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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 9.1 के हल (Some Applications of Trigonometry)
AI-written, checked on 23 Oct 2026
Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं
मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026
ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।
How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.
Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.
किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।
किसी चरण पर अटके हैं?
इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 1
एक 20 m की रस्सी एक खड़ी खंभे के शीर्ष से जमीन तक कसी हुई दौड़ती है, जमीन के साथ 30° बनाती है। खंभे की ऊंचाई ज्ञात करें।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
- माना खंभे की ऊंचाई h m है।
- रस्सी 20 m लंबाई वाले एक समकोण त्रिभुज के कर्ण के रूप में कार्य करती है।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
- रस्सी और जमीन के बीच का कोण 30° है।
- साइन अनुपात का उपयोग करते हुए, sin 30° = विपरीत / कर्ण।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- मानों को प्रतिस्थापित करें: sin 30° = h / 20।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- हम जानते हैं कि sin 30° = 1/2।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- तो, 1/2 = h / 20।
- h के लिए हल करते हुए, h = 20 × 1/2।
- h = 10 m।
उत्तर: खंभे की ऊंचाई 10 m है।
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 2
एक पेड़ एक तूफान में टूट जाता है; शीर्ष जमीन को पैर से 8 m दूर छूता है, टूटा हुआ हिस्सा जमीन के साथ 30° बनाता है। पेड़ की मूल ऊंचाई ज्ञात करें।
- माना पेड़ बिंदु B पर टूटता है, शीर्ष बिंदु C पर जमीन को छूता है और पैर बिंदु A पर है।
- टूटा हुआ भाग BC जमीन AC के साथ 30° का कोण बनाता है।
- समकोण त्रिभुज ABC में, tan(30°) = AB / AC।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: tan(30°) = AB / 8।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- हम जानते हैं कि tan(30°) = 1/√3।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- तो, 1/√3 = AB / 8।
- AB के लिए हल करते हुए, हमें AB = 8/√3 प्राप्त होता है।
- हर को तर्कसंगत बनाते हुए, AB = 8√3 / 3।
क्यों?
भिन्न के अंश और हर को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता। संयुग्मी (a + √b के लिए a − √b) से गुणा करने पर हर से मूल हट जाता है, क्योंकि (a + √b)(a − √b) = a² − b।
- अब, sec(30°) = BC / AC का उपयोग करके टूटे हुए हिस्से BC की लंबाई ज्ञात करें।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- हम जानते हैं कि sec(30°) = 2/√3।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- तो, 2/√3 = BC / 8।
- BC के लिए हल करते हुए, हमें BC = 16/√3 प्राप्त होता है।
- हर को तर्कसंगत बनाते हुए, BC = 16√3 / 3।
क्यों?
भिन्न के अंश और हर को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता। संयुग्मी (a + √b के लिए a − √b) से गुणा करने पर हर से मूल हट जाता है, क्योंकि (a + √b)(a − √b) = a² − b।
- पेड़ की मूल ऊंचाई AB और BC का योग है।
- मूल ऊंचाई = AB + BC = 8√3/3 + 16√3/3।
- मूल ऊंचाई = 24√3/3 = 8√3 m।
उत्तर: 8√3 m
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 3
छोटे बच्चों के लिए एक स्लाइड का शीर्ष 1.5 m ऊंचा है और यह जमीन के साथ 30° पर है; बड़े बच्चों के लिए एक स्लाइड 3 m ऊंची है और 60° पर है। प्रत्येक स्लाइड की लंबाई ज्ञात करें।
- छोटे बच्चों के लिए स्लाइड के लिए, ऊंचाई 1.5 m है और जमीन के साथ कोण 30° है।
- माना इस स्लाइड की लंबाई L₁ है।
- साइन अनुपात का उपयोग करते हुए, sin 30° = ऊंचाई / लंबाई = 1.5 / L₁।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- sin 30° = 1/2 का मान प्रतिस्थापित करते हुए, हमें 1/2 = 1.5 / L₁ मिलता है।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- L₁ के लिए हल करते हुए, हमें L₁ = 1.5 × 2 = 3 m मिलता है।
- बड़े बच्चों के लिए स्लाइड के लिए, ऊंचाई 3 m है और जमीन के साथ कोण 60° है।
- माना इस स्लाइड की लंबाई L₂ है।
- साइन अनुपात का उपयोग करते हुए, sin 60° = ऊंचाई / लंबाई = 3 / L₂।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- sin 60° = √3/2 का मान प्रतिस्थापित करते हुए, हमें √3/2 = 3 / L₂ मिलता है।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- L₂ के लिए हल करते हुए, हमें L₂ = 3 × 2 / √3 = 6 / √3 मिलता है।
- हर को तर्कसंगत बनाते हुए, L₂ = (6√3) / 3 = 2√3 m।
क्यों?
