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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 5.1 के हल (Arithmetic Progressions)

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

1. प्रश्नावली 5.1 प्रश्न 1

   क्या ये सूचियाँ एक AP (समकोशी) बनाती हैं? (i) प्रत्येक किमी के बाद टैक्सी किराया: पहले किमी के लिए ₹15, प्रत्येक अगले किमी के लिए ₹8 (ii) एक सिलिंडर में बचा हुआ हवा जब एक पंप हर बार शेष हवा का 1/4 निकाल लेता है (iii) प्रत्येक मीटर के बाद कुएँ खोदने की लागत: पहले मीटर के लिए ₹150, प्रत्येक मीटर पर ₹50 की वृद्धि (iv) खाते में हर साल पैसे जब ₹10000 पर 8% चक्रवृद्धि ब्याज लगता है।

   1. (i) पहला पद 15 है और सामान्य अंतर 8 है, इसलिए सूची 15, 23, 31, ... है जो एक AP बनाती है।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।

   2. (ii) पहले निकालने के बाद बची हुई हवा कुल का 3/4 है, और दूसरे के बाद कुल का 9/16 है, इसलिए अंतर स्थिर नहीं हैं और यह AP नहीं है।
   3. (iii) पहला पद 150 है और सामान्य अंतर 50 है, इसलिए सूची 150, 200, 250, ... है जो एक AP बनाती है।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।

   4. (iv) राशि पिछले वर्ष के बैलेंस के 8% से बढ़ती है, इसलिए अंतर हर साल बढ़ते हैं और यह AP नहीं है।
      क्यों?

      प्रतिशत का अर्थ है '100 में से', इसलिए किसी राशि का x% = (x / 100) × वह राशि।

   उत्तर: (i) एक AP; (ii) AP नहीं; (iii) एक AP; (iv) AP नहीं

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2. प्रश्नावली 5.1 प्रश्न 2

   AP के पहले चार पद लिखें: (i) a = 10, d = 10 (ii) a = −2, d = 0 (iii) a = 4, d = −3 (iv) a = −1, d = 1/2 (v) a = −1.25, d = −0.25.

   1. (i) पहला पद a = 10 है।
   2. (i) दूसरा पद a + d = 10 + 10 = 20 है।
   3. (i) तीसरा पद a + 2d = 10 + 20 = 30 है।
   4. (i) चौथा पद a + 3d = 10 + 30 = 40 है।
   5. (ii) पहला पद a = −2 है।
   6. (ii) दूसरा पद a + d = −2 + 0 = −2 है।
   7. (ii) तीसरा पद a + 2d = −2 + 0 = −2 है।
   8. (ii) चौथा पद a + 3d = −2 + 0 = −2 है।
   9. (iii) पहला पद a = 4 है।
   10. (iii) दूसरा पद a + d = 4 + (−3) = 1 है।
   11. (iii) तीसरा पद a + 2d = 4 + (−6) = −2 है।
   12. (iii) चौथा पद a + 3d = 4 + (−9) = −5 है।
   13. (iv) पहला पद a = −1 है।
   14. (iv) दूसरा पद a + d = −1 + 1/2 = −1/2 है।
   15. (iv) तीसरा पद a + 2d = −1 + 1 = 0 है।
   16. (iv) चौथा पद a + 3d = −1 + 3/2 = 1/2 है।
   17. (v) पहला पद a = −1.25 है।
   18. (v) दूसरा पद a + d = −1.25 + (−0.25) = −1.5 है।
   19. (v) तीसरा पद a + 2d = −1.25 + (−0.5) = −1.75 है।
   20. (v) चौथा पद a + 3d = −1.25 + (−0.75) = −2 है।

   उत्तर: (i) 10, 20, 30, 40; (ii) -2, -2, -2, -2; (iii) 4, 1, -2, -5; (iv) -1, -1/2, 0, 1/2; (v) -1.25, -1.5, -1.75, -2

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3. प्रश्नावली 5.1 प्रश्न 3

   पहला पद और सामान्य अंतर लिखें: (i) 3, 1, −1, −3, … (ii) −5, −1, 3, 7, … (iii) 1/3, 5/3, 9/3, 13/3, … (iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3.9, …

   1. (i) पहला पद a अनुक्रम का पहला संख्या है, जो 3 है।
   2. (i) सामान्य अंतर d को दूसरे पद से पहले पद को घटाकर निकाला जाता है: 1 − 3 = −2।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।

   3. (ii) पहला पद a अनुक्रम का पहला संख्या है, जो −5 है।
   4. (ii) सामान्य अंतर d को दूसरे पद से पहले पद को घटाकर निकाला जाता है: −1 − (−5) = −1 + 5 = 4।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।

   5. (iii) पहला पद a अनुक्रम का पहला संख्या है, जो 1/3 है।
   6. (iii) सामान्य अंतर d को दूसरे पद से पहले पद को घटाकर निकाला जाता है: 5/3 − 1/3 = 4/3।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।

   7. (iv) पहला पद a अनुक्रम का पहला संख्या है, जो 0.6 है।
   8. (iv) सामान्य अंतर d को दूसरे पद से पहले पद को घटाकर निकाला जाता है: 1.7 − 0.6 = 1.1।
      क्यों?

