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कक्षा 9 गणित अभ्यास के प्रश्न के हल (The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

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How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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अभ्यास प्रश्न 1
रिक्त स्थानों को भरें: (i) एक असंभव घटना की प्रायिकता; (ii) किसी प्रयोग के सभी परिणामों का समुच्चय; (iii) एक निश्चित घटना की प्रायिकता; (iv) एक न्यायसंगत सिक्के के साथ चित आने की प्रायिकता।
1. (i) एक असंभव घटना के कोई परिणाम नहीं होते, इसलिए इसकी प्रायिकता 0 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
2. (ii) किसी प्रयोग के सभी संभावित परिणामों के संग्रह को प्रतिदर्श समष्टि कहा जाता है।
3. (iii) एक निश्चित घटना घटित होने की गारंटी है, इसलिए इसकी प्रायिकता 1 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. (iv) एक न्यायसंगत सिक्के के दो समान रूप से संभावित परिणाम होते हैं (चित और पट), इसलिए चित आने की प्रायिकता 1/2 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 0; (ii) प्रतिदर्श समष्टि; (iii) 1; (iv) 1/2
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अभ्यास प्रश्न 2
50 में से 15 सर्वेक्षित छात्रों को फुटबॉल पसंद है। 15 बारंबारता है; दूसरे माप को नाम दें (बारंबारता या सापेक्ष बारंबारता) और इसका मान दें।
1. सर्वेक्षण किए गए कुल छात्रों की संख्या 50 है।
2. जिन छात्रों को फुटबॉल पसंद है उनकी संख्या 15 है।
3. वह माप जो बारंबारता नहीं है, सापेक्ष बारंबारता है।
4. सापेक्ष बारंबारता की गणना बारंबारता को अवलोकनों की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है।
5. सापेक्ष बारंबारता = 15 ÷ 50।
6. भिन्न को सरल करने से 15/50 मिलता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
7. भिन्न को दशमलव में परिवर्तित करने से 0.3 मिलता है।
उत्तर: सापेक्ष बारंबारता; 15/50; 0.3
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अभ्यास प्रश्न 3
किन प्रयोगों के परिणाम समान रूप से संभावित हैं, और क्यों? (i) एक कार चलती है या नहीं चलती; (ii) एक न्यायसंगत सिक्का उछालना; (iii) एक न्यायसंगत पासा फेंकना; (iv) एक बैग से संगमरमर जिसमें 3 लाल और 7 नीले हैं; (v) एक बच्चा लड़का है या लड़की।
1. (i) कार का चलना या न चलना उसकी स्थिति पर निर्भर करता है, इसलिए संभावनाएं समान नहीं हैं।
2. (ii) एक न्यायसंगत सिक्के के दो पहलू होते हैं, चित और पट, जो समान रूप से संभावित होते हैं।
3. (iii) एक न्यायसंगत पासे के छह फलक होते हैं जिन पर 1 से 6 तक संख्याएं होती हैं, और प्रत्येक फलक के आने की समान संभावना है।
4. (iv) बैग में 3 लाल और 7 नीले संगमरमर हैं, इसलिए नीले संगमरमर के निकलने की संभावना लाल के मुकाबले अधिक है।
5. (v) लड़के और लड़कियां लगभग समान संख्या में पैदा होते हैं, लेकिन बिल्कुल नहीं: विश्व स्तर पर प्रति 100 लड़कियों के लिए लगभग 105 लड़के पैदा होते हैं, इसलिए दोनों परिणाम लगभग, लेकिन बिल्कुल नहीं, समान रूप से संभावित हैं।
उत्तर: (i) नहीं; (ii) हां; (iii) हां; (iv) नहीं (नीला अधिक संभावित है); (v) लगभग समान रूप से संभावित, लेकिन बिल्कुल नहीं
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अभ्यास प्रश्न 4
प्रतिदर्श समष्टि और प्रायिकता: (i) दो सिक्के, कम से कम एक चित; (ii) कार्ड 1 से 10, एक सम संख्या; (iii) एक पासा, 4 से अधिक; (iv) 3 लाल, 2 नीले, 1 हरे की बैग, लाल नहीं; (v) तीन सिक्के, बिल्कुल दो चित।
1. (i) दो सिक्कों के लिए, प्रतिदर्श समष्टि {HH, HT, TH, TT} है जिसमें 4 परिणाम हैं।
2. (i) कम से कम एक चित वाले परिणाम {HH, HT, TH} हैं, इसलिए 3 अनुकूल परिणाम हैं।
3. (i) प्रायिकता = 3/4।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. (ii) कार्ड 1 से 10 के लिए, कुल परिणाम 10 हैं।
