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कक्षा 9 गणित प्रश्नावली 3.5 के हल (The World of Numbers)
AI-written, checked on 23 Oct 2026
Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं
मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026
ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।
How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.
Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.
किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।
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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।
प्रश्नावली 3.5 प्रश्न 1
विभाजन किए बिना, यह तय करें कि 7/20, 4/15, 13/250 में से कौन सांत हैं और कौन असांत हैं; फिर लंबे विभाजन से पुष्टि करें।
- दिई गई भिन्नों के हर लिखें: 20, 15, और 250।
- हरों को अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें: 20 = 2² × 5, 15 = 3 × 5, और 250 = 2 × 5³।
क्यों?
1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में केवल एक ही तरह से लिखी जाती है (अंकगणित की आधारभूत प्रमेय)। बार-बार किसी ऐसे अभाज्य से भाग देने पर, जो पूरा-पूरा भाग दे, वह गुणनफल मिल जाता है।
- जांचें कि क्या हर 2ⁿ × 5ᵐ के रूप में हैं जहाँ n और m गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।
- हर 20, 2² × 5¹ के रूप में है, इसलिए 7/20 एक सांत दशमलव है।
- हर 15 में अभाज्य गुणनखंड 3 है, इसलिए 4/15 एक असांत आवर्ती दशमलव है।
- हर 250, 2¹ × 5³ के रूप में है, इसलिए 13/250 एक सांत दशमलव है।
- 7 ÷ 20 के लिए लंबा विभाजन करें और 0.35 प्राप्त करें।
- 4 ÷ 15 के लिए लंबा विभाजन करें और 0.2666… प्राप्त करें।
- 13 ÷ 250 के लिए लंबा विभाजन करें और 0.052 प्राप्त करें।
उत्तर: 7/20 = 0.35 (सांत); 4/15 = 0.2666… (आवर्ती); 13/250 = 0.052 (सांत)
प्रश्नावली 3.5 प्रश्न 2
1/13 का दशमलव और इसका आवर्ती खंड खोजें। क्या यह चक्रीय है जब आप 2/13 निकालते हैं? फिर 3/13, 4/13 आदि निकालें: आप क्या देखते हैं?
- 1 को 13 से विभाजित करने का लंबा विभाजन: शेषफल 10, 9, 12, 3, 4, 1 हैं, जो अंक 0, 7, 6, 9, 2, 3 देते हैं, और फिर शेषफल 1 वापस आता है।
- तो 1/13 = 0.076923076923…, आवर्ती खंड 076923 के साथ (6 अंक)।
- 2/13 = 0.153846153846…, खंड 153846 के साथ।
- 153846, 076923 का घूर्णन नहीं है (इसमें समान अंक भी नहीं हैं), इसलिए 1/13 उसी तरह चक्रीय नहीं है जैसे 1/7 है: 1/7 के गुणजों में सभी खंड 142857 का पुन: उपयोग करते हैं।
- 3/13 = 0.230769230769…, खंड 230769, जो 076923 का घूर्णन है जो अंक 2 से शुरू होता है।
- 4/13 = 0.307692307692…, खंड 307692, फिर से 076923 का घूर्णन।
- वास्तव में बारह भिन्नें 1/13 से 12/13 तक दो परिवारों में बँटती हैं: 1, 3, 4, 9, 10, 12 तेरहवें 076923 के घूर्णन हैं, और 2, 5, 6, 7, 8, 11 तेरहवें 153846 के घूर्णन हैं।
- यह इसलिए होता है क्योंकि 1/13 के खंड में केवल 6 अंक हैं, 12 = 13 − 1 नहीं, इसलिए यह बारह गुणजों को नहीं रख सकता।
उत्तर: 1/13 = 0.076923… (खंड 076923); 2/13 का खंड 153846 है, जो घूर्णन नहीं है, इसलिए 1/13 पूरी तरह चक्रीय नहीं है; 3/13 (खंड 230769) और 4/13 (खंड 307692) 076923 के घूर्णन हैं: गुणज घूर्णन खंडों के दो परिवारों में विभाजित होते हैं।
प्रश्नावली 3.5 प्रश्न 3
परिमेय या अपरिमेय: (i) √81, (ii) √12, (iii) 0.33333…, (iv) 0.123451234512345…, (v) 1.01001000100001…, (vi) 23.560185612239874790120? प्रत्येक परिमेय संख्या के लिए भिन्न दें।
- (i) √81 = 9 क्योंकि 9 × 9 = 81; 9 = 9/1, इसलिए √81 परिमेय है।
- (ii) 12 पूर्ण वर्ग नहीं है (3² = 9 < 12 < 16 = 4²), इसलिए √12 अपरिमेय है; यह √(4 × 3) = 2√3 को सरल होता है।
क्यों?
सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
- (iii) मान लीजिए x = 0.333…; तब 10x = 3.333…, और 10x − x = 3, इसलिए 9x = 3 और x = 1/3: परिमेय।
- (iv) खंड 12345 दोहराता है। मान लीजिए x = 0.1234512345…; तब 100000x = 12345.12345…, इसलिए 99999x = 12345 और x = 12345/99999 = 4115/33333 (3 से भाग देने पर): परिमेय।
- (v) 1.01001000100001… में 1 के बीच 0 की संख्या बढ़ती रहती है, इसलिए कोई भी एकल खंड दोहराता नहीं है और दशमलव कभी समाप्त नहीं होता: अपरिमेय।
- (vi) 23.560185612239874790120 समाप्त होता है (21 दशमलव स्थान, अंतिम अंक 0 को हटाया जा सकता है), इसलिए यह परिमेय है: 23.56018561223987479012 = 2356018561223987479012/10²⁰।
- (vi) अंश 12 पर समाप्त होता है, इसलिए यह 4 से विभाज्य है लेकिन 8 से नहीं और 5 से नहीं; ऊपर और नीचे को 4 से भाग देने पर 589004640305996869753/25000000000000000000 मिलता है।
उत्तर: (i) √81 = 9, परिमेय (9/1); (ii) √12 = 2√3, अपरिमेय; (iii) परिमेय, 1/3; (iv) परिमेय, 4115/33333; (v) अपरिमेय; (vi) परिमेय, 589004640305996869753/25000000000000000000।
प्रश्नावली 3.5 प्रश्न 4
x = 0.999… (9 दोहराता हुआ) का उपयोग करके, 10 से गुणा करें और घटाएं यह समझाने के लिए कि 0.999… बिल्कुल 1 के बराबर क्यों है।
- मान लीजिए x = 0.999…
- दोनों पक्षों को 10 से गुणा करें ताकि 10x = 9.999…
क्यों?
समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
- इस नए समीकरण से मूल समीकरण x = 0.999… को घटाएं
- 10x − x = 9.999… − 0.999…
- 9x = 9
- दोनों पक्षों को 9 से भाग दें ताकि x = 1 मिले
क्यों?
समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
उत्तर: 10x − x = 9.999… − 0.999… से 9x = 9 मिलता है, इसलिए x = 1: 0.999… बिल्कुल 1 के बराबर है।
प्रश्नावली 3.5 प्रश्न 5
1/7 में एक चक्रीय दोहराव खंड है। अधिक संख्याएं n खोजें जिनके व्युत्क्रम 1/n में चक्रीय दोहराव खंड हों।
- 1/7 = 0.142857…, और 2/7, 3/7, 4/7, 5/7, 6/7 सभी ऐसे खंड हैं जो 142857 के घूर्णन हैं: खंड में 6 = 7 − 1 अंक हैं, जो सबसे लंबा संभव है।
- 1 को n से भाग देने के लंबी विभाजन में शेषफल केवल 1, 2, …, n − 1 हो सकते हैं, इसलिए खंड में अधिकतम n − 1 अंक होते हैं।
- जब खंड में बिल्कुल n − 1 अंक होते हैं, तो प्रत्येक शेषफल 1 से n − 1 एक चक्र में प्रकट होता है, इसलिए प्रत्येक भिन्न k/n एक ही चक्र को एक भिन्न स्थान पर शुरू करता है: खंड चक्रीय है।
- ऐसा n अभाज्य होना चाहिए (2 और 5 को छोड़कर)। 100 से नीचे अभाज्य संख्याओं को लंबी विभाजन से जांचने पर, 1/n का खंड n − 1 अंकों का है n = 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 और 97 के लिए।
- उदाहरण: 1/17 = 0.0588235294117647…, खंड 0588235294117647 जिसमें 16 अंक हैं; 2/17 = 0.1176470588235294…, इसका एक घूर्णन है।
- उदाहरण: 1/19 = 0.052631578947368421…, 18 अंकों का खंड।
- इसके विपरीत 1/13 में केवल 6 अंकों का खंड है (12 नहीं), इसलिए 13 काम नहीं करता, और 1/11 = 0.0909… में एक 2-अंकीय खंड है।
उत्तर: n = 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97 (100 से नीचे); उदाहरण के लिए 1/17 में 16-अंकीय चक्रीय खंड 0588235294117647 है। बड़ी ऐसी अभाज्य संख्याएं भी मौजूद हैं।
इस अध्याय की अन्य प्रश्नावलियाँ
- प्रश्नावली 3.1 — 4 questions
- प्रश्नावली 3.2 — 4 questions
- Exercise Set 3.3 — 8 questions
- Exercise Set 3.4 — 6 questions
- End-of-chapter exercises — 16 questions
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