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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 3.2 के हल (Pair of Linear Equations in Two Variables)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

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How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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प्रश्नावली 3.2 प्रश्न 1
प्रतिस्थापन विधि से हल करें: (i) x + y = 14, x − y = 4 (ii) s − t = 3, s/3 + t/2 = 6 (iii) 3x − y = 3, 9x − 3y = 9 (iv) 0.2x + 0.3y = 1.3, 0.4x + 0.5y = 2.3 (v) √2x + √3y = 0, √3x − √8y = 0 (vi) 3x/2 − 5y/3 = −2, x/3 + y/2 = 13/6।
1. (i) x − y = 4 से, x = y + 4। x + y = 14 में प्रतिस्थापित करने पर: 2y + 4 = 14, अतः y = 5 और x = 9।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
2. (ii) s − t = 3 से, s = t + 3। s/3 + t/2 = 6 में प्रतिस्थापित करने और 6 से गुणा करने पर: 2(t + 3) + 3t = 36, अतः 5t = 30, t = 6 और s = 9।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
3. (iii) 3x − y = 3 से, y = 3x − 3। 9x − 3y = 9 में प्रतिस्थापित करने पर: 9x − 9x + 9 = 9, जो हर x के लिए सत्य है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
4. (iii) अतः दोनों समीकरण एक ही रेखा का वर्णन करते हैं: अनंत हल हैं, सभी जोड़े जिनमें y = 3x − 3।
5. (iv) दोनों समीकरणों को 10 से गुणा करें: 2x + 3y = 13 और 4x + 5y = 23। पहले समीकरण से, x = (13 − 3y)/2।
6. (iv) प्रतिस्थापित करने पर: 2(13 − 3y) + 5y = 23, अतः 26 − y = 23, y = 3 और x = (13 − 9)/2 = 2।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
7. (v) √2x + √3y = 0 से, x = −(√3/√2)y। √3x − √8y = 0 में प्रतिस्थापित करने पर: −(3/√2)y − 2√2y = 0।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
8. (v) √2 से गुणा करने पर: −3y − 4y = 0, अतः −7y = 0, y = 0 और तब x = 0।
9. (vi) भिन्नों को हटाएं: 3x/2 − 5y/3 = −2 से 9x − 10y = −12 प्राप्त होता है, और x/3 + y/2 = 13/6 से 2x + 3y = 13 प्राप्त होता है।
10. (vi) 2x + 3y = 13 से, x = (13 − 3y)/2। प्रतिस्थापित करने पर: 9(13 − 3y)/2 − 10y = −12, अतः 117 − 27y − 20y = −24, 47y = 141, y = 3 और x = 2।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
उत्तर: (i) x = 9, y = 5; (ii) s = 9, t = 6; (iii) अनंत हल (y = 3x − 3); (iv) x = 2, y = 3; (v) x = 0, y = 0; (vi) x = 2, y = 3
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प्रश्नावली 3.2 प्रश्न 2
2x + 3y = 11 और 2x − 4y = −24 को हल करें, फिर y = mx + 3 के लिए m का मान ज्ञात करें।
1. x को हटाने के लिए पहले समीकरण से दूसरा समीकरण घटाएं: (2x + 3y) − (2x − 4y) = 11 − (−24)।
  क्यों?
  जब किसी चर का गुणांक दोनों समीकरणों में बराबर हो जाए, तो समीकरणों को जोड़ने या घटाने से वह चर हट जाता है और एक चर वाला एक समीकरण बचता है।
2. बाई ओर को सरल करने पर 7y और दाई ओर को सरल करने पर 35 प्राप्त होता है, अतः 7y = 35।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
3. 7 से भाग देने पर y = 5 प्राप्त होता है।
4. पहले समीकरण में y = 5 का मान रखें: 2x + 3(5) = 11।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
5. इसे 2x + 15 = 11 के रूप में सरल करें, फिर दोनों ओर से 15 घटाकर 2x = −4 प्राप्त करें।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
