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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 5.4 के हल (Arithmetic Progressions)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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प्रश्नावली 5.4 प्रश्न 1
121, 117, 113, … श्रेणी का कौन सा पद इसका पहला ऋणात्मक पद है?
1. प्रथम पद a, 121 है और सार्व अंतर d, 117 - 121 = -4 है।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।
2. समांतर श्रेणी के nवें पद का सूत्र aₙ = a + (n - 1)d है।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।
3. मानों को प्रतिस्थापित करने पर aₙ = 121 + (n - 1)(-4) प्राप्त होता है।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।
4. व्यंजक को सरल करने पर aₙ = 121 - 4n + 4 = 125 - 4n प्राप्त होता है।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में हर पद में वही सार्व अंतर d जुड़ता है, इसलिए पहले पद a से nवें पद तक (n − 1) बार d जुड़ता है: aₙ = a + (n − 1)d।
5. पद के ऋणात्मक होने के लिए, हमें aₙ < 0 चाहिए, इसलिए 125 - 4n < 0।
6. असमिका को पुनर्व्यवस्थित करने पर 4n > 125 प्राप्त होता है।
7. 4 से विभाजित करने पर n > 31.25 प्राप्त होता है।
8. चूंकि n एक पूर्ण संख्या होनी चाहिए, 31.25 से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक 32 है।
उत्तर: 32वाँ पद
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प्रश्नावली 5.4 प्रश्न 2
एक समांतर श्रेणी के 3rd और 7th पद का योग 6 है और गुणनफल 8 है। पहले 16 पदों का योग खोजें।
1. पहला पद a और सामान्य अंतर d है।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।
2. 3rd पद a + 2d है और 7th पद a + 6d है।
3. उनका योग 6 दिया गया है, इसलिए (a + 2d) + (a + 6d) = 6।
4. सरल करने पर 2a + 8d = 6, जिसका अर्थ a + 4d = 3।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
5. उनका गुणनफल 8 दिया गया है, इसलिए (a + 2d)(a + 6d) = 8।
6. विस्तारित करने पर a² + 8ad + 12d² = 8।
  क्यों?
  विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
7. गुणनफल समीकरण में a = 3 - 4d को प्रतिस्थापित करें।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
8. (3 - 4d + 2d)(3 - 4d + 6d) = 8।
9. (3 - 2d)(3 + 2d) = 8।
10. 9 - 4d² = 8।
11. 4d² = 1, इसलिए d² = 1/4।
12. इसलिए d = 1/2 या d = -1/2।
13. स्थिति 1: यदि d = 1/2, तो a = 3 - 4(1/2) = 1।
14. पहले 16 पदों का योग S₁₆ = 16/2 [2(1) + 15(1/2)]।
  क्यों?
  Sₙ = n/2 × (पहला पद + अंतिम पद) = n/2 [2a + (n − 1)d]: पहले और अंतिम पद, दूसरे और उपांतिम पद, इसी तरह जोड़े बनाने पर हर जोड़े का योग बराबर आता है।
15. S₁₆ = 8 [2 + 7.5] = 8 × 9.5 = 76।
  क्यों?
  Sₙ = n/2 × (पहला पद + अंतिम पद) = n/2 [2a + (n − 1)d]: पहले और अंतिम पद, दूसरे और उपांतिम पद, इसी तरह जोड़े बनाने पर हर जोड़े का योग बराबर आता है।
16. स्थिति 2: यदि d = -1/2, तो a = 3 - 4(-1/2) = 5।
17. पहले 16 पदों का योग S₁₆ = 16/2 [2(5) + 15(-1/2)]।
  क्यों?
  Sₙ = n/2 × (पहला पद + अंतिम पद) = n/2 [2a + (n − 1)d]: पहले और अंतिम पद, दूसरे और उपांतिम पद, इसी तरह जोड़े बनाने पर हर जोड़े का योग बराबर आता है।
18. S₁₆ = 8 [10 - 7.5] = 8 × 2.5 = 20।
  क्यों?
  Sₙ = n/2 × (पहला पद + अंतिम पद) = n/2 [2a + (n − 1)d]: पहले और अंतिम पद, दूसरे और उपांतिम पद, इसी तरह जोड़े बनाने पर हर जोड़े का योग बराबर आता है।
उत्तर: 76 (जब d = 1/2), 20 (जब d = -1/2)
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प्रश्नावली 5.4 प्रश्न 3
एक सीढ़ी के डंडे 25 सेमी अलग हैं और नीचे 45 सेमी से शीर्ष पर 25 सेमी तक समान रूप से सिकुड़ते हैं; ऊपरी और निचले डंडे 2 1/2 मीटर अलग हैं। डंडों के लिए लकड़ी की कुल लंबाई ज्ञात कीजिए।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. निचले और ऊपरी डंडों के बीच की दूरी 2.5 मीटर है, जो 250 सेमी के बराबर है।