भिन्न के अंश और हर को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता। संयुग्मी (a + √b के लिए a − √b) से गुणा करने पर हर से मूल हट जाता है, क्योंकि (a + √b)(a − √b) = a² − b।
उत्तर: छोटे बच्चों के लिए स्लाइड की लंबाई = 3 m; बड़े बच्चों के लिए स्लाइड की लंबाई = 2√3 m
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 4
एक टावर के पैर से 30 m दूर एक बिंदु से, इसके शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है। टावर की ऊंचाई ज्ञात करें।
- माना टावर की ऊंचाई h मीटर है और टावर के पैर से प्रेक्षण बिंदु की दूरी 30 m है।
- टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है।
- टावर, जमीन और दृष्टि रेखा द्वारा बनाए गए समकोण त्रिभुज में, tan 30° = h / 30।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- समीकरण में tan 30° का मान जो 1/√3 है, को प्रतिस्थापित करें: 1/√3 = h / 30।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- दोनों ओर को 30 से गुणा करके h के लिए हल करें: h = 30 / √3।
क्यों?
समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
- अंश और हर को √3 से गुणा करके हर को तर्कसंगत बनाएं: h = (30 × √3) / (√3 × √3)।
क्यों?
भिन्न के अंश और हर को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता। संयुग्मी (a + √b के लिए a − √b) से गुणा करने पर हर से मूल हट जाता है, क्योंकि (a + √b)(a − √b) = a² − b।
- व्यंजक को सरल बनाएं: h = 30√3 / 3।
क्यों?
सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
- अंतिम मान की गणना करें: h = 10√3 m।
उत्तर: 10√3 m
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 5
एक पतंग जमीन से 60 मीटर की ऊंचाई पर उड़ती है और इसकी तनी हुई डोर जमीन से 60° का कोण बनाती है। डोर की लंबाई ज्ञात करें।
- डोर की लंबाई x मीटर हो।
- पतंग की ऊंचाई 60 मीटर है और जमीन से बनाया गया कोण 60° है।
- समकोण त्रिभुज में, sin 60° = लंब / कर्ण।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- मानों को प्रतिस्थापित करें: sin 60° = 60 / x।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- हम जानते हैं कि sin 60° = √3 / 2।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- इसलिए, √3 / 2 = 60 / x।
- क्रॉस-गुणा करने पर x√3 = 120 मिलता है।
क्यों?
यदि a/b = c/d (b और d शून्य नहीं), तो दोनों पक्षों को bd से गुणा करने पर ad = bc मिलता है — यह भी 'दोनों पक्षों पर एक ही काम' वाला नियम है।
- दोनों पक्षों को √3 से विभाजित करने पर x = 120 / √3 मिलता है।
क्यों?
समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
- अंश और हर को √3 से गुणा करके हर का परिमेयीकरण करें।
क्यों?
भिन्न के अंश और हर को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता। संयुग्मी (a + √b के लिए a − √b) से गुणा करने पर हर से मूल हट जाता है, क्योंकि (a + √b)(a − √b) = a² − b।
- x = (120 × √3) / (√3 × √3) = 120√3 / 3।
- भिन्न को सरल करने पर x = 40√3 मिलता है।
क्यों?
सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
उत्तर: 40√3 मीटर
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 6
1.5 m लंबा एक लड़का एक 30 m ऊंची इमारत की ओर चलता है और उसकी आँखों से इमारत के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° से 60° तक बढ़ जाता है। वह कितनी दूरी तक चला?
- लड़के से इमारत तक की प्रारंभिक दूरी को x m माना जाए।
- लड़के की आँखों से ऊपर इमारत की ऊंचाई 30 − 1.5 = 28.5 m है।
- पहली स्थिति में, tan 30° = 28.5 / x, इसलिए x = 28.5√3 m।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- चली गई दूरी को d m माना जाए, तो नई दूरी (x − d) m है।
- दूसरी स्थिति में, tan 60° = 28.5 / (x − d), इसलिए x − d = 28.5/√3 m।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- 28.5/√3 को सरल करने से 9.5√3 m मिलता है।
क्यों?
सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
- चली गई दूरी d = x − (x − d) = 28.5√3 − 9.5√3 है।
- अंतर की गणना करने से 19√3 m मिलता है।
उत्तर: 19√3 m
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 7
भूमि पर एक बिंदु से एक 20 m ऊंची इमारत पर बने ट्रांसमिशन टावर के आधार और शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः 45° और 60° हैं। टावर की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
- इमारत की ऊंचाई 20 m और टावर की ऊंचाई h m माना जाए।
- प्रेक्षण बिंदु से इमारत तक की क्षैतिज दूरी को x m माना जाए।
- प्रेक्षण बिंदु, इमारत के आधार और टावर के आधार से बने समकोण त्रिभुज में उन्नयन कोण 45° है।
- tan 45° = विपरीत / संलग्न का उपयोग करते हुए, हमारे पास 20 / x = 1 है, इसलिए x = 20 m।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- प्रेक्षण बिंदु, इमारत के आधार और टावर के शीर्ष से बने समकोण त्रिभुज में उन्नयन कोण 60° है।
- भूमि से टावर के शीर्ष तक की कुल ऊंचाई (20 + h) m है।
- tan 60° = विपरीत / संलग्न का उपयोग करते हुए, हमारे पास (20 + h) / 20 = √3 है।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- h के लिए हल करने से, हमें 20 + h = 20√3 मिलता है, इसलिए h = 20√3 − 20।
- 20 को बाहर निकालने से h = 20(√3 − 1) m मिलता है।
उत्तर: 20(√3 - 1) m
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 8
एक चबूतरे पर 1.6 m ऊंची मूर्ति खड़ी है। भूमि पर एक बिंदु से मूर्ति के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है और चबूतरे के शीर्ष का 45° है। चबूतरे की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
- चबूतरे की ऊंचाई को h m और भूमि पर बिंदु से चबूतरे के आधार तक की दूरी को x m माना जाए।
- भूमि से मूर्ति के शीर्ष तक की कुल ऊंचाई h + 1.6 m है।
- भूमि पर बिंदु, चबूतरे के आधार और मूर्ति के शीर्ष से बने समकोण त्रिभुज में, tan 60° = (h + 1.6) / x।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- चूंकि tan 60° = √3, हमारे पास √3 = (h + 1.6) / x है, जो x = (h + 1.6) / √3 देता है।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- भूमि पर बिंदु, चबूतरे के आधार और चबूतरे के शीर्ष से बने समकोण त्रिभुज में, tan 45° = h / x।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- चूंकि tan 45° = 1, हमारे पास 1 = h / x है, जो x = h देता है।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- x के दोनों व्यंजकों को बराबर करने से, हमें h = (h + 1.6) / √3 मिलता है।
- दोनों पक्षों को √3 से गुणा करने से √3 h = h + 1.6 मिलता है।
क्यों?
समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
- पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से √3 h − h = 1.6 मिलता है।
- h को बाहर निकालने से h(√3 − 1) = 1.6 मिलता है।
- h के लिए हल करने से h = 1.6 / (√3 − 1) मिलता है।
- अंश और हर को (√3 + 1) से गुणा करके हर को परिमेय बनाने से h = 1.6(√3 + 1) / ((√3 − 1)(√3 + 1)) मिलता है।
क्यों?
भिन्न के अंश और हर को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता। संयुग्मी (a + √b के लिए a − √b) से गुणा करने पर हर से मूल हट जाता है, क्योंकि (a + √b)(a − √b) = a² − b।
- हर (√3)² − 1² = 3 − 1 = 2 बन जाता है।
- इसलिए h = 1.6(√3 + 1) / 2 = 0.8(√3 + 1) m।
उत्तर: 0.8(√3 + 1) m
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 9
एक 50 m ऊंचे टावर के पाद से इमारत के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है, और इमारत के पाद से टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है। इमारत की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
- इमारत की ऊंचाई को h m और टावर तथा इमारत के बीच की दूरी को d m माना जाए।
- टावर के पाद से इमारत के शीर्ष तक का उन्नयन कोण 30° है, इसलिए tan 30° = h/d।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- यह 1/√3 = h/d देता है, जिसका अर्थ d = h√3 है।
- इमारत के पाद से टावर के शीर्ष तक का उन्नयन कोण 60° है, इसलिए tan 60° = 50/d।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- यह √3 = 50/d देता है, जिसका अर्थ d = 50/√3 है।
- d के दोनों व्यंजकों को बराबर करने से, हमें h√3 = 50/√3 मिलता है।
- दोनों पक्षों को √3 से गुणा करने से 3h = 50 मिलता है।
क्यों?
समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
- h के लिए हल करने से h = 50/3 मिलता है।
उत्तर: इमारत की ऊंचाई 50/3 m है।
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 10
एक 80 मीटर चौड़ी सड़क के दोनों ओर समान ऊंचाई वाले दो खंभे हैं। सड़क पर उनके बीच एक बिंदु से उनके शीर्षों के उन्नयन कोण 60° और 30° हैं। खंभों की ऊंचाई और उस बिंदु से उनकी दूरियां ज्ञात कीजिए।
- मान लीजिए प्रत्येक खंभे की ऊंचाई h मीटर है।
- प्रेक्षण बिंदु से पहले खंभे की दूरी x मीटर मान लीजिए।
- चूंकि सड़क 80 मीटर चौड़ी है, दूसरे खंभे की दूरी (80 − x) मीटर है।
- पहले खंभे द्वारा बनाए गए त्रिभुज में, tan 60° = h ÷ x, इसलिए h = x√3।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- दूसरे खंभे द्वारा बनाए गए त्रिभुज में, tan 30° = h ÷ (80 − x), इसलिए h = (80 − x) ÷ √3।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- h के दोनों व्यंजकों को बराबर करने से x√3 = (80 − x) ÷ √3 मिलता है।
- दोनों पक्षों को √3 से गुणा करने पर 3x = 80 − x मिलता है।
क्यों?
समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
- x के लिए हल करने पर 4x = 80, इसलिए x = 20 मीटर।
- h = x√3 में x = 20 प्रतिस्थापित करने पर h = 20√3 मीटर मिलता है।
क्यों?
अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
- दूसरे खंभे की दूरी 80 − 20 = 60 मीटर है।
उत्तर: खंभों की ऊंचाई = 20√3 मीटर; बिंदु से दूरियां = 20 मीटर और 60 मीटर
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 11
एक टीवी टॉवर नहर के एक किनारे पर खड़ा है। सीधे विपरीत बिंदु से इसके शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है; 20 मीटर आगे की ओर एक बिंदु से 30° है। टॉवर की ऊंचाई और नहर की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
- टॉवर की ऊंचाई h मीटर और नहर की चौड़ाई x मीटर मान लीजिए।
- टॉवर के सीधे विपरीत बिंदु से टॉवर के शीर्ष तक उन्नयन कोण 60° है।
- बनाए गए समकोण त्रिभुज में, tan 60° = h/x, इसलिए √3 = h/x, जिससे h = x√3 मिलता है।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- 20 मीटर आगे की ओर के बिंदु से टॉवर की दूरी (x + 20) मीटर है और उन्नयन कोण 30° है।
- इस त्रिभुज में, tan 30° = h/(x + 20), इसलिए 1/√3 = h/(x + 20)।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- समीकरण में h = x√3 प्रतिस्थापित करने पर 1/√3 = x√3/(x + 20) मिलता है।
क्यों?
अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
- क्रॉस-गुणा करने पर x + 20 = 3x मिलता है, जो 2x = 20 को सरल करता है, इसलिए x = 10 मीटर।
क्यों?
यदि a/b = c/d (b और d शून्य नहीं), तो दोनों पक्षों को bd से गुणा करने पर ad = bc मिलता है — यह भी 'दोनों पक्षों पर एक ही काम' वाला नियम है।
- h = x√3 में x = 10 प्रतिस्थापित करने पर h = 10√3 मीटर मिलता है।
क्यों?
अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
उत्तर: ऊंचाई 10√3 मीटर; चौड़ाई 10 मीटर
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 12
7 मीटर ऊंची एक इमारत के शीर्ष से केबल टॉवर के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है और इसके आधार का अवनमन कोण 45° है। टॉवर की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
- इमारत की ऊंचाई AB = 7 मीटर और टॉवर की ऊंचाई CD मान लीजिए।
- इमारत के शीर्ष A से एक क्षैतिज रेखा खींचिए जो टॉवर से बिंदु E पर मिले।
- चूंकि टॉवर के आधार का अवनमन कोण 45° है, कोण CAE 45° है।
- समकोण त्रिभुज ACE में, tan 45° = CE / AE।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- चूंकि tan 45° = 1, हमारे पास CE / AE = 1 है, जिसका अर्थ CE = AE है।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- चूंकि ABCE एक आयत है, CE इमारत की ऊंचाई AB के बराबर है, इसलिए CE = 7 मीटर।
- इसलिए, क्षैतिज दूरी AE भी 7 मीटर है।
- टॉवर के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है, इसलिए कोण DAE 60° है।
- समकोण त्रिभुज ADE में, tan 60° = DE / AE।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- मानों को प्रतिस्थापित करें: √3 = DE / 7।
क्यों?
अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
- DE के लिए हल करने पर DE = 7√3 मीटर मिलता है।
- टॉवर की कुल ऊंचाई CD, CE और DE का योग है।
- CD = 7 + 7√3 = 7(√3 + 1) मीटर।
उत्तर: 7(√3 + 1) मीटर
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 13
एक 75 मीटर ऊंचे प्रकाश स्तंभ के शीर्ष से समुद्र में एक ही ओर एक के पीछे एक दो जहाजों के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 45° हैं। जहाजों के बीच की दूरी ज्ञात करें।
- प्रकाश स्तंभ की ऊंचाई AB = 75 मीटर हो, जहां A शीर्ष पर है और B किनारे पर आधार है।
- दोनों जहाज पानी में बिंदु C और D पर हों, जहां C निकटतर जहाज है और D दूरस्थ जहाज है।
- निकटतर जहाज C के लिए अवनमन कोण 45° है, इसलिए C से A तक का उन्नयन कोण भी 45° है।
- समकोण त्रिभुज ABC में, tan 45° = AB / BC, जो 1 = 75 / BC देता है, इसलिए BC = 75 मीटर।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- दूरस्थ जहाज D के लिए अवनमन कोण 30° है, इसलिए D से A तक का उन्नयन कोण भी 30° है।
- समकोण त्रिभुज ABD में, tan 30° = AB / BD, जो 1/√3 = 75 / BD देता है, इसलिए BD = 75√3 मीटर।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- दोनों जहाजों के बीच की दूरी CD = BD - BC है।
- मानों को प्रतिस्थापित करने पर, CD = 75√3 - 75 = 75(√3 - 1) मीटर।
क्यों?
अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
उत्तर: 75(√3 - 1) मीटर
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 14
1.2 मीटर लंबी एक लड़की को 88.2 मीटर की ऊंचाई पर क्षैतिज रूप से गतिमान एक गुब्बारा दिखाई देता है; उसकी आंखों से उसका उन्नयन कोण 60° से 30° में परिवर्तित हो जाता है। गुब्बारे द्वारा तय की गई दूरी ज्ञात करें।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
- जमीन से गुब्बारे की ऊंचाई = 88.2 मीटर
- लड़की की आंखों से ऊपर गुब्बारे की ऊंचाई = 88.2 − 1.2 = 87 मीटर
- प्रारंभिक क्षैतिज दूरी x हो और अंतिम y हो
- tan 60° = 87/x, इसलिए √3 = 87/x, जिससे x = 87/√3 = 29√3 मीटर
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- tan 30° = 87/y, इसलिए 1/√3 = 87/y, जिससे y = 87√3 मीटर
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- तय की गई दूरी = y − x = 87√3 − 29√3 = 58√3 मीटर
उत्तर: 58√3 मीटर
प्रश्नावली 9.1 प्रश्न 15
एक मीनार के शीर्ष से सीधी सड़क पर आते हुए एक कार को 30° के अवनमन कोण पर देखा जाता है, और 6 सेकंड बाद 60° पर। समान गति से, मीनार के आधार तक पहुंचने में कितना समय लगेगा?
- मीनार की ऊंचाई h हो और पहली सर्वेक्षण के समय कार की दूरी मीनार के आधार से x हो।
- पहली सर्वेक्षण द्वारा बने समकोण त्रिभुज में, tan 30° = h/x, इसलिए h = x/√3।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- 6 सेकंड बाद, कार नजदीक आ गई है, और मीनार के आधार से नई दूरी x - d है, जहां d 6 सेकंड में तय की गई दूरी है।
- दूसरी सर्वेक्षण द्वारा बने समकोण त्रिभुज में, tan 60° = h/(x - d), इसलिए h = √3(x - d)।
क्यों?
समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
- h के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर x/√3 = √3(x - d) मिलता है।
- समीकरण को सरल करने पर x = 3x - 3d मिलता है, जो 2x = 3d देता है, इसलिए x = 1.5d।
क्यों?
सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
- कार की दूसरी स्थिति से मीनार के आधार तक की दूरी x - d = 1.5d - d = 0.5d है।
- चूंकि कार 6 सेकंड में दूरी d तय करती है, यह 3 सेकंड में 0.5d तय करेगी।
- इसलिए, दूसरी स्थिति से मीनार के आधार तक पहुंचने में लगा समय 3 सेकंड है।
उत्तर: 3 सेकंड
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