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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 7.1 के हल (Coordinate Geometry)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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प्रश्नावली 7.1 प्रश्न 1
(i) (2, 3) और (4, 1) के बीच की दूरी (ii) (−5, 7) और (−1, 3) के बीच की दूरी (iii) (a, b) और (−a, −b) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
1. (i) बिंदुओं (2, 3) और (4, 1) के लिए दूरी सूत्र d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) का उपयोग करें।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है: दोनों अंतर एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण।
2. (i) निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें: d = √((4 − 2)² + (1 − 3)²)।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
3. (i) वर्गमूल के अंदर के पदों को सरल करें: d = √(2² + (−2)²) = √(4 + 4)।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
4. (i) अंतिम मान की गणना करें: d = √8 = 2√2।
5. (ii) बिंदुओं (−5, 7) और (−1, 3) के लिए दूरी सूत्र लागू करें।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है: दोनों अंतर एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण।
6. (ii) निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें: d = √((−1 − (−5))² + (3 − 7)²)।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
7. (ii) अंतरों को सरल करें: d = √((−1 + 5)² + (−4)²) = √(4² + (−4)²)।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
8. (ii) अंतिम मान की गणना करें: d = √(16 + 16) = √32 = 4√2।
9. (iii) बिंदुओं (a, b) और (−a, −b) के लिए दूरी सूत्र का उपयोग करें।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है: दोनों अंतर एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण।
10. (iii) निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें: d = √((−a − a)² + (−b − b)²)।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
11. (iii) पदों को सरल करें: d = √((−2a)² + (−2b)²) = √(4a² + 4b²)।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
12. (iii) 4 को निकालें और सरल करें: d = √(4(a² + b²)) = 2√(a² + b²)।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
उत्तर: (i) 2√2; (ii) 4√2; (iii) 2√(a² + b²)
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प्रश्नावली 7.1 प्रश्न 2
(0, 0) और (36, 15) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए, और इस प्रकार अनुभाग 7.2 के शहरों A और B के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए (जो उन बिंदुओं पर स्थित हैं, किमी में)।
1. दोनों बिंदुओं के निर्देशांकों को (0, 0) और (36, 15) के रूप में पहचानें।
2. दूरी सूत्र d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) का उपयोग करें।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है: दोनों अंतर एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण।
3. सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करें: d = √((36 − 0)² + (15 − 0)²)।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
4. वर्गों की गणना करें: 36² = 1296 और 15² = 225।
5. परिणामों को जोड़ें: 1296 + 225 = 1521।
6. योग का वर्गमूल लें: √1521 = 39।
7. बिंदुओं के बीच की दूरी 39 इकाई है, जो शहरों के लिए 39 किमी के अनुरूप है।
उत्तर: 39 किमी
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प्रश्नावली 7.1 प्रश्न 3
क्या (1, 5), (2, 3) और (−2, −11) संरेख बिंदु हैं?
1. अनुभाग सूत्र का उपयोग करके वह अनुपात ज्ञात करें जिसमें (1, 5) और (2, 3) को जोड़ने वाली रेखा खंड बिंदु (−2, −11) द्वारा विभाजित होता है।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) को m : n में बाँटने वाला बिंदु ((mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n)) है — दोनों सिरों का भारित औसत।
2. मान लीजिए अनुपात k : 1 है। विभाजित बिंदु का x-निर्देशांक (k × 2 + 1 × 1) / (k + 1) द्वारा दिया गया है।
3. इसे तीसरे बिंदु के x-निर्देशांक के बराबर सेट करें: (2k + 1) / (k + 1) = −2।
4. k के लिए हल करने से 2k + 1 = −2k − 2 मिलता है, जो 4k = −3 में सरल होता है, इसलिए k = −3/4।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
5. अब इस अनुपात का उपयोग करके y-निर्देशांक की जांच करें। y-निर्देशांक (k × 3 + 1 × 5) / (k + 1) होना चाहिए।
6. y-निर्देशांक सूत्र में k = −3/4 को प्रतिस्थापित करें: ((−3/4) × 3 + 5) / (−3/4 + 1)।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
7. अंश की गणना करें: −9/4 + 20/4 = 11/4।
8. हर की गणना करें: −3/4 + 4/4 = 1/4।
9. अंश को हर से विभाजित करें: (11/4) ÷ (1/4) = 11।
10. परिकलित y-निर्देशांक 11 है, लेकिन बिंदु का दिया गया y-निर्देशांक −11 है।
11. चूंकि y-निर्देशांक मेल नहीं खाते, बिंदु रेखा खंड पर समान अनुपात में नहीं है।
12. इसलिए, ये तीनों बिंदु संरेख नहीं हैं।
उत्तर: संरेख नहीं हैं
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प्रश्नावली 7.1 प्रश्न 4
क्या (5, −2), (6, 4) और (7, −2) एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं?
