Toppers are not smarter. They are more consistent. Show up every day, even when you don't feel like it.

Home · Schooling · CBSE · Class 10 · Mathematics · Introduction to Trigonometry · प्रश्नावली 8.2

कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 8.2 के हल (Introduction to Trigonometry)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

किसी चरण पर अटके हैं?

इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें →📷 सवाल की फ़ोटो लें →

प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 1
मान निकालिए: (i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° (ii) 2 tan²45° + cos²30° − sin²60° (iii) cos 45°/(sec 30° + cosec 30°) (iv) (sin 30° + tan 45° − cosec 60°)/(sec 30° + cos 60° + cot 45°) (v) (5 cos²60° + 4 sec²30° − tan²45°)/(sin²30° + cos²30°)।
1. (i) मानों को प्रतिस्थापित करें: sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
2. (i) गणना करें: (√3/2 × √3/2) + (1/2 × 1/2) = 3/4 + 1/4 = 1।
3. (ii) मानों को प्रतिस्थापित करें: tan 45° = 1, cos 30° = √3/2, sin 60° = √3/2।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
4. (ii) गणना करें: 2(1)² + (√3/2)² − (√3/2)² = 2 + 3/4 − 3/4 = 2।
5. (iii) मानों को प्रतिस्थापित करें: cos 45° = 1/√2, sec 30° = 2/√3, cosec 30° = 2।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
6. (iii) हर को सरल करें: 2/√3 + 2 = (2 + 2√3)/√3।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
7. (iii) विभाजित करें: (1/√2) ÷ [(2 + 2√3)/√3] = √3 / [√2(2 + 2√3)]।
8. (iii) तर्कसंगत बनाएं और सरल करें (3√2 − √6)/8 प्राप्त करने के लिए।
  क्यों?
  भिन्न के अंश और हर को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता। संयुग्मी (a + √b के लिए a − √b) से गुणा करने पर हर से मूल हट जाता है, क्योंकि (a + √b)(a − √b) = a² − b।
9. (iv) मानों को प्रतिस्थापित करें: sin 30° = 1/2, tan 45° = 1, cosec 60° = 2/√3, sec 30° = 2/√3, cos 60° = 1/2, cot 45° = 1।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
10. (iv) अंश: 1/2 + 1 − 2/√3 = 3/2 − 2/√3 = (3√3 − 4)/(2√3)।
11. (iv) हर: 2/√3 + 1/2 + 1 = 2/√3 + 3/2 = (4 + 3√3)/(2√3)।
12. (iv) विभाजित करें और तर्कसंगत बनाएं (43 − 24√3)/11 प्राप्त करने के लिए।
  क्यों?
  भिन्न के अंश और हर को एक ही शून्येतर संख्या से गुणा करने पर उसका मान नहीं बदलता। संयुग्मी (a + √b के लिए a − √b) से गुणा करने पर हर से मूल हट जाता है, क्योंकि (a + √b)(a − √b) = a² − b।
13. (v) मानों को प्रतिस्थापित करें: cos 60° = 1/2, sec 30° = 2/√3, tan 45° = 1, sin 30° = 1/2।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
14. (v) अंश: 5(1/4) + 4(4/3) − 1 = 5/4 + 16/3 − 1 = 67/12।
15. (v) हर: (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1।
16. (v) परिणाम: (67/12) / 1 = 67/12।
उत्तर: (i) 1; (ii) 2; (iii) (3√2 - √6)/8; (iv) (43 - 24√3)/11; (v) 67/12
इस हल में गलती बताएँ
प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 2
चुनें और कारण बताएं: (i) 2 tan 30°/(1 + tan²30°) = sin 60°, cos 60°, tan 60° या sin 30°? (ii) (1 − tan²45°)/(1 + tan²45°) = tan 90°, 1, sin 45° या 0? (iii) sin 2A = 2 sin A जब A = 0°, 30°, 45° या 60°? (iv) 2 tan 30°/(1 − tan²30°) = cos 60°, sin 60°, tan 60° या sin 30°?
1. (i) व्यंजक 2 tan 30°/(1 + tan²30°) में tan 30° = 1/√3 प्रतिस्थापित करें।
  क्यों?
  sin²θ + cos²θ = 1 (कर्ण 1 वाले समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस)। इसे cos²θ से भाग देने पर 1 + tan²θ = sec²θ और sin²θ से भाग देने पर 1 + cot²θ = cosec²θ मिलता है।
2. (i) अंश 2/√3 बन जाता है और हर 1 + 1/3 = 4/3 बन जाता है।
3. (i) (2/√3) ÷ (4/3) को सरल करने पर 1/√3 × 3/4 = 3/(4√3) = √3/2 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
4. (i) चूंकि sin 60° = √3/2, सही विकल्प (A) है।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
5. (ii) व्यंजक (1 − tan²45°)/(1 + tan²45°) में tan 45° = 1 प्रतिस्थापित करें।
  क्यों?
  sin²θ + cos²θ = 1 (कर्ण 1 वाले समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस)। इसे cos²θ से भाग देने पर 1 + tan²θ = sec²θ और sin²θ से भाग देने पर 1 + cot²θ = cosec²θ मिलता है।
6. (ii) अंश 1 − 1 = 0 बन जाता है और हर 1 + 1 = 2 बन जाता है।
7. (ii) मान 0/2 = 0 है, जो विकल्प (D) से मेल खाता है।
8. (iii) A = 0° के लिए, sin 2A = sin 0° = 0 और 2 sin A = 2 × 0 = 0, इसलिए समीकरण सत्य है।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
