If you can't explain a concept simply, you don't understand it well enough — yet.

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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 14.1 के हल (Probability)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

किसी चरण पर अटके हैं?

इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 1
पूर्ण कीजिए: (i) P(E) + P(not E) = … (ii) एक घटना जो कभी नहीं हो सकती, उसकी प्रायिकता … होती है और इसे … कहते हैं। (iii) एक घटना जो निश्चित रूप से होगी, उसकी प्रायिकता … होती है और इसे … कहते हैं। (iv) सभी मूल घटनाओं की प्रायिकताओं का योग … होता है। (v) प्रायिकता कम से कम … और अधिकतम … होती है।
1. (i) किसी घटना और उसके पूरक (complement) की प्रायिकता का योग हमेशा 1 होता है।
  क्यों?
  कोई घटना या तो घटती है या नहीं घटती, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1, और P(E नहीं) = 1 − P(E)।
2. (ii) एक घटना जो कभी नहीं हो सकती, उसकी प्रायिकता 0 होती है और इसे असंभव घटना (impossible event) कहते हैं।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
3. (iii) एक घटना जो निश्चित रूप से होगी, उसकी प्रायिकता 1 होती है और इसे निश्चित घटना (sure event) कहते हैं।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. (iv) नमूना स्थान (sample space) में सभी मूल घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
5. (v) किसी भी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच (सहित) होती है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 1; (ii) 0, असंभव घटना; (iii) 1, निश्चित घटना; (iv) 1; (v) 0, 1
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 2
किसमें समान संभावित परिणाम (equally likely outcomes) होते हैं? (i) एक कार चलती है या नहीं चलती (ii) एक खिलाड़ी बास्केटबॉल शॉट मारता है या चूकता है (iii) सही-गलत प्रश्न का उत्तर सही या गलत होता है (iv) पैदा होने वाला बच्चा लड़का या लड़की होता है।
1. (i) कार के चलने या न चलने का निर्णय यांत्रिक स्थिति पर निर्भर करता है, इसलिए परिणाम समान संभावित नहीं हैं।
2. (ii) खिलाड़ी के शॉट मारने या चूकने का निर्णय कौशल और स्थितियों पर निर्भर करता है, इसलिए परिणाम समान संभावित नहीं हैं।
3. (iii) सही-गलत प्रश्न के लिए, सही या गलत अनुमान लगाने की प्रायिकता प्रत्येक के लिए 1/2 होती है, इसलिए परिणाम समान संभावित हैं।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. (iv) बच्चे के लड़का या लड़की पैदा होने की प्रायिकता लगभग प्रत्येक के लिए 1/2 होती है, इसलिए परिणाम समान संभावित हैं।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) समान संभावित नहीं; (ii) समान संभावित नहीं; (iii) समान संभावित; (iv) समान संभावित
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 3
फुटबॉल मैच की शुरुआत में यह तय करने के लिए कि कौन सी टीम बॉल पाएगी, सिक्का फेंकना एक निष्पक्ष तरीका क्यों है?
1. सिक्के के दो अलग-अलग पहलू होते हैं: सिरा (heads) और नक्शा (tails)।
2. जब सिक्का फेंका जाता है, तो यह किसी भी पहलू पर उतरने की संभावना समान होती है।
3. इसका अर्थ है कि सिरा आने की प्रायिकता 1/2 है और नक्शा आने की प्रायिकता 1/2 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. चूंकि दोनों परिणामों की प्रायिकता समान है, इसलिए किसी भी टीम को दूसरी टीम पर कोई बढ़त नहीं होती।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
5. इसलिए, सिक्का फेंकना निर्णय लेने का एक निष्पद्ध तरीका है।
उत्तर: सिक्का फेंकना निष्पद्ध है क्योंकि सिरा और नक्शा आने की प्रायिकताएं समान हैं (प्रत्येक के लिए 1/2)।
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 4
किसी घटना की प्रायिकता कौन-सी नहीं हो सकती: (A) 2/3 (B) −1.5 (C) 15% (D) 0.7?