2. चूंकि डंडे 25 सेमी की दूरी पर हैं, अंतराल की संख्या 250 ÷ 25 = 10 है।
3. डंडों की कुल संख्या अंतराल की संख्या जमा एक है, इसलिए n = 10 + 1 = 11।
4. निचले डंडे की लंबाई a = 45 सेमी है और ऊपरी डंडे की लंबाई l = 25 सेमी है।
5. लंबाई एक समांतर श्रेणी बनाती हैं, इसलिए लकड़ी की कुल लंबाई इन 11 पदों का योग है।
6. योग सूत्र S = n/2 × (a + l) का उपयोग करते हुए, S = 11/2 × (45 + 25)।
  क्यों?
  Sₙ = n/2 × (पहला पद + अंतिम पद) = n/2 [2a + (n − 1)d]: पहले और अंतिम पद, दूसरे और उपांतिम पद, इसी तरह जोड़े बनाने पर हर जोड़े का योग बराबर आता है।
7. व्यंजक को सरल करने पर S = 11/2 × 70 मिलता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
8. अंतिम मान की गणना करने पर S = 11 × 35 = 385 सेमी मिलता है।
उत्तर: 385 सेमी
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प्रश्नावली 5.4 प्रश्न 4
घरों को एक पंक्ति में 1 से 49 तक संख्या दी गई है। दिखाइए कि एक ऐसा x मौजूद है जिसके लिए x से पहले के घर की संख्याओं का योग x के बाद के घर की संख्याओं के योग के बराबर है, और x को ज्ञात कीजिए।
1. 1 से 49 तक घर संख्याओं का कुल योग S = 49 × 50 ÷ 2 = 1225 है।
2. आवश्यक घर संख्या को x मानें।
3. x से पहले की संख्याओं का योग 1 + 2 + ... + (x − 1) = x(x − 1) ÷ 2 है।
4. x के बाद की संख्याओं का योग (x + 1) + ... + 49 = 1225 − x(x + 1) ÷ 2 है।
5. दोनों योगों को बराबर करने से x(x − 1) ÷ 2 = 1225 − x(x + 1) ÷ 2 मिलता है।
6. 2 से गुणा करने से x(x − 1) = 2450 − x(x + 1) मिलता है।
7. विस्तृत करने और सरलीकृत करने से 2x² = 2450 मिलता है, इसलिए x² = 1225 है।
  क्यों?
  विस्तार करने में एक कोष्ठक के हर पद को दूसरे कोष्ठक के हर पद से गुणा किया जाता है: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd।
8. धनात्मक वर्गमूल लेने से x = 35 मिलता है।
उत्तर: x = 35
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प्रश्नावली 5.4 प्रश्न 5
एक छत में 15 कंक्रीट सीढ़ियाँ हैं, प्रत्येक 50 m लंबी है, जिसमें 1/4 m की ऊंचाई और 1/2 m का ट्रेड है। कंक्रीट का कुल आयतन ज्ञात कीजिए।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. छत में 15 सीढ़ियाँ हैं, प्रत्येक 50 m लंबी है।
2. प्रत्येक सीढ़ी की ऊंचाई 1/4 m है और ट्रेड 1/2 m है।
3. पहली सीढ़ी का आयतन 50 × 1/4 × 1/2 = 6.25 m³ है।
4. दूसरी सीढ़ी का आयतन 50 × (2/4) × 1/2 = 12.5 m³ है।
5. तीसरी सीढ़ी का आयतन 50 × (3/4) × 1/2 = 18.75 m³ है।
6. 15 सीढ़ियों के आयतन एक समांतर श्रेणी बनाते हैं जिसका पहला पद 6.25 और सार्व अंतर 6.25 है।
  क्यों?
  समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।
7. आयतनों का योग S = n/2 × [2a + (n − 1)d] से दिया जाता है।
  क्यों?
  Sₙ = n/2 × (पहला पद + अंतिम पद) = n/2 [2a + (n − 1)d]: पहले और अंतिम पद, दूसरे और उपांतिम पद, इसी तरह जोड़े बनाने पर हर जोड़े का योग बराबर आता है।
8. मानों को प्रतिस्थापित करने से S = 15/2 × [2 × 6.25 + 14 × 6.25] मिलता है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
9. कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को सरलीकृत करने से 12.5 + 87.5 = 100 मिलता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
10. कुल आयतन 15/2 × 100 = 750 m³ है।
उत्तर: 750 m³
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इस अध्याय की अन्य प्रश्नावलियाँ

प्रश्नावली 5.1 — 4 questions
Exercise 5.2 — 20 questions
Exercise 5.3 — 20 questions

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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 5.4 के हल (Arithmetic Progressions)

प्रश्नावली 5.4 प्रश्न 1

प्रश्नावली 5.4 प्रश्न 2

प्रश्नावली 5.4 प्रश्न 3

प्रश्नावली 5.4 प्रश्न 4

प्रश्नावली 5.4 प्रश्न 5