      समांतर श्रेढ़ी में किसी भी पद और उससे पहले वाले पद का अंतर हर जगह एक-सा होता है; यही स्थिर अंतर सार्व अंतर d = a₂ − a₁ है।

   उत्तर: (i) a = 3, d = -2; (ii) a = -5, d = 4; (iii) a = 1/3, d = 4/3; (iv) a = 0.6, d = 1.1

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4. प्रश्नावली 5.1 प्रश्न 4

   कौन से AP हैं? AP के लिए d और तीन और पद दें: (i) 2, 4, 8, 16 (ii) 2, 5/2, 3, 7/2 (iii) −1.2, −3.2, −5.2, −7.2 (iv) −10, −6, −2, 2 (v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2, 3 + 3√2 (vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 (vii) 0, −4, −8, −12 (viii) −1/2, −1/2, −1/2, −1/2 (ix) 1, 3, 9, 27 (x) a, 2a, 3a, 4a (xi) a, a², a³, a⁴ (xii) √2, √8, √18, √32 (xiii) √3, √6, √9, √12 (xiv) 1², 3², 5², 7² (xv) 1², 5², 7², 73.

   1. (i) 2, 4, 8, 16: अंतर हैं 4−2=2, 8−4=4, 16−8=8। चूंकि अंतर समान नहीं हैं, यह AP नहीं है।
   2. (ii) 2, 5/2, 3, 7/2: अंतर हैं 5/2−2=1/2, 3−5/2=1/2, 7/2−3=1/2। यह d = 1/2 के साथ एक AP है। अगले पद: 7/2+1/2=4, 4+1/2=9/2, 9/2+1/2=5।
   3. (iii) −1.2, −3.2, −5.2, −7.2: अंतर हैं −3.2−(−1.2)=−2, −5.2−(−3.2)=−2, −7.2−(−5.2)=−2। यह d = −2 के साथ एक AP है। अगले पद: −7.2−2=−9.2, −9.2−2=−11.2, −11.2−2=−13.2।
   4. (iv) −10, −6, −2, 2: अंतर हैं −6−(−10)=4, −2−(−6)=4, 2−(−2)=4। यह d = 4 के साथ एक AP है। अगले पद: 2+4=6, 6+4=10, 10+4=14।
   5. (v) 3, 3+√2, 3+2√2, 3+3√2: अंतर हैं (3+√2)−3=√2, (3+2√2)−(3+√2)=√2, (3+3√2)−(3+2√2)=√2। यह d = √2 के साथ एक AP है। अगले पद: 3+3√2+√2=3+4√2, 3+4√2+√2=3+5√2, 3+5√2+√2=3+6√2।
   6. (vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222: अंतर हैं 0.22−0.2=0.02, 0.222−0.22=0.002, 0.2222−0.222=0.0002। चूंकि अंतर समान नहीं हैं, यह AP नहीं है।
   7. (vii) 0, −4, −8, −12: अंतर हैं −4−0=−4, −8−(−4)=−4, −12−(−8)=−4। यह d = −4 के साथ एक AP है। अगले पद: −12−4=−16, −16−4=−20, −20−4=−24।
   8. (viii) −1/2, −1/2, −1/2, −1/2: अंतर हैं −1/2−(−1/2)=0, −1/2−(−1/2)=0, −1/2−(−1/2)=0। यह d = 0 के साथ एक AP है। अगले पद: −1/2, −1/2, −1/2।
   9. (ix) 1, 3, 9, 27: अंतर हैं 3−1=2, 9−3=6, 27−9=18। चूंकि अंतर समान नहीं हैं, यह AP नहीं है।
   10. (x) a, 2a, 3a, 4a: अंतर हैं 2a−a=a, 3a−2a=a, 4a−3a=a। यह d = a के साथ एक AP है। अगले पद: 4a+a=5a, 5a+a=6a, 6a+a=7a।
   11. (xi) a, a², a³, a⁴: अंतर हैं a²−a, a³−a², a⁴−a³। ये सामान्यतः समान नहीं होते हैं, इसलिए यह AP नहीं है।
   12. (xii) √2, √8, √18, √32: पदों को सरल करें: √2, 2√2, 3√2, 4√2। अंतर हैं 2√2−√2=√2, 3√2−2√2=√2, 4√2−3√2=√2। यह d = √2 के साथ एक AP है। अगले पद: 4√2+√2=5√2, 5√2+√2=6√2, 6√2+√2=7√2।
       क्यों?

       सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।

   13. (xiii) √3, √6, √9, √12: अंतर हैं √6−√3, √9−√6, √12−√9। ये समान नहीं हैं, इसलिए यह AP नहीं है।
   14. (xiv) 1², 3², 5², 7²: पद हैं 1, 9, 25, 49। अंतर हैं 9−1=8, 25−9=16, 49−25=24। चूंकि अंतर समान नहीं हैं, यह AP नहीं है।
   15. (xv) 1², 5², 7², 73: पद हैं 1, 25, 49, 73। अंतर हैं 25−1=24, 49−25=24, 73−49=24। यह d = 24 के साथ एक AP है। अगले पद: 73+24=97, 97+24=121, 121+24=145।

   उत्तर: (i) AP नहीं; (ii) d = 1/2; 4, 9/2, 5; (iii) d = -2; -9.2, -11.2, -13.2; (iv) d = 4; 6, 10, 14; (v) d = √2; 3 + 4√2, 3 + 5√2, 3 + 6√2; (vi) AP नहीं; (vii) d = -4; -16, -20, -24; (viii) d = 0; -1/2, -1/2, -1/2; (ix) AP नहीं; (x) d = a; 5a, 6a, 7a; (xi) AP नहीं; (xii) d = √2; 5√2, 6√2, 7√2; (xiii) AP नहीं; (xiv) AP नहीं; (xv) d = 24; 97, 121, 145

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