1. किसी भी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच (सहित) एक संख्या होनी चाहिए।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
2. विकल्प (A) 2/3 है, जो लगभग 0.67 है और 0 से 1 के दायरे में आता है।
3. विकल्प (C) 15% है, जो 0.15 के बराबर है और 0 से 1 के दायरे में आता है।
  क्यों?
  प्रतिशत का अर्थ है '100 में से', इसलिए किसी राशि का x% = (x / 100) × वह राशि।
4. विकल्प (D) 0.7 है, जो 0 से 1 के दायरे में आता है।
5. विकल्प (B) −1.5 है, जो 0 से कम है और इसलिए यह प्रायिकता नहीं हो सकती।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (B)
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 5
P(E) = 0.05 है। P(not E) ज्ञात कीजिए।
1. हम जानते हैं कि किसी घटना की प्रायिकता और उसके पूरक (complement) की प्रायिकता का योग 1 होता है।
  क्यों?
  कोई घटना या तो घटती है या नहीं घटती, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1, और P(E नहीं) = 1 − P(E)।
2. इसलिए, P(E) + P(not E) = 1।
  क्यों?
  कोई घटना या तो घटती है या नहीं घटती, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1, और P(E नहीं) = 1 − P(E)।
3. दिए गए मान P(E) = 0.05 को समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. 0.05 + P(not E) = 1।
  क्यों?
  कोई घटना या तो घटती है या नहीं घटती, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1, और P(E नहीं) = 1 − P(E)।
5. P(not E) ज्ञात करने के लिए दोनों पक्षों से 0.05 घटाएं।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
6. P(not E) = 1 - 0.05।
  क्यों?
  कोई घटना या तो घटती है या नहीं घटती, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1, और P(E नहीं) = 1 − P(E)।
7. P(not E) = 0.95।
  क्यों?
  कोई घटना या तो घटती है या नहीं घटती, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1, और P(E नहीं) = 1 − P(E)।
उत्तर: P(not E) = 0.95
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 6
एक थैली में केवल नींबू के मीठे (lemon candies) हैं। मालिनी बिना देखे एक मीठा निकालती है। ज्ञात कीजिए कि वह (i) नारंगी स्वाद वाली (orange flavoured) है (ii) नींबू स्वाद वाली (lemon flavoured) है, इसकी प्रायिकता।
1. (i) थैली में केवल नींबू के मीठे हैं, इसलिए नारंगी स्वाद वाले मीठों की संख्या 0 है।
2. (i) असंभव घटना (impossible event) की प्रायिकता 0 होती है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
3. (i) अतः, नारंगी स्वाद वाले मीठे निकालने की प्रायिकता 0 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. (ii) चूँकि थैली में केवल नींबू के मीठे हैं, इसलिए थैली में मौजूद हर मीठा नींबू स्वाद वाला है।
5. (ii) निश्चित घटना (sure event) की प्रायिकता 1 होती है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
6. (ii) अतः, नींबू स्वाद वाले मीठे निकालने की प्रायिकता 1 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 0; (ii) 1
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 7
एक समूह के 2 छात्रों के जन्मदिन का मिलान न होने की प्रायिकता 0.992 है। ज्ञात कीजिए कि उनके जन्मदिन के मिलान होने की प्रायिकता।
1. किसी घटना की प्रायिकता और उसके पूरक की प्रायिकता का योग 1 होता है।
  क्यों?
  कोई घटना या तो घटती है या नहीं घटती, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1, और P(E नहीं) = 1 − P(E)।
2. मान लें कि P(not sharing a birthday) = 0.992।
  क्यों?
  कोई घटना या तो घटती है या नहीं घटती, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1, और P(E नहीं) = 1 − P(E)।
3. उनके जन्मदिन के मिलान होने की प्रायिकता 1 − 0.992 है।
  क्यों?
