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कक्षा 9 गणित अभ्यास के प्रश्न के हल (Orienting Yourself: The Use of Coordinates)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

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How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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अभ्यास प्रश्न 1
उस बिंदु के निर्देशांक जहाँ दो अक्ष मिलते हैं।
1. दो अक्ष x-अक्ष और y-अक्ष हैं।
2. वे निर्देशांक तल की मूल बिंदु (origin) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
3. मूल बिंदु पर x-निर्देशांक 0 है।
4. मूल बिंदु पर y-निर्देशांक 0 है।
उत्तर: (0, 0)
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अभ्यास प्रश्न 2
W का x-निर्देशांक −5 है। W से गुजरने वाली y-अक्ष के समानांतर रेखा पर स्थित H बिंदु के निर्देशांक के बारे में आप क्या कह सकते हैं, और H किस चतुर्थांश (quadrant) में हो सकता है?
1. W से गुजरने वाली y-अक्ष के समानांतर रेखा एक लंबवत (vertical) रेखा है, और लंबवत रेखा पर स्थित हर बिंदु का x-निर्देशांक समान होता है।
2. W का x-निर्देशांक −5 है, इसलिए H = (−5, y) होगा, जहाँ y कोई संख्या है।
3. यदि y > 0, तो H y-अक्ष के बाईं ओर और x-अक्ष के ऊपर है: चतुर्थांश II।
4. यदि y < 0, तो H बाईं ओर और नीचे है: चतुर्थांश III।
5. यदि y = 0, तो H = (−5, 0) x-अक्ष पर ही स्थित है, जो किसी भी चतुर्थांश में नहीं है।
उत्तर: H = (−5, y): यह चतुर्थांश II (y > 0) या चतुर्थांश III (y < 0) में स्थित है, या x-अक्ष पर (−5, 0) बिंदु पर है।
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अभ्यास प्रश्न 3
R (3, 0), A (0, −2), M (−5, −2), P (−5, 2) को क्रमशः RAMP के रूप में जोड़ें: (i) दो लंबवत भुजाएँ, (ii) एक अक्ष के समानांतर भुजा, (iii) दो बिंदु जो किसी अक्ष में परस्पर प्रतिबिंब (mirror images) हैं (किस अक्ष में?)। फिर आरेख बनाकर सत्यापित करें।
1. (i) A (0, −2) और M (−5, −2) का y-निर्देशांक समान −2 है, इसलिए AM एक क्षैतिज खंड है।
2. (i) M (−5, −2) और P (−5, 2) का x-निर्देशांक समान −5 है, इसलिए MP एक लंबवत खंड है।
3. (i) एक क्षैतिज और एक लंबवत खंड समकोण पर मिलते हैं, इसलिए AM ⊥ MP।
4. (ii) भुजा AM का y-निर्देशांक स्थिर −2 है, इसलिए यह x-अक्ष के समानांतर है।
5. (ii) भुजा MP का x-निर्देशांक स्थिर −5 है, इसलिए यह y-अक्ष के समानांतर है।
6. (iii) M(−5, −2) और P(−5, 2) के निर्देशांक की तुलना करें; उनके x-निर्देशांक समान हैं और y-निर्देशांक एक-दूसरे के विपरीत हैं।
7. (iii) इसलिए, M और P x-अक्ष में एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं।
8. निर्देशांक तल पर बिंदु R(3, 0), A(0, −2), M(−5, −2) और P(−5, 2) को आरेखित करें और उन्हें क्रमशः जोड़कर चतुर्भुज RAMP बनाएं।
9. आरेखित आकृति को देखकर ज्यामितीय गुणों का सत्यापन करें: AM एक क्षैतिज खंड है, MP एक लंबवत खंड है, और वे M पर समकोण पर मिलते हैं।
उत्तर: (i) AM ⊥ MP; (ii) AM ∥ x-अक्ष, MP ∥ y-अक्ष; (iii) M और P, x-अक्ष
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अभ्यास प्रश्न 4
बिंदु Z (5, −6) को चिह्नित करें; एक समकोण त्रिभुज IZN बनाएं और इसके तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें (उत्तर भिन्न हो सकते हैं)।
