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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 6.2 के हल (Triangles)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 1
चित्र 6.17 के दोनों त्रिभुजों में DE ∥ BC है। (i) AD = 1.5 cm, DB = 3 cm, AE = 1 cm: EC ज्ञात कीजिए। (ii) DB = 7.2 cm, AE = 1.8 cm, EC = 5.4 cm: AD ज्ञात कीजिए।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. (i) चूँकि DE ∥ BC है, मूल अनुपात प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार, AD/DB = AE/EC।
  क्यों?
  त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय); इसका विलोम भी सत्य है।
2. (i) दिए गए मान प्रतिस्थापित करें: 1.5/3 = 1/EC।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
3. (i) बाईं ओर को सरल करें: 0.5 = 1/EC।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
4. (i) EC के लिए हल करें: EC = 1/0.5 = 2 cm।
5. (ii) चूँकि DE ∥ BC है, मूल अनुपात प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार, AD/DB = AE/EC।
  क्यों?
  त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय); इसका विलोम भी सत्य है।
6. (ii) दिए गए मान प्रतिस्थापित करें: AD/7.2 = 1.8/5.4।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
7. (ii) दाईं ओर को सरल करें: 1.8/5.4 = 1/3।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
8. (ii) AD के लिए हल करें: AD = 7.2 × (1/3) = 2.4 cm।
उत्तर: (i) EC = 2 cm; (ii) AD = 2.4 cm
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प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 2
△PQR में PQ पर E और PR पर F हैं। क्या EF ∥ QR है जब (i) PE = 3.9, EQ = 3, PF = 3.6, FR = 2.4 (ii) PE = 4, QE = 4.5, PF = 8, RF = 9 (iii) PQ = 1.28, PR = 2.56, PE = 0.18, PF = 0.36 (सभी cm में)?
1. (i) दिए गए मानों का उपयोग करके अनुपात PE/EQ की गणना करें: 3.9/3 = 1.3।
2. (i) दिए गए मानों का उपयोग करके अनुपात PF/FR की गणना करें: 3.6/2.4 = 1.5।
3. (i) अनुपातों की तुलना करें: चूँकि 1.3 ≠ 1.5, खंड समान अनुपात में विभाजित नहीं हैं।
4. (i) निष्कर्ष निकालें कि EF, QR के समांतर नहीं है।
5. (ii) दिए गए मानों का उपयोग करके अनुपात PE/EQ की गणना करें: 4/4.5 = 8/9।
6. (ii) दिए गए मानों का उपयोग करके अनुपात PF/FR की गणना करें: 8/9।
7. (ii) अनुपातों की तुलना करें: चूँकि 8/9 = 8/9, खंड समान अनुपात में विभाजित हैं।
8. (ii) निष्कर्ष निकालें कि EF, QR के समांतर है।
9. (iii) PQ से PE घटाकर EQ की लंबाई की गणना करें: 1.28 − 0.18 = 1.10 cm।
10. (iii) PR से PF घटाकर FR की लंबाई की गणना करें: 2.56 − 0.36 = 2.20 cm।
11. (iii) अनुपात PE/EQ की गणना करें: 0.18/1.10 = 18/110 = 9/55।
12. (iii) अनुपात PF/FR की गणना करें: 0.36/2.20 = 36/220 = 9/55।
13. (iii) अनुपातों की तुलना करें: चूँकि 9/55 = 9/55, खंड समान अनुपात में विभाजित हैं।
14. (iii) निष्कर्ष निकालें कि EF, QR के समांतर है।
उत्तर: (i) EF, QR के समांतर नहीं; (ii) EF ∥ QR; (iii) EF ∥ QR
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प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 3
चित्र 6.18 में, LM ∥ CB और LN ∥ CD है। सिद्ध करें कि AM/AB = AN/AD।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. △ABC में, चूँकि LM ∥ CB है, मूल अनुपात प्रमेय (थेल्स प्रमेय) के अनुसार, AM/MB = AL/LC।
  क्यों?
  त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय); इसका विलोम भी सत्य है।
2. △ACD में, चूँकि LN ∥ CD है, मूल अनुपात प्रमेय के अनुसार, AN/ND = AL/LC।
  क्यों?
  त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय); इसका विलोम भी सत्य है।
3. ऊपर दिए गए दो समीकरणों से, हम देखते हैं कि AM/MB = AN/ND।
4. समान अनुपातों के गुण का उपयोग करके (यदि a/b = c/d, तो a/(a+b) = c/(c+d)), हमें AM/(AM + MB) = AN/(AN + ND) प्राप्त होता है।
5. चूँकि AM + MB = AB और AN + ND = AD, समीकरण AM/AB = AN/AD बन जाता है।
6. अतः, AM/AB = AN/AD सिद्ध हुआ।
उत्तर: AM/AB = AN/AD
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प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 4
चित्र 6.19 में, DE ∥ AC और DF ∥ AE है। सिद्ध करें कि BF/FE = BE/EC।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. D, AB पर और E, BC पर स्थित है (चित्र 6.19)।