  कोई घटना या तो घटती है या नहीं घटती, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1, और P(E नहीं) = 1 − P(E)।
4. 1 − 0.992 = 0.008।
उत्तर: 0.008
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 8
एक थैली में 3 लाल और 5 काले गेंदें हैं; एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। P(red) और P(not red) ज्ञात कीजिए।
1. थैली में गेंदों की कुल संख्या 3 + 5 = 8 है।
2. लाल गेंदों की संख्या 3 है।
3. लाल गेंद निकालने की प्रायिकता, लाल गेंदों की संख्या को कुल गेंदों से भाग देने पर प्राप्त होती है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. P(red) = 3/8।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
5. काली गेंदों की संख्या 5 है, जो लाल गेंद न निकलने की घटना को दर्शाती है।
6. लाल न होने वाली गेंद निकालने की प्रायिकता, काली गेंदों की संख्या को कुल गेंदों से भाग देने पर प्राप्त होती है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
7. P(not red) = 5/8।
  क्यों?
  कोई घटना या तो घटती है या नहीं घटती, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1, और P(E नहीं) = 1 − P(E)।
उत्तर: (i) 3/8; (ii) 5/8
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 9
एक डिब्बे में 5 लाल, 8 सफेद और 4 हरे रंग के मरबल हैं; एक मरबल यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। P(लाल), P(सफेद) और P(हरे से अलग) ज्ञात करें।
1. मरबल की कुल संख्या = 5 + 8 + 4 = 17
2. लाल मरबल की संख्या = 5
3. P(लाल) = लाल मरबल की संख्या / कुल मरबल = 5/17
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. सफेद मरबल की संख्या = 8
5. P(सफेद) = सफेद मरबल की संख्या / कुल मरबल = 8/17
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
6. हरे मरबल की संख्या = 4
7. P(हरे) = हरे मरबल की संख्या / कुल मरबल = 4/17
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
8. P(हरे से अलग) = 1 - P(हरे) = 1 - 4/17 = 13/17
  क्यों?
  कोई घटना या तो घटती है या नहीं घटती, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1, और P(E नहीं) = 1 − P(E)।
उत्तर: (i) 5/17; (ii) 8/17; (iii) 13/17
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 10
एक गुल्लक में सौ 50p के सिक्के, पचास ₹1 के, बीस ₹2 के और दस ₹5 के सिक्के हैं; एक सिक्का यादृच्छिक रूप से बाहर गिरता है। P(50p का सिक्का) और P(₹5 का सिक्का नहीं) ज्ञात कीजिए।
1. सिक्कों की कुल संख्या = 100 + 50 + 20 + 10 = 180।
2. 50p के सिक्कों की संख्या = 100।
3. P(50p का सिक्का) = 100/180 = 5/9।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. ₹5 के सिक्कों की संख्या = 10।
5. ऐसे सिक्कों की संख्या जो ₹5 नहीं हैं = 180 − 10 = 170।
6. P(₹5 का सिक्का नहीं) = 170/180 = 17/18।
  क्यों?
  कोई घटना या तो घटती है या नहीं घटती, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1, और P(E नहीं) = 1 − P(E)।
उत्तर: (i) 5/9; (ii) 17/18
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 11
एक टैंक में 5 नर और 8 मादा मछलियाँ हैं; एक को यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। ज्ञात कीजिए कि वह नर होने की प्रायिकता।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. टैंक में मछलियों की कुल संख्या नर और मादा मछलियों के योग के बराबर है, जो कि 5 + 8 = 13 है।
2. नर मछली चुनने के अनुकूल परिणामों की संख्या 5 है।
3. किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या को संभावित परिणामों की कुल संख्या से भाग देकर निकाली जाती है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. मानों को प्रतिस्थापित करने पर, प्रायिकता 5/13 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: 5/13
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 12
एक स्पिनर 1 से 8 में से किसी एक संख्या पर रुकता है, सभी संभावनाएं समान हैं। ज्ञात कीजिए कि वह संकेत करता है (i) 8 की ओर (ii) एक विषम संख्या की ओर (iii) 2 से बड़ी संख्या की ओर (iv) 9 से छोटी संख्या की ओर।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. स्पिनर के पास 8 समान संभावना वाले परिणाम हैं: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8।