5. (ii) सम संख्याएं {2, 4, 6, 8, 10} हैं, इसलिए 5 अनुकूल परिणाम हैं।
6. (ii) प्रायिकता = 5/10 = 1/2।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
7. (iii) एक पासे के लिए, प्रतिदर्श समष्टि {1, 2, 3, 4, 5, 6} है जिसमें 6 परिणाम हैं।
8. (iii) 4 से अधिक के परिणाम {5, 6} हैं, इसलिए 2 अनुकूल परिणाम हैं।
9. (iii) प्रायिकता = 2/6 = 1/3।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
10. (iv) बैग में 3 लाल, 2 नीली और 1 हरी गेंद है, जिससे कुल 6 गेंदें बनती हैं।
11. (iv) लाल नहीं के परिणाम 2 नीली और 1 हरी गेंदें हैं, इसलिए 3 अनुकूल परिणाम हैं।
12. (iv) प्रायिकता = 3/6 = 1/2।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
13. (v) तीन सिक्कों के लिए, प्रतिदर्श समष्टि में 2³ = 8 परिणाम हैं।
14. (v) बिल्कुल दो चित वाले परिणाम {HHT, HTH, THH} हैं, इसलिए 3 अनुकूल परिणाम हैं।
15. (v) प्रायिकता = 3/8।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 3/4; (ii) 1/2; (iii) 1/3; (iv) 1/2; (v) 3/8
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अभ्यास प्रश्न 5
एक बैग में 3 कैंडीज हैं (स्ट्रॉबेरी, लेमन, मिंट)। स्ट्रॉबेरी वाली कैंडी निकालने की प्रायिकता।
1. बैग में कैंडीज की कुल संख्या = 3।
2. स्ट्रॉबेरी कैंडीज की संख्या = 1।
3. स्ट्रॉबेरी कैंडी निकालने की प्रायिकता = (स्ट्रॉबेरी कैंडीज की संख्या) / (कैंडीज की कुल संख्या)।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. प्रायिकता = 1/3।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: 1/3
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अभ्यास प्रश्न 6
2 शर्ट (लाल, नीला) और 3 पैंट (जीन्स, खाकी, शॉर्ट्स): प्रत्येक एक-शर्ट-एक-पैंट का पोशाक एक तालिका में सूचीबद्ध करें।
1. प्रत्येक 2 शर्ट को प्रत्येक 3 पैंट के साथ जोड़ें: 2 × 3 = 6 पोशाक।
2. तालिका, शर्ट द्वारा पैंट: लाल शर्ट | लाल + जीन्स | लाल + खाकी | लाल + शॉर्ट्स।
3. नीली शर्ट | नीला + जीन्स | नीला + खाकी | नीला + शॉर्ट्स।
उत्तर: 6 पोशाक: लाल + जीन्स, लाल + खाकी, लाल + शॉर्ट्स, नीला + जीन्स, नीला + खाकी, नीला + शॉर्ट्स
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अभ्यास प्रश्न 7
1000 टायर दूरी से पहले प्रतिस्थापन: 4000 किमी से कम 20; 4001 से 9000 किमी 210; 9001 से 14000 किमी 325; 14000 किमी से अधिक 445। एक टायर के टिकने की प्रायिकता (i) 4000 किमी से कम, (ii) 4000 और 14000 किमी के बीच, (iii) 14000 किमी से अधिक।
1. परीक्षण किए गए टायरों की कुल संख्या 1000 है।
2. (i) 4000 किमी से कम समय तक चलने वाले टायरों की संख्या 20 है।
3. (i) प्रायिकता = 20 ÷ 1000 = 0.02।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. (ii) 4000 और 14000 किमी के बीच चलने वाले टायरों की संख्या 210 + 325 = 535 है।
5. (ii) प्रायिकता = 535 ÷ 1000 = 0.535।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
6. (iii) 14000 किमी से अधिक समय तक चलने वाले टायरों की संख्या 445 है।
7. (iii) प्रायिकता = 445 ÷ 1000 = 0.445।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 0.02; (ii) 0.535; (iii) 0.445
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अभ्यास प्रश्न 8
PEACE के अक्षर पाँच कार्डों पर हैं; एक निकाला जाता है। प्रायिकता कि यह (i) P, E या C है; (ii) E नहीं है।
1. शब्द PEACE में 5 अक्षर हैं: P, E, A, C, E।
2. एक कार्ड निकालने के लिए संभावित परिणामों की कुल संख्या 5 है।
3. (i) अक्षर P, E, या C शब्द में P, E, A, C, E के रूप में दिखाई देते हैं।
4. (i) P, E, या C के बीच अलग-अलग अक्षर P, E, और C हैं।
5. (i) P, E, या C दिखाने वाले कार्डों की संख्या 4 है (एक P, दो E, एक C)।