6. 2 से भाग देने पर x = −2 प्राप्त होता है।
7. समीकरण y = mx + 3 में x = −2 और y = 5 के मान रखें।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
8. इससे 5 = m(−2) + 3 प्राप्त होता है, जिसे सरल करने पर 2 = −2m होता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
9. −2 से भाग देने पर m = −1 प्राप्त होता है।
उत्तर: x = -2, y = 5, m = -1
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प्रश्नावली 3.2 प्रश्न 3
समीकरण बनाएं और प्रतिस्थापन विधि (substitution) द्वारा हल करें: (i) दो संख्याओं में 26 का अंतर है और एक संख्या दूसरी की तीन गुना है (ii) दो पूरक कोणों में से बड़ा कोण छोटे कोण से 18° अधिक है (iii) 7 बल्ले और 6 गेंदों की कीमत ₹3800 है, 3 बल्ले और 5 गेंदों की कीमत ₹1750 है (iv) टैक्सी: 10 किमी के लिए ₹105 और 15 किमी के लिए ₹155 — स्थिर शुल्क, प्रति किमी शुल्क, और 25 किमी के लिए किराया (v) एक भिन्न में अंश और हर में 2 जोड़ने पर 9/11 बन जाता है, और 3 जोड़ने पर 5/6 बन जाता है (vi) 5 वर्षों में जेकब की उम्र अपने पुत्र की उम्र की 3 गुना होगी; 5 वर्षों पहले वह 7 गुना था — वर्तमान उम्र।
1. (i) मान लें कि संख्याएँ x और y हैं। x − y = 26 और x = 3y। पहले समीकरण में x = 3y प्रतिस्थापित करने पर 3y − y = 26, अतः 2y = 26 और y = 13। तब x = 3 × 13 = 39।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
2. (ii) मान लें कि कोण x और y हैं। x + y = 180° और x − y = 18°। समीकरणों को जोड़ने पर 2x = 198°, अतः x = 99°। तब y = 180° − 99° = 81°।
3. (iii) मान लें कि एक बल्ले की कीमत x और एक गेंद की कीमत y है। 7x + 6y = 3800 और 3x + 5y = 1750। दूसरे समीकरण से, x = (1750 − 5y)/3। पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर 7(1750 − 5y)/3 + 6y = 3800। हल करने पर y = 50 और x = 500 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
4. (iv) मान लें कि स्थिर शुल्क x और प्रति किमी शुल्क y है। x + 10y = 105 और x + 15y = 155। दूसरे से पहले को घटाने पर 5y = 50, अतः y = 10। तब x = 105 − 10(10) = 5। 25 किमी के लिए किराया 5 + 25(10) = 255 होगा।
5. (v) मान लें कि भिन्न x/y है। (x + 2)/(y + 2) = 9/11 से 11x + 22 = 9y + 18, अतः 11x − 9y = −4; (x + 3)/(y + 3) = 5/6 से 6x + 18 = 5y + 15, अतः 6x − 5y = −3। दूसरे से, x = (5y − 3)/6; प्रतिस्थापित करने पर 11(5y − 3)/6 − 9y = −4, अतः 55y − 33 − 54y = −24 और y = 9, x = 7। भिन्न 7/9 है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. (vi) मान लें कि जेकब की वर्तमान उम्र x और उसके पुत्र की उम्र y है। x + 5 = 3(y + 5) और x − 5 = 7(y − 5)। सरल करने पर x − 3y = 10 और x − 7y = −30। पहले से दूसरे को घटाने पर 4y = 40, अतः y = 10। तब x = 3(10 + 5) − 5 = 40।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
उत्तर: (i) 39 और 13; (ii) 99° और 81°; (iii) बल्ला ₹500, गेंद ₹50; (iv) स्थिर शुल्क ₹5, प्रति किमी ₹10, 25 किमी के लिए ₹255; (v) 7/9; (vi) जेकब 40 वर्ष, पुत्र 10 वर्ष
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इस अध्याय की अन्य प्रश्नावलियाँ

प्रश्नावली 3.1 — 7 questions
प्रश्नावली 3.3 — 2 questions

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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 3.2 के हल (Pair of Linear Equations in Two Variables)

प्रश्नावली 3.2 प्रश्न 1

प्रश्नावली 3.2 प्रश्न 2

प्रश्नावली 3.2 प्रश्न 3