2. संभावित परिणामों की कुल संख्या 8 है।
3. (i) 8 की ओर संकेत करने की घटना के लिए केवल 1 अनुकूल परिणाम है।
4. (i) प्रायिकता = 1/8।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
5. (ii) विषम संख्याएँ 1, 3, 5, 7 हैं, इसलिए 4 अनुकूल परिणाम हैं।
6. (ii) प्रायिकता = 4/8 = 1/2।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
7. (iii) 2 से बड़ी संख्याएँ 3, 4, 5, 6, 7, 8 हैं, इसलिए 6 अनुकूल परिणाम हैं।
8. (iii) प्रायिकता = 6/8 = 3/4।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
9. (iv) 1 से 8 तक की सभी संख्याएँ 9 से छोटी हैं, इसलिए 8 अनुकूल परिणाम हैं।
10. (iv) प्रायिकता = 8/8 = 1।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 1/8; (ii) 1/2; (iii) 3/4; (iv) 1
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 13
एक पासा एक बार फेंका जाता है। निम्नलिखित की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: (i) एक अभाज्य संख्या (ii) 2 और 6 के बीच एक संख्या (iii) एक विषम संख्या।
1. (i) जब एक पासा फेंका जाता है, तो संभावित परिणाम 1, 2, 3, 4, 5, 6 हैं, इसलिए कुल परिणाम = 6।
2. (i) पासे पर अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं, इसलिए अनुकूल परिणाम = 3।
3. (i) अभाज्य संख्या की प्रायिकता = 3/6 = 1/2।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. (ii) 2 और 6 के बीच की संख्याएँ 3, 4 और 5 हैं, इसलिए अनुकूल परिणाम = 3।
5. (ii) 2 और 6 के बीच एक संख्या की प्रायिकता = 3/6 = 1/2।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
6. (iii) पासे पर विषम संख्याएँ 1, 3 और 5 हैं, इसलिए अनुकूल परिणाम = 3।
7. (iii) विषम संख्या की प्रायिकता = 3/6 = 1/2।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 1/2; (ii) 1/2; (iii) 1/2
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 14
52 कार्डों की एक अच्छी तरह से शफल की गई गड्डी से एक कार्ड निकाला जाता है। निम्नलिखित की प्रायिकता ज्ञात कीजिए: (i) एक लाल बादशाह (ii) एक फेस कार्ड (iii) एक लाल फेस कार्ड (iv) हृदय का जैक (v) एक हुकुम (vi) हीरों की रानी।
1. एक गड्डी में 52 समान रूप से संभावित कार्ड होते हैं: 4 सूट (हृदय और हीरे लाल हैं; क्लब और हुकुम काले हैं) जिनमें से प्रत्येक में 13 कार्ड हैं।
2. (i) लाल बादशाह: हृदय का बादशाह और हीरों का बादशाह, 2 कार्ड। P = 2/52 = 1/26।
3. (ii) फेस कार्ड प्रत्येक सूट के जैक, रानी और बादशाह हैं: 3 × 4 = 12 कार्ड। P = 12/52 = 3/13।
4. (iii) लाल फेस कार्ड: हृदय में 3 + हीरों में 3 = 6 कार्ड। P = 6/52 = 3/26।
5. (iv) हृदय का बिल्कुल एक जैक है। P = 1/52।
6. (v) 13 हुकुमें हैं। P = 13/52 = 1/4।
7. (vi) हीरों की बिल्कुल एक रानी है। P = 1/52।
उत्तर: (i) 1/26; (ii) 3/13; (iii) 3/26; (iv) 1/52; (v) 1/4; (vi) 1/52
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 15
हीरों के 10, J, Q, K और A को उलटा करके शफल किया जाता है और एक को चुना जाता है। (i) P(रानी) ज्ञात कीजिए। (ii) यदि रानी को अलग रख दिया जाए, तो अगले कार्ड की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह (a) एक इक्का है (b) एक रानी है।
1. (i) कुल में 5 कार्ड हैं: हीरों के 10, J, Q, K, A।
2. (i) इन कार्डों में से केवल एक रानी है।
3. (i) रानी चुनने की प्रायिकता 1/5 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. (ii) रानी को हटा दिया जाता है, इसलिए 4 कार्ड बचते हैं: 10, J, K, A।
5. (a) शेष कार्डों में से केवल एक इक्का है।
6. (a) इक्का चुनने की प्रायिकता 1/4 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
7. (b) चूँकि रानी पहले ही हटा दी गई है, इसलिए कोई रानी नहीं बची है।
8. (b) रानी चुनने की प्रायिकता 0 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 1/5; (a) 1/4; (b) 0
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 16