1. Z (5, −6) y-अक्ष से 5 इकाई दाईं ओर और x-अक्ष से 6 इकाई नीचे स्थित है (चतुर्थांश IV)। एक आसान विकल्प: I = (0, 0) (मूल बिंदु) और y-अक्ष पर N = (0, −6), जो Z के समानांतर (same level) है।
2. IN लंबवत है (x-निर्देशांक समान 0 है): IN = 0 − (−6) = 6।
3. NZ क्षैतिज है (y-निर्देशांक समान −6 है): NZ = 5 − 0 = 5।
4. IN लंबवत और NZ क्षैतिज है, इसलिए N पर कोण एक समकोण है।
5. बादुशान-पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, IZ² = IN² + NZ² = 6² + 5² = 36 + 25 = 61, अतः IZ = √61 ≈ 7.81।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
6. I और N के अन्य चयन से अन्य समकोण त्रिभुज प्राप्त होंगे; विधि समान है।
उत्तर: I (0, 0) और N (0, −6) के साथ: IN = 6, NZ = 5, IZ = √61 (≈ 7.81); अन्य सही त्रिभुज भी संभव हैं।
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अभ्यास प्रश्न 5
यदि ऋणात्मक संख्याएं न हों तो निर्देशांक कैसा होगा? क्या तल के हर बिंदु की स्थिति निर्धारित की जा सकती है?
1. यदि हम केवल धनात्मक संख्याओं का उपयोग करें, तो हम केवल प्रथम चतुर्थांश में बिंदुओं का वर्णन कर सकते हैं जहाँ x और y दोनों धनात्मक हैं।
2. द्वितीय चतुर्थांश में बिंदुओं के x-मान ऋणात्मक होते हैं, इसलिए ऋणात्मक संख्याओं के बिना उनकी स्थिति निर्धारित नहीं की जा सकती।
3. तृतीय चतुर्थांश में बिंदुओं के x और y-मान ऋणात्मक होते हैं, जिससे केवल धनात्मक संख्याओं के साथ उनकी स्थिति निर्धारित करना असंभव हो जाता है।
4. चतुर्थ चतुर्थांश में बिंदुओं के y-मान ऋणात्मक होते हैं, इसलिए उनकी स्थिति भी ऋणात्मक संख्याओं के बिना निर्धारित नहीं की जा सकती।
5. अतः, ऋणात्मक संख्याओं के बिना, हम तल के केवल एक-चौथाई भाग की स्थिति निर्धारित कर सकते हैं।
6. यदि ऋणात्मक संख्याओं की अनुमति नहीं है, तो हम तल के हर बिंदु की स्थिति निर्धारित नहीं कर सकते।
उत्तर: नहीं, ऋणात्मक संख्याओं के बिना तल के हर बिंदु की स्थिति निर्धारित नहीं की जा सकती; केवल प्रथम चतुर्थांश में बिंदुओं की स्थिति निर्धारित की जा सकती है।
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अभ्यास प्रश्न 6
क्या M (−3, −4), A (0, 0) और G (6, 8) एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं? एक विधि बताएं जिसके लिए आरेख बनाने की आवश्यकता न हो।
1. दूरी सूत्र का उपयोग करके (−3, −4) और (0, 0) के बीच खंड MA की लंबाई ज्ञात करें।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है: दोनों अंतर एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण।
2. MA = √[(0 − (−3))² + (0 − (−4))²] = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5।
3. (0, 0) और (6, 8) के बीच खंड AG की लंबाई ज्ञात करें।
4. AG = √[(6 − 0)² + (8 − 0)²] = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10।
5. (−3, −4) और (6, 8) के बीच खंड MG की लंबाई ज्ञात करें।
6. MG = √[(6 − (−3))² + (8 − (−4))²] = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15।
7. जांचें कि क्या दो छोटी दूरियों का योग सबसे लंबी दूरी के बराबर है।
8. MA + AG = 5 + 10 = 15, जो MG के बराबर है।
9. चूँकि MA + AG = MG, बिंदु M, A, और G एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।
उत्तर: MA = 5, AG = 10, MG = 15, हाँ
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अभ्यास प्रश्न 7
उसी विधि का उपयोग करें: क्या R (−5, −1), B (−2, −5) और C (4, −12) एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं?
