x² − 14x − 120 = 0।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
8. पूरे समीकरण को 2 से भाग दें: x² − 7x − 60 = 0।
9. द्विघात समीकरण को गुणनखंडित करें: (x − 12)(x + 5) = 0।
10. x के लिए हल करें: x = 12 या x = −5।
11. चूँकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए आधार 12 सेमी है।
12. ऊँचाई की गणना करें: 12 − 7 = 5 सेमी।
उत्तर: आधार 12 सेमी, ऊँचाई 5 सेमी
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प्रश्नावली 4.2 प्रश्न 6
प्रत्येक मृत्कला (pottery) वस्तु की लागत उस दिन बनी वस्तुओं की संख्या के दोगुने से ₹3 अधिक है, और उस दिन की कुल लागत ₹90 थी। वस्तुओं की संख्या और प्रत्येक की लागत ज्ञात कीजिए।
1. मान लीजिए बनी वस्तुओं की संख्या x है।
2. प्रत्येक वस्तु की लागत बनी संख्या के दोगुने से ₹3 अधिक दी गई है, इसलिए लागत = 2x + 3।
3. दिन की कुल लागत वस्तुओं की संख्या और प्रति वस्तु लागत का गुणनफल है।
4. समीकरण बनाएं: x(2x + 3) = 90।
5. समीकरण का विस्तार करने पर 2x² + 3x = 90 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
6. मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करें: 2x² + 3x − 90 = 0।
7. मध्य पद को विभाजित करके गुणनखंडित करें: 2x² + 15x − 12x − 90 = 0।
  क्यों?
  मध्य पद को ऐसे दो भागों में तोड़ने से, जिनका गुणनफल (पहला गुणांक × अचर पद) हो, व्यंजक दो कोष्ठकों में बँट जाता है; गुणनफल शून्य तभी होता है जब कोई एक गुणनखंड शून्य हो।
8. पदों को समूहबद्ध करें: x(2x + 15) − 6(2x + 15) = 0।
9. सामान्य द्विपद को बाहर निकालें: (x − 6)(2x + 15) = 0।
10. x के लिए हल करें: x = 6 या x = −15/2।
11. चूँकि वस्तुओं की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, x = 6।
12. प्रति वस्तु लागत की गणना करें: 2(6) + 3 = 12 + 3 = 15।
उत्तर: 6 वस्तुएँ, प्रत्येक ₹15
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प्रश्नावली 4.1 — 2 questions
प्रश्नावली 4.3 — 5 questions

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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 4.2 के हल (Quadratic Equations)

प्रश्नावली 4.2 प्रश्न 1

प्रश्नावली 4.2 प्रश्न 2

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प्रश्नावली 4.2 प्रश्न 4

प्रश्नावली 4.2 प्रश्न 5

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