12 खराब पेन 132 अच्छे पेन के साथ मिलाए गए हैं; एक को यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। इसके अच्छा होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
1. पेन की कुल संख्या = 12 खराब + 132 अच्छे = 144
2. अच्छे पेन की संख्या = 132
3. अच्छा पेन निकालने की प्रायिकता = (अच्छे पेन की संख्या) / (पेन की कुल संख्या)
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. प्रायिकता = 132 / 144
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
5. अंश और हर को 12 से विभाजित करके भिन्न को सरल करने पर 11/12 मिलता है
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
उत्तर: 11/12
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 17
(i) 20 बल्बों में से 4 खराब हैं; यादृच्छिक रूप से निकाले गए एक बल्ब के लिए P(खराब) ज्ञात कीजिए। (ii) यदि वह बल्ब अच्छा था और वापस नहीं किया गया, तो अगले निकाले गए बल्ब के खराब न होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
1. (i) बल्बों की कुल संख्या = 20।
2. (i) खराब बल्बों की संख्या = 4।
3. (i) खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = खराब बल्बों की संख्या / बल्बों की कुल संख्या।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
4. (i) P(खराब) = 4/20 = 1/5।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
5. (ii) पहला निकाला गया बल्ब अच्छा था और वापस नहीं किया गया।
6. (ii) शेष कुल बल्ब = 20 - 1 = 19।
7. (ii) शेष खराब बल्बों की संख्या = 4।
8. (ii) शेष अच्छे बल्बों की संख्या = 19 - 4 = 15।
9. (ii) खराब न होने वाला बल्ब निकालने की प्रायिकता = शेष अच्छे बल्बों की संख्या / शेष कुल बल्ब।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
10. (ii) P(खराब नहीं) = 15/19।
  क्यों?
  कोई घटना या तो घटती है या नहीं घटती, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1, और P(E नहीं) = 1 − P(E)।
उत्तर: (i) 1/5; (ii) 15/19
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 18
1 से 90 तक संख्या वाली डिस्क; एक को यादृच्छिक रूप से निकाला जाता है। निम्नलिखित की प्रायिकता ज्ञात कीजिए (i) दो अंकों की संख्या (ii) एक पूर्ण वर्ग (iii) 5 से विभाज्य संख्या।
1. डिस्क की कुल संख्या 90 है, इसलिए कुल परिणाम n(S) = 90।
2. (i) दो अंकों की संख्याएं 10 से 90 तक होती हैं।
3. दो अंकों की डिस्क की संख्या = 90 − 9 = 81।
4. दो अंकों की संख्या की प्रायिकता = 81/90 = 9/10।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
5. (ii) 1 से 90 के बीच पूर्ण वर्ग 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64 और 81 हैं।
6. 9 पूर्ण वर्ग हैं।
7. पूर्ण वर्ग की प्रायिकता = 9/90 = 1/10।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
8. (iii) 5 से विभाज्य संख्याएं 5, 10, 15, ..., 90 हैं।
9. ऐसी डिस्क की संख्या = 90 ÷ 5 = 18।
10. 5 से विभाज्य संख्या की प्रायिकता = 18/90 = 1/5।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 9/10; (ii) 1/10; (iii) 1/5
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 19
एक बच्चे के पासे के फलक A, B, C, D, E, A हैं। एक बार फेंकने में P(A) और P(D) ज्ञात कीजिए।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. पासे के कुल 6 फलक होते हैं।
2. फलक A, B, C, D, E और A हैं।
3. फलक A पासे के 2 फलकों पर प्रकट होता है।
4. A मिलने की प्रायिकता = A वाले फलकों की संख्या ÷ कुल फलकों की संख्या।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
5. P(A) = 2 ÷ 6 = 1/3।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
6. फलक D पासे के 1 फलक पर प्रकट होता है।
7. D मिलने की प्रायिकता = D वाले फलकों की संख्या ÷ कुल फलकों की संख्या।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
8. P(D) = 1 ÷ 6 = 1/6।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 1/3; (ii) 1/6
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 20