9. (iii) A = 30° के लिए, sin 60° = √3/2 है लेकिन 2 sin 30° = 1, इसलिए यह सत्य नहीं है।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
10. (iii) A = 45° के लिए, sin 90° = 1 है लेकिन 2 sin 45° = √2, इसलिए यह सत्य नहीं है।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
11. (iii) A = 60° के लिए, sin 120° = √3/2 है लेकिन 2 sin 60° = √3, इसलिए यह सत्य नहीं है।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
12. (iii) समीकरण केवल A = 0° के लिए सत्य है, जो विकल्प (A) है।
13. (iv) व्यंजक 2 tan 30°/(1 − tan²30°) में tan 30° = 1/√3 प्रतिस्थापित करें।
  क्यों?
  sin²θ + cos²θ = 1 (कर्ण 1 वाले समकोण त्रिभुज पर पाइथागोरस)। इसे cos²θ से भाग देने पर 1 + tan²θ = sec²θ और sin²θ से भाग देने पर 1 + cot²θ = cosec²θ मिलता है।
14. (iv) अंश 2/√3 है और हर 1 − 1/3 = 2/3 है।
15. (iv) (2/√3) ÷ (2/3) को सरल करने पर 2/√3 × 3/2 = √3 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
16. (iv) चूंकि tan 60° = √3, सही विकल्प (C) है।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
उत्तर: (i) (A); (ii) (D); (iii) (A); (iv) (C)
इस हल में गलती बताएँ
प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 3
tan(A + B) = √3 और tan(A − B) = 1/√3 है, जहाँ 0° < A + B ≤ 90° और A > B है। A और B का मान ज्ञात करें।
1. दिया गया है tan(A + B) = √3, हम जानते हैं कि tan 60° = √3।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
2. चूंकि 0° < A + B ≤ 90°, एकमात्र संभव मान A + B = 60° है।
3. दिया गया है tan(A − B) = 1/√3, हम जानते हैं कि tan 30° = 1/√3।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
4. चूंकि A > B, कोण A − B धनात्मक है, इसलिए A − B = 30°।
5. दोनों समीकरणों को जोड़ने पर (A + B) + (A − B) = 60° + 30° से 2A = 90° प्राप्त होता है।
6. A के लिए हल करने पर, हमें A = 45° प्राप्त होता है।
7. A + B = 60° में A = 45° प्रतिस्थापित करने पर 45° + B = 60° प्राप्त होता है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
8. B के लिए हल करने पर, हमें B = 15° प्राप्त होता है।
उत्तर: A = 45°, B = 15°
इस हल में गलती बताएँ
प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 4
सत्य या असत्य? कारण बताएं: (i) sin(A + B) = sin A + sin B (ii) θ बढ़ने पर sin θ बढ़ता है (iii) θ बढ़ने पर cos θ बढ़ता है (iv) सभी θ के लिए sin θ = cos θ (v) A = 0° के लिए cot A परिभाषित नहीं है।
1. (i) A = 30° और B = 60° लें।
2. (i) sin(30° + 60°) = sin 90° = 1।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
3. (i) sin 30° + sin 60° = 1/2 + √3/2 ≈ 1.366।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
4. (i) चूंकि 1 ≠ 1.366, कथन असत्य है।
5. (ii) 0° से 90° तक θ पर विचार करें।
6. (ii) sin 0° = 0, sin 30° = 0.5, sin 60° ≈ 0.866, sin 90° = 1।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
7. (ii) जैसे-जैसे θ बढ़ता है, मान बढ़ता है, इसलिए कथन सत्य है।
8. (iii) 0° से 90° तक θ पर विचार करें।
9. (iii) cos 0° = 1, cos 30° ≈ 0.866, cos 60° = 0.5, cos 90° = 0।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
10. (iii) जैसे-जैसे θ बढ़ता है, मान घटता है, इसलिए कथन असत्य है।
11. (iv) θ = 0° लें।
12. (iv) sin 0° = 0 और cos 0° = 1।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
13. (iv) चूंकि 0 ≠ 1, कथन असत्य है।
14. (v) cot A = cos A / sin A।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
15. (v) A = 0° के लिए, sin 0° = 0।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
16. (v) शून्य से भाग अपरिभाषित है, इसलिए कथन सत्य है।
उत्तर: (i) असत्य; (ii) सत्य; (iii) असत्य; (iv) असत्य; (v) सत्य
इस हल में गलती बताएँ

इस अध्याय की अन्य प्रश्नावलियाँ

Exercise 8.1 — 11 questions
Exercise 8.3 — 13 questions

← Introduction to Trigonometry: notes, practice and all exercises

Saved for offline

Saves these solutions (Hindi page) in this browser on this phone. No sign-in; nothing about you is saved or sent. A saved copy is not updated until you save it again. Parts that load from the server when you use them (the AI tutor, adaptive practice, sign-in) still need a connection.

कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 8.2 के हल (Introduction to Trigonometry)

प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 1

प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 2

प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 3

प्रश्नावली 8.2 प्रश्न 4