6. (i) P, E, या C निकालने की प्रायिकता 4/5 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
7. (ii) जो अक्षर E नहीं हैं वे P, A, और C हैं।
8. (ii) E के अलावा अन्य अक्षर दिखाने वाले कार्डों की संख्या 3 है।
9. (ii) E के अलावा अन्य अक्षर निकालने की प्रायिकता 3/5 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 4/5; (ii) 3/5
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अभ्यास प्रश्न 9
एक स्पिनर 1 से 8 पर रुकता है, सभी समान रूप से संभावित हैं (Fig. 7.7)। प्रायिकता (i) 8, (ii) एक विषम संख्या, (iii) 2 से अधिक, (iv) 9 से कम, (v) 3 का गुणज।
1. स्पिनर के 8 समान रूप से संभावित परिणाम हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8।
2. (i) 8 प्राप्त करने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या 1 है।
3. (i) 8 प्राप्त करने की प्रायिकता 1/8 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. (ii) विषम संख्याएँ 1, 3, 5, 7 हैं, इसलिए 4 अनुकूल परिणाम हैं।
5. (ii) एक विषम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता 4/8 है, जो 1/2 में सरल हो जाती है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
6. (iii) 2 से अधिक संख्याएँ 3, 4, 5, 6, 7, 8 हैं, इसलिए 6 अनुकूल परिणाम हैं।
7. (iii) 2 से अधिक संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता 6/8 है, जो 3/4 में सरल हो जाती है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
8. (iv) 1 से 8 तक की सभी संख्याएँ 9 से कम हैं, इसलिए 8 अनुकूल परिणाम हैं।
9. (iv) 9 से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता 8/8 है, जो 1 में सरल हो जाती है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
10. (v) 3 के गुणज 3 और 6 हैं, इसलिए 2 अनुकूल परिणाम हैं।
11. (v) 3 का गुणज प्राप्त करने की प्रायिकता 2/8 है, जो 1/4 में सरल हो जाती है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 1/8; (ii) 1/2; (iii) 3/4; (iv) 1; (v) 1/4
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अभ्यास प्रश्न 10
एक टोकरी में 4 लाल और 5 नीली गेंदें हैं; एक गेंद निकाली जाती है और अलग रख दी जाती है, फिर दूसरी निकाली जाती है। वृक्ष आरेख, फिर (i) P(लाल फिर नीली), (ii) P(दोनों नीली)।
1. टोकरी में कुल गेंदें = 4 लाल + 5 नीली = 9।
2. पहली बार लाल गेंद निकालने की प्रायिकता = 4/9।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
3. पहली बार नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = 5/9।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. यदि पहली बार लाल गेंद निकाली जाती है, तो 8 गेंदें बचती हैं जिनमें 5 नीली गेंदें हैं।
5. पहली बार लाल निकालने के बाद दूसरी बार नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = 5/8।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
6. (i) P(लाल फिर नीली) = P(पहली लाल) × P(दूसरी नीली | पहली लाल) = (4/9) × (5/8)।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
7. (i) P(लाल फिर नीली) = 20/72 = 5/18।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
8. यदि पहली बार नीली गेंद निकाली जाती है, तो 8 गेंदें बचती हैं जिनमें 4 नीली गेंदें हैं।
9. पहली बार नीली निकालने के बाद दूसरी बार नीली गेंद निकालने की प्रायिकता = 4/8।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
10. (ii) P(दोनों नीली) = P(पहली नीली) × P(दूसरी नीली | पहली नीली) = (5/9) × (4/8)।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
11. (ii) P(दोनों नीली) = 20/72 = 5/18।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 5/18; (ii) 5/18
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अभ्यास प्रश्न 11
पासों की एक जोड़ी फेंकी जाती है: 0 की प्रायिकता वाली एक घटना और 1 की प्रायिकता वाली एक घटना दीजिए।