एक पासा यादृच्छिक रूप से 3 m × 2 m आयत पर गिराया जाता है जिसमें 1 m व्यास का एक वृत्त है। इसके वृत्त के अंदर गिरने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. आयताकार क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल = 3 m × 2 m = 6 m²।
2. वृत्त का व्यास 1 m है, इसलिए इसकी त्रिज्या 1/2 m है।
3. वृत्त का क्षेत्रफल = π × (1/2)² = π/4 m²।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
4. पासा वृत्त के अंदर गिरने की प्रायिकता = वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात ÷ आयत के क्षेत्रफल।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
5. प्रायिकता = (π/4) / 6 = π/24।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: π/24
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 21
144 बॉल पेन में से 20 खराब हैं। Nuri यादृच्छिक रूप से निकाले गए पेन को केवल तभी खरीदती है जब वह अच्छा हो। P(वह खरीदती है) और P(वह नहीं खरीदती) ज्ञात कीजिए।
1. बॉल पेन की कुल संख्या = 144
2. खराब पेन की संख्या = 20
3. अच्छे पेन की संख्या = 144 − 20 = 124
4. P(Nuri पेन खरीदती है) = अच्छे पेन की संख्या ÷ कुल पेन = 124 ÷ 144
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
5. 124/144 को अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित करके सरल करने पर 31/36 मिलता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
6. P(Nuri पेन नहीं खरीदती है) = खराब पेन की संख्या ÷ कुल पेन = 20 ÷ 144
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
7. 20/144 को अंश और हर दोनों को 4 से विभाजित करके सरल करने पर 5/36 मिलता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
उत्तर: (i) 31/36; (ii) 5/36
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 22
दो पासे फेंके जाते हैं। (i) 2 से 12 तक के योगों की प्रायिकताओं की सारणी पूरी कीजिए। (ii) एक छात्र कहता है कि 11 योगों में से प्रत्येक की प्रायिकता 1/11 है। क्या आप सहमत हैं?
1. (i) दो पासे फेंकने पर कुल परिणाम = 6 × 6 = 36।
2. (i) योग 2: (1,1) → 1 परिणाम, P = 1/36।
3. (i) योग 3: (1,2),(2,1) → 2 परिणाम, P = 2/36।
4. (i) योग 4: (1,3),(2,2),(3,1) → 3 परिणाम, P = 3/36।
5. (i) योग 5: (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) → 4 परिणाम, P = 4/36।
6. (i) योग 6: (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1) → 5 परिणाम, P = 5/36।
7. (i) योग 7: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) → 6 परिणाम, P = 6/36।
8. (i) योग 8: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) → 5 परिणाम, P = 5/36।
9. (i) योग 9: (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) → 4 परिणाम, P = 4/36।
10. (i) योग 10: (4,6),(5,5),(6,4) → 3 परिणाम, P = 3/36।
11. (i) योग 11: (5,6),(6,5) → 2 परिणाम, P = 2/36।
12. (i) योग 12: (6,6) → 1 परिणाम, P = 1/36।
13. (ii) छात्र का दावा है कि प्रत्येक योग की प्रायिकता 1/11 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
14. (ii) सारणी से, प्रायिकताएं समान नहीं हैं (उदाहरण के लिए, P(योग=7) = 6/36 ≠ 1/11)।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
15. (ii) इसलिए, योग समसंभव नहीं हैं।
उत्तर: (i) 1/36, 2/36, 3/36, 4/36, 5/36, 6/36, 5/36, 4/36, 3/36, 2/36, 1/36; (ii) सहमत नहीं हैं
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 23
एक सिक्के को 3 बार उछाला जाता है; हनीफ जीतता है यदि तीनों परिणाम समान हों। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह हारता है।
1. जब एक सिक्के को 3 बार उछाला जाता है, तो संभावित परिणामों की कुल संख्या 2 × 2 × 2 = 8 है।
2. परिणाम हैं: HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT।
3. हनीफ जीतता है यदि तीनों परिणाम समान हों, जिसका अर्थ है कि परिणाम या तो HHH या TTT है।
4. इसलिए, हनीफ के जीतने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या 2 है।
5. हनीफ के जीतने की प्रायिकता 2/8 = 1/4 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
6. हनीफ के हारने की प्रायिकता 1 − P(जीतना) = 1 − 1/4 = 3/4 है।
  क्यों?