1. दूरी सूत्र का उपयोग करके बिंदु R(−5, −1) और B(−2, −5) के बीच की दूरी की गणना करें।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है: दोनों अंतर एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण।
2. RB = √[(−2 − (−5))² + (−5 − (−1))²] = √[3² + (−4)²] = √[9 + 16] = √25 = 5।
3. बिंदु B(−2, −5) और C(4, −12) के बीच की दूरी की गणना करें।
4. BC = √[(4 − (−2))² + (−12 − (−5))²] = √[6² + (−7)²] = √[36 + 49] = √85।
5. बिंदु R(−5, −1) और C(4, −12) के बीच की दूरी की गणना करें।
6. RC = √[(4 − (−5))² + (−12 − (−1))²] = √[9² + (−11)²] = √[81 + 121] = √202।
7. सरेखता (collinearity) की पुष्टि के लिए जांचें कि क्या छोटी दूरियों का योग सबसे लंबी दूरी के बराबर है।
8. RB + BC = 5 + √85 ≈ 5 + 9.22 = 14.22।
9. RC = √202 ≈ 14.21।
10. गोल करने (rounding) के बिना निश्चित होने के लिए, दोनों का वर्ग करें: (5 + √85)² = 25 + 85 + 10√85 = 110 + 10√85 ≈ 202.2, जो 202 = (√202)² के बराबर नहीं है। अतः RB + BC ≠ RC, और बिंदु एक ही सीधी रेखा पर स्थित नहीं हैं।
उत्तर: RB = 5, BC = √85, RC = √202, एक ही सीधी रेखा पर नहीं
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अभ्यास प्रश्न 8
मूल बिंदु को एक शीर्ष के रूप में लेकर, आलेख खींचें: (i) एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज, (ii) एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसका एक शीर्ष चतुर्थांश III में और एक शीर्ष चतुर्थांश IV में हो।
1. (i) शीर्ष O(0, 0), A(4, 0), और B(0, 4) को चुनकर एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज बनाएँ जिसका समकोण मूल बिंदु पर हो।
2. (i) निर्देशांक तल पर बिंदु O(0, 0), A(4, 0), और B(0, 4) को आलेख में दर्शाएँ।
3. (i) OA, OB, और AB को मिलाकर त्रिभुज को पूरा करें।
4. (ii) शीर्ष O(0, 0), C(−3, −4), और D(3, −4) को चुनकर एक समद्विबाहु त्रिभुज बनाएँ जिसका एक शीर्ष चतुर्थांश III में और एक शीर्ष चतुर्थांश IV में हो।
5. (ii) निर्देशांक तल पर बिंदु O(0, 0), C(−3, −4), और D(3, −4) को आलेख में दर्शाएँ।
6. (ii) OC, OD, और CD को मिलाकर त्रिभुज को पूरा करें।
7. यह सत्यापित करें कि OC = OD = 5 इकाइयाँ हैं, जिससे त्रिभुज समद्विबाहु है।
उत्तर: (i) शीर्षों (0, 0), (4, 0), (0, 4) वाला त्रिभुज; (ii) शीर्षों (0, 0), (−3, −4), (3, −4) वाला त्रिभुज
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अभ्यास प्रश्न 9
क्या M, ST का मध्य बिंदु है? (a) S (−3, 0), M (0, 0), T (3, 0); (b) S (2, 3), M (3, 4), T (4, 5); (c) S (0, 0), M (0, 5), T (0, −10); (d) S (−8, 7), M (0, −2), T (6, −3)। जब M मध्य बिंदु होता है, तो M, S और T के निर्देशांक (coordinates) में क्या संबंध होता है?