2. △ABC में, DE ∥ AC है, इसलिए मूल अनुपात प्रमेय के अनुसार, BD/DA = BE/EC।
  क्यों?
  त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय); इसका विलोम भी सत्य है।
3. △ABE में, DF ∥ AE है, इसलिए उसी प्रमेय के अनुसार, BD/DA = BF/FE।
4. दोनों अनुपात BD/DA के बराबर हैं, इसलिए BF/FE = BE/EC।
उत्तर: BF/FE = BE/EC (दोनों BD/DA के बराबर हैं)।
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प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 5
चित्र 6.20 में, DE ∥ OQ और DF ∥ OR है। दिखाएं कि EF ∥ QR है।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. D, OP पर, E, PQ पर और F, PR पर स्थित है (चित्र 6.20)।
2. △POQ में, DE ∥ OQ है, इसलिए मूल अनुपात प्रमेय के अनुसार, PE/EQ = PD/DO।
  क्यों?
  त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय); इसका विलोम भी सत्य है।
3. △POR में, DF ∥ OR है, इसलिए PF/FR = PD/DO।
4. अतः PE/EQ = PF/FR: △PQR में, रेखा EF, PQ और PR को समान अनुपात में विभाजित करती है।
5. मूल अनुपात प्रमेय के प्रतिलोम के अनुसार, EF ∥ QR।
  क्यों?
  त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय); इसका विलोम भी सत्य है।
उत्तर: EF ∥ QR।
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प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 6
चित्र 6.21 में, A, B, C क्रमशः OP, OQ, OR पर स्थित हैं, जहाँ AB ∥ PQ और AC ∥ PR है। दिखाइए कि BC ∥ QR है।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. △OPQ में, AB ∥ PQ, इसलिए मूल अनुपात प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के अनुसार, OA/AP = OB/BQ है।
  क्यों?
  त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय); इसका विलोम भी सत्य है।
2. △OPR में, AC ∥ PR, इसलिए OA/AP = OC/CR है।
3. अतः OB/BQ = OC/CR: △OQR में, BC भुजाओं OQ और OR को समान अनुपात में विभाजित करता है।
4. मूल अनुपात प्रमेय के प्रतिलोम (Converse) के अनुसार, BC ∥ QR है।
  क्यों?
  त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय); इसका विलोम भी सत्य है।
उत्तर: BC ∥ QR.
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प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 7
मूल अनुपात प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की एक भुजा के मध्य बिंदु से गुजरने वाली और दूसरी भुजा के समानांतर रेखा, तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
1. मान लीजिए △ABC एक त्रिभुज है, जहाँ D भुजा AB का मध्य बिंदु है।
2. D से भुजा BC के समानांतर एक रेखा खींची जाती है, जो भुजा AC को बिंदु E पर काटती है।
3. मूल अनुपात प्रमेय के अनुसार, चूँकि DE ∥ BC है, इसलिए अनुपात AD/DB, AE/EC के बराबर है।
  क्यों?
  त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय); इसका विलोम भी सत्य है।
4. चूँकि D, AB का मध्य बिंदु है, इसलिए AD की लंबाई DB की लंबाई के बराबर है।
5. अतः, अनुपात AD/DB, 1 के बराबर है।
6. इस मान को अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर AE/EC = 1 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
7. इसका अर्थ है कि AE की लंबाई EC की लंबाई के बराबर है।
8. अतः, E भुजा AC का मध्य बिंदु है, जिससे सिद्ध होता है कि रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
उत्तर: एक भुजा के मध्य बिंदु से गुजरने वाली और दूसरी भुजा के समानांतर रेखा, तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
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प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 8
मूल अनुपात प्रमेय (Basic Proportionality Theorem) के प्रतिलोम (Converse) का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा, तीसरी भुजा के समानांतर होती है।
1. मान लीजिए ABC एक त्रिभुज है, जहाँ D भुजा AB का मध्य बिंदु है और E भुजा AC का मध्य बिंदु है।
2. चूँकि D, AB का मध्य बिंदु है, इसलिए अनुपात AD/DB, 1 के बराबर है।
3. चूँकि E, AC का मध्य बिंदु है, इसलिए अनुपात AE/EC, 1 के बराबर है।
4. अतः, अनुपात AD/DB, अनुपात AE/EC के बराबर है।
5. मूल अनुपात प्रमेय के प्रतिलोम के अनुसार, यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है।