  कोई घटना या तो घटती है या नहीं घटती, इसलिए P(E) + P(E नहीं) = 1, और P(E नहीं) = 1 − P(E)।
उत्तर: 3/4
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 24
एक पासे को दो बार फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) 5 कोई भी बार नहीं आता है (ii) 5 कम से कम एक बार आता है।
1. जब एक पासे को दो बार फेंका जाता है, तो संभावित परिणामों की कुल संख्या 6 × 6 = 36 है।
2. (i) 5 न आने के लिए, प्रत्येक फेंक का परिणाम 1 से 4 या 6 तक कोई भी संख्या हो सकती है, जिससे प्रत्येक फेंक के लिए 5 विकल्प मिलते हैं।
3. 5 न आने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या 5 × 5 = 25 है।
4. 5 कोई भी बार न आने की प्रायिकता 25/36 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
5. (ii) घटना '5 कम से कम एक बार आता है' घटना '5 कोई भी बार नहीं आता है' का पूरक है।
6. 5 कम से कम एक बार आने के लिए अनुकूल परिणामों की संख्या 36 − 25 = 11 है।
7. 5 कम से कम एक बार आने की प्रायिकता 11/36 है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) 25/36; (ii) 11/36
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प्रश्नावली 14.1 प्रश्न 25
सही है या नहीं? (i) दो सिक्के उछाले जाने पर तीन परिणाम मिलते हैं (दोनों चित, दोनों पट, प्रत्येक में से एक), इसलिए प्रत्येक की प्रायिकता 1/3 है। (ii) एक पासे से विषम या सम संख्या मिलती है, इसलिए P(विषम) = 1/2।
1. (i) जब दो सिक्के उछाले जाते हैं, तो संभावित परिणाम HH, HT, TH और TT हैं।
2. (i) 3 नहीं, 4 समान रूप से संभावित परिणाम हैं।
3. (i) 'प्रत्येक में से एक' परिणाम में HT और TH दोनों शामिल हैं, इसलिए इसमें 2 परिणाम हैं।
4. (i) इसलिए, P(प्रत्येक में से एक) = 2/4 = 1/2, जबकि P(दोनों चित) = 1/4 और P(दोनों पट) = 1/4।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
5. (i) यह कथन कि प्रत्येक की प्रायिकता 1/3 है, गलत है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
6. (ii) एक पासे के 6 फलक हैं जिन पर 1, 2, 3, 4, 5, 6 संख्याएं हैं।
7. (ii) विषम संख्याएं 1, 3, 5 हैं (3 परिणाम) और सम संख्याएं 2, 4, 6 हैं (3 परिणाम)।
8. (ii) चूंकि 6 कुल समान रूप से संभावित परिणामों में से 3 विषम परिणाम हैं, P(विषम) = 3/6 = 1/2।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
9. (ii) यह कथन कि P(विषम) = 1/2 है, सही है।
  क्यों?
  किसी घटना की प्रायिकता = उसके अनुकूल परिणाम ÷ कुल समप्रायिक परिणाम। यह हमेशा 0 (असंभव) से 1 (निश्चित) के बीच होती है।
उत्तर: (i) गलत; (ii) सही
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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 14.1 के हल (Probability)

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