1. (a) ST का मध्य बिंदु ज्ञात करें: ((−3 + 3) ÷ 2, (0 + 0) ÷ 2) = (0, 0)।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) है: हर निर्देशांक दोनों सिरों का औसत है।
2. (a) गणना किया गया मध्य बिंदु (0, 0) दिए गए बिंदु M से मेल खाता है, इसलिए M मध्य बिंदु है।
3. (b) ST का मध्य बिंदु ज्ञात करें: ((2 + 4) ÷ 2, (3 + 5) ÷ 2) = (3, 4)।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) है: हर निर्देशांक दोनों सिरों का औसत है।
4. (b) गणना किया गया मध्य बिंदु (3, 4) दिए गए बिंदु M से मेल खाता है, इसलिए M मध्य बिंदु है।
5. (c) ST का मध्य बिंदु ज्ञात करें: ((0 + 0) ÷ 2, (0 + (−10)) ÷ 2) = (0, −5)।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) है: हर निर्देशांक दोनों सिरों का औसत है।
6. (c) गणना किया गया मध्य बिंदु (0, −5) दिए गए बिंदु M (0, 5) से मेल नहीं खाता, इसलिए M मध्य बिंदु नहीं है।
7. (d) ST का मध्य बिंदु ज्ञात करें: ((−8 + 6) ÷ 2, (7 + (−3)) ÷ 2) = (−1, 2)।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) है: हर निर्देशांक दोनों सिरों का औसत है।
8. (d) गणना किया गया मध्य बिंदु (−1, 2) दिए गए बिंदु M (0, −2) से मेल नहीं खाता, इसलिए M मध्य बिंदु नहीं है।
9. जब M मध्य बिंदु होता है, तो इसके निर्देशांक S और T के संगत निर्देशांकों के औसत (averages) होते हैं।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) है: हर निर्देशांक दोनों सिरों का औसत है।
उत्तर: (a) हाँ; (b) हाँ; (c) नहीं, (0, -5); (d) नहीं, (-1, 2)
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अभ्यास प्रश्न 10
M (−7, 1), A (3, −4) और B (x, y) का मध्य बिंदु है। B ज्ञात करें।
1. मध्य बिंदु सूत्र के अनुसार, मध्य बिंदु M के निर्देशांक, अंत बिंदुओं A और B के निर्देशांकों के औसत होते हैं।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) है: हर निर्देशांक दोनों सिरों का औसत है।
2. x-निर्देशांक के लिए: M का x-निर्देशांक = (A का x-निर्देशांक + x) / 2।
3. x-निर्देशांक के सूत्र में दिए गए मान प्रतिस्थापित करें: −7 = (3 + x) / 2।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
4. दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर −14 = 3 + x प्राप्त होता है।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
5. दोनों पक्षों से 3 घटाने पर x = −17 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
6. y-निर्देशांक के लिए: M का y-निर्देशांक = (A का y-निर्देशांक + y) / 2।
7. y-निर्देशांक के सूत्र में दिए गए मान प्रतिस्थापित करें: 1 = (−4 + y) / 2।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
8. दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर 2 = −4 + y प्राप्त होता है।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
9. दोनों पक्षों में 4 जोड़ने पर y = 6 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
10. बिंदु B के निर्देशांक (−17, 6) हैं।
उत्तर: B = (−17, 6)
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अभ्यास प्रश्न 11
P और Q, AB को त्रिभाज करते हैं (P, A के निकट है)। मध्य बिंदुओं का उपयोग करके, A (4, 7) और B (16, −2) के लिए P और Q ज्ञात करें।
1. चूँकि P और Q, AB को त्रिभाज करते हैं, खंड AP बराबर है PQ के और PQ बराबर है QB के।