1. छः-पहलू वाले पासों की एक जोड़ी को फेंकने पर 36 संभावित परिणाम होते हैं।
2. 0 की प्रायिकता वाली एक घटना एक असंभव घटना है, जिसका अर्थ है कि यह घटित नहीं हो सकती।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
3. एक असंभव घटना का उदाहरण 13 का योग प्राप्त करना है, क्योंकि अधिकतम योग 12 है।
4. 1 की प्रायिकता वाली एक घटना एक निश्चित घटना है, जिसका अर्थ है कि यह निश्चित रूप से घटित होगी।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
5. एक निश्चित घटना का उदाहरण 2 और 12 के बीच का योग प्राप्त करना है, क्योंकि सभी परिणाम इस श्रेणी में आते हैं।
उत्तर: 0 की प्रायिकता वाली घटना: 13 का योग प्राप्त करना; 1 की प्रायिकता वाली घटना: 2 और 12 के बीच का योग प्राप्त करना
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अभ्यास प्रश्न 12
(i) दो पासे: P(योग एक अभाज्य संख्या है जो 5 से अधिक है)। (ii) 4 लाल, 3 हरी, 2 नीली गेंदें वाली एक थैली; प्रतिस्थापन के बिना दो गेंदें निकाली जाती हैं: P(विभिन्न रंग)। (iii) तीन सिक्के: P(पहला सिक्का हेड्स है और बिल्कुल दो हेड्स हैं)। (iv) 1, 2, 3, 4 से बिना दोहराव के चार अंकों की संख्याएँ: P(सम)। (v) 4 विकल्पों वाले 3 प्रश्न, सभी का अनुमान लगाया गया: P(बिल्कुल 2 सही)।
1. (i) दो पासों के लिए कुल परिणाम 36 हैं।
2. (i) 5 से अधिक अभाज्य योग 7 और 11 हैं।
3. (i) 7 के लिए परिणाम (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) और 11 के लिए (5,6), (6,5) हैं, कुल 8।
4. (i) प्रायिकता 8/36 है जो 2/9 में सरल हो जाती है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
5. (ii) 9 में से 2 गेंदें निकालने के कुल तरीके 36 हैं।
6. (ii) एक ही रंग की गेंदें निकालने के तरीके 6 (लाल), 3 (हरी), और 1 (नीली) हैं, कुल 10।
7. (ii) विभिन्न रंग की गेंदें निकालने के तरीके 36 - 10 = 26 हैं।
8. (ii) प्रायिकता 26/36 है जो 13/18 में सरल हो जाती है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
9. (iii) तीन सिक्कों के लिए कुल परिणाम 8 हैं।
10. (iii) 'पहला सिक्का हेड्स है और बिल्कुल दो हेड्स हैं' की शर्त केवल HHT और HTH को अनुमति देती है।
11. (iii) 2 अनुकूल परिणाम हैं।
12. (iii) प्रायिकता 2/8 है जो 1/4 में सरल हो जाती है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
13. (iv) 1, 2, 3, 4 से बिना दोहराव के कुल चार अंकों की संख्याएँ 24 हैं।
14. (iv) एक संख्या सम होने के लिए, अंतिम अंक 2 या 4 होना चाहिए।
15. (iv) यदि अंतिम अंक 2 है, तो 3! = 6 संख्याएँ हैं; यदि 4 है, तो 6 संख्याएँ हैं, कुल 12।
16. (iv) प्रायिकता 12/24 है जो 1/2 में सरल हो जाती है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
17. (v) 4 विकल्पों वाले 3 प्रश्नों का उत्तर देने के कुल तरीके 4 × 4 × 4 = 64 हैं।
18. (v) बिल्कुल 2 सही उत्तर प्राप्त करने के लिए, 3 में से 2 सही स्थान चुनें और गलत उत्तर को 3 तरीकों से अनुमान लगाएं, जिससे 9 परिणाम मिलते हैं।
19. (v) प्रायिकता 9/64 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 2/9; (ii) 13/18; (iii) 1/4; (iv) 1/2; (v) 9/64
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अभ्यास प्रश्न 13
1 से 4 तक संख्या वाली गेंदें; दो ड्रा के नमूना स्थान के लिए वृक्ष आरेख (i) पहली गेंद को वापस किया गया, (ii) इसे वापस किए बिना; (iii) दोनों नमूना स्थानों का आकार।
1. (i) जब पहली गेंद को वापस किया जाता है, तो पहले ड्रा के लिए 4 विकल्प और दूसरे ड्रा के लिए 4 विकल्प होते हैं।
2. (i) नमूना स्थान में परिणामों की कुल संख्या 4 × 4 = 16 है।
3. (i) वृक्ष: 4 पहली शाखाएं (1, 2, 3, 4), प्रत्येक 4 में विभाजित (1, 2, 3, 4): S = {11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44}, जहां 23 का अर्थ है पहले 2, फिर 3।