1. मान लीजिए शीर्ष A(5, −2), B(6, 4), और C(7, −2) हैं।
2. दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजा AB की लंबाई की गणना करें: √[(6 − 5)² + (4 − (−2))²] = √[1² + 6²] = √(1 + 36) = √37।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है: दोनों अंतर एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण।
3. दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजा BC की लंबाई की गणना करें: √[(7 − 6)² + (−2 − 4)²] = √[1² + (−6)²] = √(1 + 36) = √37।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है: दोनों अंतर एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण।
4. दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजा AC की लंबाई की गणना करें: √[(7 − 5)² + (−2 − (−2))²] = √[2² + 0²] = √4 = 2।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है: दोनों अंतर एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण।
5. भुजाओं की लंबाई की तुलना करें: AB = √37, BC = √37, और AC = 2।
6. चूंकि AB = BC, त्रिभुज की दो भुजाएं बराबर हैं।
7. इसलिए, त्रिभुज समद्विबाहु है।
उत्तर: हां, √37
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प्रश्नावली 7.1 प्रश्न 5
चार मित्र A(3, 4), B(6, 7), C(9, 4) और D(6, 1) पर बैठे हैं (चित्र 7.8)। चम्पा कहती है कि ABCD एक वर्ग है; चमेली असहमत है। कौन सही है?
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. दूरी सूत्र का उपयोग करके भुजा AB की लंबाई की गणना करें: √((6−3)² + (7−4)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है: दोनों अंतर एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण।
2. भुजा BC की लंबाई की गणना करें: √((9−6)² + (4−7)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2।
3. भुजा CD की लंबाई की गणना करें: √((6−9)² + (1−4)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2।
4. भुजा DA की लंबाई की गणना करें: √((3−6)² + (4−1)²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2।
5. चूंकि सभी चार भुजाएँ लंबाई में बराबर हैं, चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।
6. विकर्ण AC की लंबाई की गणना करें: √((9−3)² + (4−4)²) = √(36 + 0) = √36 = 6।
7. विकर्ण BD की लंबाई की गणना करें: √((6−6)² + (1−7)²) = √(0 + 36) = √36 = 6।
8. चूंकि विकर्ण AC और BD लंबाई में बराबर हैं, समचतुर्भुज ABCD एक वर्ग है।
9. इसलिए, चम्पा सही है और चमेली गलत है।
उत्तर: चम्पा सही है; भुजा 3√2; विकर्ण 6
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प्रश्नावली 7.1 प्रश्न 6
चतुर्भुज का नाम बताएं, यदि कोई हो, जो निम्नलिखित द्वारा बनता है: (i) (−1, −2), (1, 0), (−1, 2), (−3, 0) (ii) (−3, 5), (3, 1), (0, 3), (−1, −4) (iii) (4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)।
1. (i) A(−1, −2), B(1, 0), C(−1, 2), D(−3, 0): AB² = 2² + 2² = 8, BC² = (−2)² + 2² = 8, CD² = (−2)² + (−2)² = 8, DA² = 2² + (−2)² = 8, तो सभी भुजाएँ √8 = 2√2 हैं।
2. (i) विकर्ण: AC² = 0² + 4² = 16 और BD² = (−4)² + 0² = 16, तो AC = BD = 4। समान भुजाएँ और समान विकर्ण: एक वर्ग।
3. (ii) A(−3, 5), B(3, 1), C(0, 3), D(−1, −4): AC² = 3² + (−2)² = 13, CB² = 3² + (−2)² = 13, AB² = 6² + (−4)² = 52।
4. (ii) तो AC = CB = √13 और AB = 2√13 = AC + CB: बिंदु A, C, B एक रेखा पर स्थित हैं। चारों बिंदुओं में से तीन समरैख हैं, इसलिए कोई चतुर्भुज नहीं बनता।
5. (iii) A(4, 5), B(7, 6), C(4, 3), D(1, 2): AB² = 3² + 1² = 10, BC² = (−3)² + (−3)² = 18, CD² = (−3)² + (−1)² = 10, DA² = 3² + 3² = 18।
6. (iii) सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं (AB = CD = √10, BC = DA = 3√2), और विकर्ण AC = 2 और BD = √52 असमान हैं, इसलिए यह एक समांतर चतुर्भुज है (आयत नहीं)।
उत्तर: (i) वर्ग; (ii) कोई चतुर्भुज नहीं (तीन बिंदु समरैख हैं); (iii) समांतर चतुर्भुज
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प्रश्नावली 7.1 प्रश्न 7
x-अक्ष पर वह बिंदु खोजें जो (2, −5) और (−2, 9) से समान दूरी पर है।