2. इसका अर्थ है कि P, खंड AQ का मध्य बिंदु है, और Q, खंड PB का मध्य बिंदु है।
3. मान लें कि P के निर्देशांक (x₁, y₁) हैं और Q के (x₂, y₂)।
4. Q (PB का मध्य बिंदु) के लिए मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करें: x₂ = (x₁ + 16)/2 और y₂ = (y₁ + (-2))/2।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) है: हर निर्देशांक दोनों सिरों का औसत है।
5. P (AQ का मध्य बिंदु) के लिए मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करें: x₁ = (4 + x₂)/2 और y₁ = (7 + y₂)/2।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) है: हर निर्देशांक दोनों सिरों का औसत है।
6. x₁ के समीकरण में x₂ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करें: x₁ = (4 + (x₁ + 16)/2)/2।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
7. x₁ ज्ञात करने के लिए सरल करें: 2x₁ = 4 + (x₁ + 16)/2, जिससे 4x₁ = 8 + x₁ + 16, अतः 3x₁ = 24 और x₁ = 8।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
8. y₁ के समीकरण में y₂ के व्यंजक को प्रतिस्थापित करें: y₁ = (7 + (y₁ - 2)/2)/2।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
9. y₁ ज्ञात करने के लिए सरल करें: 2y₁ = 7 + (y₁ - 2)/2, जिससे 4y₁ = 14 + y₁ - 2, अतः 3y₁ = 12 और y₁ = 4।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
10. इस प्रकार, P के निर्देशांक (8, 4) हैं।
11. अब x₂ = (x₁ + 16)/2 का उपयोग करके x₂ ज्ञात करें: x₂ = (8 + 16)/2 = 24/2 = 12।
12. अब y₂ = (y₁ - 2)/2 का उपयोग करके y₂ ज्ञात करें: y₂ = (4 - 2)/2 = 2/2 = 1।
13. इस प्रकार, Q के निर्देशांक (12, 1) हैं।
उत्तर: P = (8, 4), Q = (12, 1)
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अभ्यास प्रश्न 12
(i) दिखाइए कि A (1, −8), B (−4, 7), C (−7, −4) बिंदु O (0, 0) केंद्र वाले वृत्त K पर स्थित हैं; इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (ii) क्या D (−5, 6) और E (0, 9) वृत्त K के अंदर, पर या बाहर स्थित हैं?
1. (i) दूरी सूत्र का उपयोग करके केंद्र O(0, 0) से बिंदु A(1, −8) की दूरी की गणना करें: √((1−0)² + (−8−0)²) = √(1 + 64) = √65।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है: दोनों अंतर एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण।
2. (i) केंद्र O(0, 0) से बिंदु B(−4, 7) की दूरी की गणना करें: √((−4−0)² + (7−0)²) = √(16 + 49) = √65।
3. (i) केंद्र O(0, 0) से बिंदु C(−7, −4) की दूरी की गणना करें: √((−7−0)² + (−4−0)²) = √(49 + 16) = √65।
4. (i) चूँकि दूरियाँ OA, OB और OC सभी √65 के बराबर हैं, इसलिए बिंदु A, B और C केंद्र O और त्रिज्या √65 वाले वृत्त K पर स्थित हैं।
5. (ii) केंद्र O(0, 0) से बिंदु D(−5, 6) की दूरी की गणना करें: √((−5−0)² + (6−0)²) = √(25 + 36) = √61।
6. (ii) दूरी OD को त्रिज्या से तुलना करें: चूँकि √61 < √65, इसलिए बिंदु D वृत्त K के अंदर स्थित है।
7. (ii) केंद्र O(0, 0) से बिंदु E(0, 9) की दूरी की गणना करें: √((0−0)² + (9−0)²) = √(0 + 81) = √81 = 9।
8. (ii) दूरी OE को त्रिज्या से तुलना करें: चूँकि 9 > √65 (क्योंकि 81 > 65), इसलिए बिंदु E वृत्त K के बाहर स्थित है।
उत्तर: (i) A, B, C त्रिज्या √65 वाले वृत्त K पर स्थित हैं; (ii) D अंदर, E बाहर