4. (ii) जब पहली गेंद को वापस नहीं किया जाता है, तो पहले ड्रा के लिए 4 विकल्प और दूसरे ड्रा के लिए 3 विकल्प होते हैं।
5. (ii) नमूना स्थान में परिणामों की कुल संख्या 4 × 3 = 12 है।
6. (ii) वृक्ष: 4 पहली शाखाएं, प्रत्येक अभी तक खींची गई नहीं 3 संख्याओं में विभाजित: S = {12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43}।
7. (iii) प्रतिस्थापन के साथ ड्रा के लिए नमूना स्थान का आकार 16 है।
8. (iii) बिना प्रतिस्थापन के ड्रा के लिए नमूना स्थान का आकार 12 है।
उत्तर: (i) 16; (ii) 12; (iii) 16 और 12
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अभ्यास प्रश्न 14
एक सिक्का उछालना और 1 से 6 तक संख्या वाले छह कार्डों में से एक कार्ड निकालना - नमूना स्थान सूचीबद्ध करें।
1. हम एक सिक्का उछालते हैं जिसका परिणाम चित (H) या पट (T) हो सकता है।
2. हम 1 से 6 तक संख्या वाले छह कार्डों में से एक कार्ड निकालते हैं, इसलिए कार्ड 1, 2, 3, 4, 5, या 6 हो सकता है।
3. नमूना स्थान (सिक्के का परिणाम, कार्ड की संख्या) के सभी संभावित जोड़ों से मिलकर बना है।
4. परिणाम हैं: (H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)।
5. इन परिणामों की गिनती करने पर, हम कुल 12 संभावनाएं पाते हैं।
उत्तर: नमूना स्थान में 12 परिणाम हैं: {(H,1), (H,2), (H,3), (H,4), (H,5), (H,6), (T,1), (T,2), (T,3), (T,4), (T,5), (T,6)}
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अभ्यास प्रश्न 15
तीन सिक्के उछाले जाते हैं और चितों की संख्या दर्ज की जाती है। कौन सी सूची नमूना स्थान है, और अन्य क्यों विफल होते हैं: (i) {1, 2, 3}, (ii) {0, 1, 2}, (iii) {0, 1, 2, 3, 4}, (iv) {0, 1, 2, 3}?
1. जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं, तो चितों की संख्या के संभावित परिणाम 0 से 3 तक होते हैं।
2. विकल्प (i) {1, 2, 3} गलत है क्योंकि यह उस मामले को छोड़ता है जहां कोई चित नहीं आता है।
3. विकल्प (ii) {0, 1, 2} गलत है क्योंकि यह उस मामले को छोड़ता है जहां सभी तीन सिक्के चित दिखाते हैं।
4. विकल्प (iii) {0, 1, 2, 3, 4} गलत है क्योंकि केवल 3 सिक्कों से 4 चित आना असंभव है।
5. विकल्प (iv) {0, 1, 2, 3} चितों की सभी संभावित गणना को सही ढंग से सूचीबद्ध करता है बिना किसी असंभव मान के।
उत्तर: (iv) {0, 1, 2, 3}
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अभ्यास प्रश्न 16
एक रंग की बूंद एक 3 m × 2 m आयत पर यादृच्छिक रूप से गिरती है जिसमें 1 m व्यास वाला एक वृत्त है (Fig. 7.8)। वृत्त के अंदर गिरने की प्रायिकता।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. वृत्त (व्यास 1 m) पूरी तरह से 3 m × 2 m आयत के अंदर स्थित है, जिसका क्षेत्रफल 3 × 2 = 6 m² है। आयत का प्रत्येक बिंदु समान रूप से संभावित है।
2. वृत्त का व्यास 1 m है, इसलिए इसकी त्रिज्या 0.5 m है।
3. वृत्त का क्षेत्रफल π × (0.5)² = π/4 m² है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
4. प्रायिकता वृत्त के क्षेत्रफल और आयत के क्षेत्रफल का अनुपात है: (π/4) ÷ 6।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
5. भिन्न को सरल करने पर π/24 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
6. π ≈ 3.14 का उपयोग करने पर, मान 3.14/24 ≈ 0.13 है।
उत्तर: π/24 ≈ 0.13
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इस अध्याय की अन्य प्रश्नावलियाँ

प्रश्नावली 7.1 — 1 questions
Exercise Set 7.2 — 6 questions
प्रश्नावली 7.3 — 3 questions
Exercise Set 7.4 — 2 questions

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कक्षा 9 गणित अभ्यास के प्रश्न के हल (The Mathematics of Maybe: Introduction to Probability)

अभ्यास प्रश्न 1

अभ्यास प्रश्न 2

अभ्यास प्रश्न 3

अभ्यास प्रश्न 4

अभ्यास प्रश्न 5

अभ्यास प्रश्न 6

अभ्यास प्रश्न 7

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