  क्यों?
  त्रिभुज की एक भुजा के समांतर खींची गई रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय); इसका विलोम भी सत्य है।
6. अतः, रेखाखंड DE, भुजा BC के समानांतर है।
उत्तर: DE ∥ BC
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प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 9
ABCD एक समलंब चतुर्भुज (trapezium) है जिसमें AB ∥ DC है और जिसके विकर्ण O पर मिलते हैं। दिखाइए कि AO/BO = CO/DO है।
1. त्रिभुज AOB और COD पर विचार करें।
2. चूँकि AB, DC के समानांतर है, इसलिए वैकल्पिक अंतर्कोण (alternate interior angles) बराबर होते हैं, अतः ∠OAB = ∠OCD और ∠OBA = ∠ODC।
3. O पर शीर्षक अंतर्कोण (vertically opposite angles) बराबर होते हैं, अतः ∠AOB = ∠COD।
4. AAA समरूपता मानदंड (similarity criterion) के अनुसार, △AOB, △COD के समरूप है।
  क्यों?
  समरूप त्रिभुजों में संगत कोण बराबर होते हैं और संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होती हैं, इसलिए एक ज्ञात अनुपात से अज्ञात भुजा मिल जाती है। दो कोण बराबर (AA) हों तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
5. चूँकि त्रिभुज समरूप हैं, इसलिए उनके संगत भुजाओं के अनुपात बराबर होते हैं।
  क्यों?
  समरूप त्रिभुजों में संगत कोण बराबर होते हैं और संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होती हैं, इसलिए एक ज्ञात अनुपात से अज्ञात भुजा मिल जाती है। दो कोण बराबर (AA) हों तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
6. अतः, AO/CO = BO/DO।
7. इस अनुपात को पुनर्व्यवस्थित करने पर AO/BO = CO/DO प्राप्त होता है।
उत्तर: AO/BO = CO/DO
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प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 10
चतुर्भुज ABCD के विकर्ण O पर मिलते हैं, जहाँ AO/BO = CO/DO है। दिखाइए कि ABCD एक समलंब चतुर्भुज है।
1. दिया गया है कि चतुर्भुज ABCD में, विकर्ण AC और BD, O पर प्रतिच्छेद करते हैं, जहाँ AO/BO = CO/DO है।
2. हमें यह दिखाना है कि ABCD एक समलंब चतुर्भुज है, जिसका अर्थ है कि हमें साबित करना होगा कि एक जोड़ी विपरीत भुजाए समांतर हैं।
3. त्रिभुज AOB और COD पर विचार करें।
4. दिए गए AO/BO = CO/DO से पुनर्व्यवस्थित करने पर AO/CO = BO/DO प्राप्त होता है, और ∠AOB = ∠COD (लंब कोण)।
5. अतः, भुजा-कोण-भुजा (SAS) समरूपता मानदंड के अनुसार, त्रिभुज AOB, त्रिभुज COD के समरूप है।
  क्यों?
  समरूप त्रिभुजों में संगत कोण बराबर होते हैं और संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होती हैं, इसलिए एक ज्ञात अनुपात से अज्ञात भुजा मिल जाती है। दो कोण बराबर (AA) हों तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
6. चूँकि त्रिभुज समरूप हैं, उनके संगत कोण बराबर होते हैं, इसलिए कोण OAB = कोण OCD।
  क्यों?
  समरूप त्रिभुजों में संगत कोण बराबर होते हैं और संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होती हैं, इसलिए एक ज्ञात अनुपात से अज्ञात भुजा मिल जाती है। दो कोण बराबर (AA) हों तो त्रिभुज समरूप होते हैं।
7. ये विकर्ण AC द्वारा रेखाओं AB और CD को काटने पर बने वैकल्पिक आंतरिक कोण हैं।
8. चूँकि वैकल्पिक आंतरिक कोण बराबर हैं, इसलिए AB, CD के समांतर है।
9. जिस चतुर्भुज में कम से कम एक जोड़ी समांतर भुजाएँ होती हैं, उसे समलंब चतुर्भुज कहते हैं।
10. अतः, ABCD एक समलंब चतुर्भुज है।
उत्तर: ABCD एक समलंब चतुर्भुज है।
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प्रश्नावली 6.1 — 3 questions
Exercise 6.3 — 16 questions

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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 6.2 के हल (Triangles)

प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 1

प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 2

प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 3

प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 4

प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 5

प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 6

प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 7

प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 8

प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 9

प्रश्नावली 6.2 प्रश्न 10