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अभ्यास प्रश्न 13
D (5, 1), E (6, 5), F (0, 3) त्रिभुज ABC की भुजाओं के मध्यबिंदु हैं। A, B और C ज्ञात कीजिए।
1. मान लीजिए कि D, E, F क्रमशः BC, CA और AB के मध्यबिंदु हैं। एक मध्यबिंदु के निर्देशांक अंत बिंदुओं के औसत होते हैं, इसलिए B + C = 2D, C + A = 2E और A + B = 2F (x-निर्देशांक और y-निर्देशांक अलग-अलग जोड़ने पर)।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) है: हर निर्देशांक दोनों सिरों का औसत है।
2. तीनों को जोड़ने पर: 2(A + B + C) = 2(D + E + F), इसलिए A + B + C = D + E + F = (5 + 6 + 0, 1 + 5 + 3) = (11, 9)।
3. A = (A + B + C) − (B + C) = (11, 9) − (10, 2) = (1, 7), चूँकि 2D = (10, 2)।
4. B = (11, 9) − (C + A) = (11, 9) − (12, 10) = (−1, −1), चूँकि 2E = (12, 10)।
5. C = (11, 9) − (A + B) = (11, 9) − (0, 6) = (11, 3), चूँकि 2F = (0, 6)।
6. जाँच: BC का मध्यबिंदु = ((−1 + 11)/2, (−1 + 3)/2) = (5, 1) = D; CA का = ((11 + 1)/2, (3 + 7)/2) = (6, 5) = E; AB का = ((1 − 1)/2, (7 − 1)/2) = (0, 3) = F।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) है: हर निर्देशांक दोनों सिरों का औसत है।
उत्तर: A = (1, 7), B = (−1, −1), C = (11, 3) (D, E, F को क्रमशः BC, CA, AB के मध्यबिंदु मानते हुए)।
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अभ्यास प्रश्न 14
एक शहर: मुख्य उत्तर-दक्षिण (N–S) और पूर्व-पश्चिम (E–W) सड़कें केंद्र पर एक-दूसरे को काटती हैं; अन्य गलियाँ उनसे समानांतर हैं, 200 मीटर की दूरी पर, प्रत्येक दिशा में 10 गलियाँ। (i) 1 सेमी = 200 मीटर के अनुपात में एक मॉडल बनाइए। (ii) एक चौराहा (a, b) = a-वीं N–S गली और b-वीं E–W गली का प्रतिच्छेदन: कितने चौराहों को (4, 3) कहा जा सकता है, और कितनों को (3, 4)?
1. (i) एक ऊर्ध्वाधर रेखा (मुख्य N–S सड़क) और एक क्षैतिज रेखा (मुख्य E–W सड़क) खींचें जो केंद्र पर एक-दूसरे को काटती हैं।
2. (i) अन्य गलियों को इनसे समानांतर रेखाओं के रूप में खींचें, 1 सेमी की दूरी पर (1 सेमी = 200 मीटर), प्रत्येक दिशा में 10 गलियाँ।
3. (ii) N–S गलियों को एक निश्चित दिशा से (मान लीजिए पश्चिम से) 1वीं, 2वीं, 3वीं, … के रूप में और E–W गलियों को एक निश्चित दिशा से (मान लीजिए दक्षिण से) 1वीं, 2वीं, … के रूप में संख्यांकित करें।
4. (ii) 4वीं N–S गली एक ही रेखा है और 3वीं E–W गली एक ही रेखा है; दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ ठीक एक बिंदु पर मिलती हैं, इसलिए ठीक एक चौराहा (4, 3) कहलाता है।
5. (ii) इसी तरह, ठीक एक चौराहा (3, 4) कहलाता है, और यह (4, 3) से अलग प्रतिच्छेदन है: जोड़ी का क्रम महत्वपूर्ण होता है, बिल्कुल वैसे ही जैसे x ≠ y होने पर (x, y) और (y, x) अलग-अलग बिंदु होते हैं।
उत्तर: (i) 1 सेमी की दूरी पर रेखाओं का जाल; (ii) ठीक एक चौराहा (4, 3) है और ठीक एक, जो अलग है, (3, 4) है।
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अभ्यास प्रश्न 15
स्क्रीन 800 × 600 पिक्सेल, मूल बिंदु (origin) निचले-बाएँ कोने पर। वृत्त 1: केंद्र A (100, 150), त्रिज्या 80; वृत्त 2: केंद्र B (250, 230), त्रिज्या 100। (i) क्या किसी भी वृत्त का कोई भाग स्क्रीन से बाहर जाता है? (ii) क्या वृत्त एक-दूसरे को काटते हैं?