1. मान लीजिए कि x-अक्ष पर अभीष्ट बिंदु P(x, 0) है।
2. P से (2, −5) की दूरी √((x − 2)² + (0 + 5)²) है।
3. P से (−2, 9) की दूरी √((x + 2)² + (0 − 9)²) है।
4. चूंकि P दोनों बिंदुओं से समान दूरी पर है, हम दूरियों के वर्गों को बराबर करते हैं: (x − 2)² + 25 = (x + 2)² + 81।
5. दोनों पक्षों को विस्तृत करने पर x² − 4x + 4 + 25 = x² + 4x + 4 + 81।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
6. समीकरण को सरल करने पर x² − 4x + 29 = x² + 4x + 85।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
7. दोनों पक्षों से x² घटाने पर −4x + 29 = 4x + 85।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
8. पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर 8x = 29 − 85।
9. x के लिए हल करने पर 8x = −56, तो x = −7।
10. बिंदु के निर्देशांक (−7, 0) हैं।
उत्तर: (-7, 0)
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प्रश्नावली 7.1 प्रश्न 8
y खोजें यदि P(2, −3) और Q(10, y) के बीच की दूरी 10 इकाई है।
1. दूरी सूत्र का उपयोग करें: d = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है: दोनों अंतर एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण।
2. दिए गए बिंदु P(2, −3) और Q(10, y) और दूरी 10 को प्रतिस्थापित करें: 10 = √[(10 − 2)² + (y − (−3))²]।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
3. वर्गमूल के अंदर के व्यंजक को सरल करें: 10 = √[8² + (y + 3)²]।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
4. वर्गमूल को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करें: 100 = 64 + (y + 3)²।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
5. दोनों पक्षों से 64 घटाएं: (y + 3)² = 36।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
6. दोनों पक्षों का वर्गमूल लें: y + 3 = ±6।
  क्यों?
  यदि दो अऋणात्मक राशियाँ बराबर हैं तो उनके वर्गमूल भी बराबर हैं। वर्ग के दो मूल होते हैं, + और −; लंबाई या गिनती ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए वहाँ ऋणात्मक मूल छोड़ दिया जाता है।
7. जब y + 3 = 6 हो तो y के लिए हल करें: y = 3।
8. जब y + 3 = −6 हो तो y के लिए हल करें: y = −9।
उत्तर: y = 3 या y = -9
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प्रश्नावली 7.1 प्रश्न 9
Q(0, 1) बिंदु P(5, −3) और R(x, 6) से समान दूरी पर है। x, और दूरियाँ QR तथा PR ज्ञात कीजिए।
1. QP² = (5 − 0)² + (−3 − 1)² = 25 + 16 = 41।
2. Q, P और R से समान दूरी पर है, इसलिए QR² = 41: (x − 0)² + (6 − 1)² = 41, x² + 25 = 41, x² = 16, x = 4 या x = −4।
3. QR = QP = √41।
4. x = 4 के लिए, R = (4, 6): PR² = (4 − 5)² + (6 + 3)² = 1 + 81 = 82, इसलिए PR = √82।
5. x = −4 के लिए, R = (−4, 6): PR² = (−4 − 5)² + (6 + 3)² = 81 + 81 = 162, इसलिए PR = √162 = 9√2।
उत्तर: x = ±4; QR = √41; PR = √82 या 9√2
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प्रश्नावली 7.1 प्रश्न 10
x और y के बीच एक संबंध ज्ञात कीजिए ताकि बिंदु (x, y) बिंदु (3, 6) और (−3, 4) से समान दूरी पर हो।
1. दूरी सूत्र का उपयोग करके (x, y) से (3, 6) की दूरी को (x, y) से (−3, 4) की दूरी के बराबर सेट कीजिए।
  क्यों?
  (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²] है: दोनों अंतर एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं और दूरी उसका कर्ण।
2. समीकरण लिखिए: (x − 3)² + (y − 6)² = (x + 3)² + (y − 4)²।
3. दोनों पक्षों को विस्तृत कीजिए: x² − 6x + 9 + y² − 12y + 36 = x² + 6x + 9 + y² − 8y + 16।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
4. दोनों पक्षों से x² और y² को रद्द करके सरल कीजिए: −6x − 12y + 45 = 6x − 8y + 25।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
5. सभी पदों को एक पक्ष में ले जाइए: −12x − 4y + 20 = 0।
6. पूरी समीकरण को −4 से विभाजित करके सबसे सरल रूप प्राप्त कीजिए: 3x + y − 5 = 0।
उत्तर: 3x + y - 5 = 0
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