1. (i) वृत्त 1 के लिए, सबसे बायाँ x 100 − 80 = 20 है और सबसे दायाँ x 100 + 80 = 180 है, दोनों 0 से 800 के बीच हैं।
2. (i) सबसे नीचे y 150 − 80 = 70 है और सबसे ऊपर y 150 + 80 = 230 है, दोनों 0 से 600 के बीच हैं।
3. (i) वृत्त 2 के लिए, सबसे बायाँ x 250 − 100 = 150 है और सबसे दायाँ x 250 + 100 = 350 है, दोनों 0 से 800 के बीच हैं।
4. (i) सबसे नीचे y 230 − 100 = 130 है और सबसे ऊपर y 230 + 100 = 330 है, दोनों 0 से 600 के बीच हैं।
5. (i) चूँकि दोनों वृत्तों के सभी चरम बिंदु स्क्रीन की सीमाओं के भीतर हैं, कोई भाग स्क्रीन से बाहर नहीं जाता है।
6. (ii) केंद्रों A और B के बीच की दूरी √((250 − 100)² + (230 − 150)²) = √(150² + 80²) = √(22500 + 6400) = √28900 = 170 है।
7. (ii) त्रिज्याओं का योग 80 + 100 = 180 है।
8. (ii) त्रिज्याओं का अंतर 100 − 80 = 20 है।
9. (ii) चूँकि 20 < 170 < 180, केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के अंतर और योग के बीच में है।
10. (ii) अतः, वृत्त एक-दूसरे को काटते हैं।
उत्तर: (i) कोई भाग स्क्रीन से बाहर नहीं जाता है; (ii) AB = 170, 180, वे एक-दूसरे को काटते हैं
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अभ्यास प्रश्न 16
बिंदु A (2, 1), B (−1, 2), C (−2, −1), D (1, −2) को चिह्नित करें। क्या ABCD एक वर्ग है? क्यों? इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।
1. निर्देशांक तल पर बिंदु A(2, 1), B(−1, 2), C(−2, −1) और D(1, −2) को चिह्नित करें और उन्हें क्रम में जोड़कर चतुर्भुज ABCD बनाएं।
2. दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजा AB की लंबाई की गणना करें: √[(2 − (−1))² + (1 − 2)²] = √[3² + (−1)²] = √[9 + 1] = √10।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है: दोनों अंतर एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण।
3. भुजा BC की लंबाई की गणना करें: √[(−1 − (−2))² + (2 − (−1))²] = √[1² + 3²] = √[1 + 9] = √10।
4. भुजा CD की लंबाई की गणना करें: √[(−2 − 1)² + (−1 − (−2))²] = √[(−3)² + 1²] = √[9 + 1] = √10।
5. भुजा DA की लंबाई की गणना करें: √[(1 − 2)² + (−2 − 1)²] = √[(−1)² + (−3)²] = √[1 + 9] = √10।
6. चूँकि सभी चारों भुजाएँ समान हैं (AB = BC = CD = DA = √10), ABCD एक समचतुर्भुज है।
7. विकर्ण AC की लंबाई की गणना करें: √[(2 − (−2))² + (1 − (−1))²] = √[4² + 2²] = √[16 + 4] = √20।
8. विकर्ण BD की लंबाई की गणना करें: √[(−1 − 1)² + (2 − (−2))²] = √[(−2)² + 4²] = √[4 + 16] = √20।
9. चूँकि विकर्ण समान हैं (AC = BD = √20) और भुजाएँ भी समान हैं, ABCD एक वर्ग है।
10. वर्ग का क्षेत्रफल उसके भुजा की लंबाई का वर्ग होता है: (√10)² = 10।
उत्तर: ABCD एक वर्ग है; भुजा √10; विकर्ण √20; क्षेत्रफल 10
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प्रश्नावली 1.1 — 1 questions
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कक्षा 9 गणित अभ्यास के प्रश्न के हल (Orienting Yourself: The Use of Coordinates)

अभ्यास प्रश्न 1

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