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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 10.2 के हल (Circles)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 1
वृत्त पर Q से खींची गई स्पर्श रेखा 24 cm है और केंद्र से Q की दूरी 25 cm है। त्रिज्या है (A) 7 cm (B) 12 cm (C) 15 cm (D) 24.5 cm.
1. मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और Q बाह्य बिंदु है।
2. मान लीजिए P वह बिंदु है जहाँ Q से खींची गई स्पर्श रेखा वृत्त को छूती है।
3. त्रिज्या OP, संपर्क बिंदु पर स्पर्श रेखा PQ के लंबवत होती है।
  क्यों?
  वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
4. अतः, त्रिभुज OPQ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें P पर समकोण है।
5. हमें दिया गया है कि स्पर्श रेखा PQ की लंबाई 24 cm है।
6. हमें दिया गया है कि केंद्र से बाह्य बिंदु की दूरी, OQ, 25 cm है।
7. त्रिभुज OPQ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: OP² + PQ² = OQ²।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
8. ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: OP² + (24)² = (25)²।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
9. वर्गों की गणना करने पर: OP² + 576 = 625।
10. OP² के लिए हल करने पर: OP² = 625 − 576।
11. OP² = 49।
12. वर्गमूल लेने पर: OP = √49 = 7 cm।
उत्तर: (A) 7 cm
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प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 2
TP और TQ, केंद्र O वाले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं और ∠POQ = 110° (चित्र 10.11)। ∠PTQ है (A) 60° (B) 70° (C) 80° (D) 90°.
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. चूँकि TP और TQ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं, इसलिए त्रिज्याएँ OP और OQ संपर्क बिंदुओं पर उनसे लंबवत हैं।
  क्यों?
  वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
2. अतः, ∠OPT = 90° और ∠OQT = 90°।
3. चतुर्भुज OPTQ पर विचार करें। इसके अंतः कोणों का योग 360° होता है।
4. इसलिए, ∠OPT + ∠POQ + ∠OQT + ∠PTQ = 360°।
5. ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: 90° + 110° + 90° + ∠PTQ = 360°।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. समीकरण को सरल करने पर 290° + ∠PTQ = 360° प्राप्त होता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
7. ∠PTQ के लिए हल करने पर, हमें ∠PTQ = 360° − 290° = 70° प्राप्त होता है।
उत्तर: 70° (B)
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प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 3
केंद्र O वाले वृत्त पर P से खींची गई स्पर्श रेखाएँ PA और PB 80° पर मिलती हैं। ∠POA है (A) 50° (B) 60° (C) 70° (D) 80°.
1. दिया गया है कि PA और PB बाह्य बिंदु P से वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं, और ∠APB = 80°।
2. केंद्र O को संपर्क बिंदु A से जोड़ने वाली रेखा स्पर्श रेखा PA के लंबवत होती है, इसलिए ∠OAP = 90°।
  क्यों?
  वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
3. त्रिभुज OAP में, कोणों का योग 180° होता है, इसलिए ∠POA + ∠OAP + ∠OPA = 180°।
4. रेखा OP स्पर्श रेखाओं के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है, इसलिए ∠OPA = 80° ÷ 2 = 40°।
5. कोण योग समीकरण में मानों को प्रतिस्थापित करने पर: ∠POA + 90° + 40° = 180°।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. ∠POA के लिए हल करने पर ∠POA = 180° − 130° = 50° प्राप्त होता है।
उत्तर: 50° (A)
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प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 4
प्रमाणित कीजिए कि वृत्त के व्यास के अंत बिंदुओं पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समानांतर होती हैं।
1. मान लीजिए AB, केंद्र O वाले वृत्त का व्यास है।
2. मान लीजिए A पर स्पर्श रेखा रेखा l है और B पर स्पर्श रेखा रेखा m है।
3. वृत्त की स्पर्श रेखा संपर्क बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
  क्यों?
  वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
4. अतः, OA, l के लंबवत है और OB, m के लंबवत है।
5. इसका अर्थ है कि OA और l के बीच का कोण 90° है और OB और m के बीच का कोण 90° है।
6. चूँकि AB एक सीधी रेखा है, इसलिए पार रेखा AB द्वारा रेखाओं l और m के साथ बनाए गए विकल अंतः कोण बराबर होते हैं (दोनों 90°)।
7. यदि विकल अंतः कोण बराबर हों, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।
8. अतः, व्यास के अंत बिंदुओं पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समानांतर होती हैं।
उत्तर: वृत्त के व्यास के अंत बिंदुओं पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समानांतर होती हैं।
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प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 5
प्रमाणित कीजिए कि स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु पर खड़ी लंब रेखा केंद्र से होकर गुजरती है।
1. मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और रेखा l वृत्त को बिंदु A पर स्पर्श करती है।
2. हमें प्रमाणित करना है कि A पर l के लंब रेखा O से होकर गुजरती है।
3. विरोधाभास के लिए मान लीजिए कि A पर l के लंब रेखा O से नहीं गुजरती।
  क्यों?
  विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: जो सिद्ध करना है उसका उल्टा मान लें और दिखाएँ कि इससे कोई असंभव बात निकलती है; तब वह मान्यता गलत होनी चाहिए।
4. मान लीजिए B वह बिंदु है जहाँ से O से स्पर्श रेखा l पर खींची गई लंब रेखा का पाद (foot) है।
  क्यों?
  वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
5. चूँकि B, O से l पर खींची गई लंब रेखा का पाद है, इसलिए OB केंद्र O से रेखा l की सबसे छोटी दूरी है।
6. समकोण त्रिभुज OAB में, OA कर्ण (hypotenuse) है और OB एक भुजा (leg) है।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
7. अतः, OA, OB से बड़ा है, अर्थात् OA > OB।
8. चूँकि OA वृत्त की त्रिज्या है, इसका अर्थ है कि केंद्र से रेखा l की दूरी (जो कि OB है) त्रिज्या से कम है।
9. यदि केंद्र से किसी रेखा की दूरी त्रिज्या से कम हो, तो रेखा को वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटना चाहिए।
10. इसका अर्थ है कि l एक छेदक (secant) है, स्पर्श रेखा नहीं।
11. यह उस दिए गए कथन के विरोध में है कि l, A पर वृत्त की स्पर्श रेखा है।
  क्यों?
  विरोधाभास द्वारा उपपत्ति: जो सिद्ध करना है उसका उल्टा मान लें और दिखाएँ कि इससे कोई असंभव बात निकलती है; तब वह मान्यता गलत होनी चाहिए।
12. अतः, हमारा मान्यता (assumption) गलत है, और A पर स्पर्श रेखा के लंब रेखा को केंद्र O से होकर गुजरना ही चाहिए।
  क्यों?
  वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
उत्तर: प्रमाणित किया गया कि स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु पर खड़ी लंब रेखा केंद्र से होकर गुजरती है।
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प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 6
वृत्त के केंद्र से 5 cm दूर स्थित बिंदु A से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 4 cm है। त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
1. मान लीजिए O वृत्त का केंद्र है और A बाह्य बिंदु (external point) है।
2. मान लीजिए P वह बिंदु है जहाँ से A से खींची गई स्पर्श रेखा वृत्त को स्पर्श करती है।
3. OP और OA को जोड़ें।
4. स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या, स्पर्श रेखा के लंबवत होती है, इसलिए ∠OPA = 90°।
  क्यों?
  वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
5. समकोण त्रिभुज OPA में, OA कर्ण (hypotenuse) है।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
6. दिया गया है OA = 5 cm और AP = 4 cm।
7. पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, OP² + AP² = OA²।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
8. मान रखने पर: OP² + 4² = 5²।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
9. OP² + 16 = 25।
10. OP² = 25 − 16।
11. OP² = 9।
12. OP = √9 = 3 cm।
13. वृत्त की त्रिज्या OP है।
उत्तर: 3 cm
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प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 7
दो सहकेंद्रीय (concentric) वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 5 cm और 3 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा (chord) की लंबाई ज्ञात कीजिए जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।
1. मान लीजिए O दोनों सहकेंद्रीय वृत्तों का सामान्य केंद्र है।
2. मान लीजिए AB बड़े वृत्त की जीवा है जो बिंदु P पर छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।
3. चूँकि AB छोटे वृत्त की स्पर्श रेखा है, इसलिए त्रिज्या OP, AB के लंबवत है।
  क्यों?
  वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
4. वृत्त में, जीवा के लंबवत त्रिज्या जीवा को समद्विभाजित करती है, इसलिए AP = PB।
  क्यों?
  वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है (इससे बने दोनों समकोण त्रिभुज RHS से सर्वांगसम होते हैं)।
5. समकोण त्रिभुज OPA में, OA बड़े वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए OA = 5 cm।
6. OP छोटे वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए OP = 3 cm।
7. त्रिभुज OPA में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर: AP² + OP² = OA²।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (एक भुजा)² + (दूसरी भुजा)² (बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय)। कर्ण समकोण के सामने की भुजा है और सबसे लंबी होती है।
8. मान रखने पर: AP² + 3² = 5²।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
9. AP² + 9 = 25।
10. AP² = 25 − 9 = 16।
11. AP = √16 = 4 cm।
12. जीवा AB की लंबाई 2 × AP = 2 × 4 = 8 cm है।
उत्तर: 8 cm
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प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 8
चतुर्भुज ABCD एक वृत्त को परिवृत्त (circumscribes) करता है (चित्र 10.12)। प्रमाणित कीजिए कि AB + CD = AD + BC।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. मान लीजिए वृत्त भुजाओं AB, BC, CD और DA को क्रमशः बिंदुओं P, Q, R और S पर स्पर्श करता है।
2. बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखाओं के प्रमेय के अनुसार, किसी बिंदु से वृत्त तक खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
  क्यों?
  वृत्त के बाहर के किसी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
3. अतः, AP = AS, BP = BQ, CQ = CR और DR = DS।
4. सामने वाली भुजाओं AB और CD की लंबाई जोड़ें: AB + CD = (AP + PB) + (CR + RD)।
5. समीकरण में बराबर स्पर्श रेखाओं की लंबाई रखें: AB + CD = (AS + BQ) + (CQ + DS)।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
6. पदों को पुनः व्यवस्थित करें ताकि समान शीर्षों से खींची गई स्पर्श रेखाएँ एक साथ हों: AB + CD = (AS + DS) + (BQ + CQ)।
7. पहचानें कि AS + DS भुजा AD के बराबर है और BQ + CQ भुजा BC के बराबर है।
8. इस प्रकार, AB + CD = AD + BC।
उत्तर: AB + CD = AD + BC
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प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 9
XY और X′Y′ एक वृत्त के केंद्र O वाले दो समानांतर स्पर्श रेखाएँ हैं, और स्पर्श रेखा AB जो C पर स्पर्श करती है, XY को A पर और X′Y′ को B पर मिलती है (चित्र 10.13)। सिद्ध करें कि ∠AOB = 90°।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. मान लीजिए कि XY वृत्त को P पर और X′Y′ को Q पर स्पर्श करती है। OP, OQ, OC, OA और OB को जोड़ें। चूँकि XY ∥ X′Y′ और दोनों अर्धव्यास उनसे लंबवत हैं, इसलिए P, O, Q एक सीधी रेखा (व्यास) पर स्थित हैं।
2. △OPA और △OCA में: OP = OC (अर्धव्यास), OA सामान्य है और ∠OPA = ∠OCA = 90° (अर्धव्यास ⊥ स्पर्श रेखा)। अतः △OPA ≅ △OCA (RHS), जिससे ∠POA = ∠COA प्राप्त होता है।
  क्यों?
  वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
3. इसी प्रकार, △OQB ≅ △OCB (RHS), जिससे ∠QOB = ∠COB प्राप्त होता है।
4. POQ एक सीधी रेखा है, इसलिए ∠POA + ∠COA + ∠COB + ∠QOB = 180°।
5. समान युग्मों का उपयोग करने पर: 2∠COA + 2∠COB = 180°, अतः ∠COA + ∠COB = 90°।
6. ∠AOB = ∠COA + ∠COB = 90°।
उत्तर: ∠AOB = 90°
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प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 10
सिद्ध करें कि बाह्य बिंदु से खींची गई दो स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण, स्पर्श जीवा द्वारा केंद्र पर बनाए गए कोण का पूरक (supplementary) होता है।
1. मान लीजिए कि P एक बाह्य बिंदु है, जिससे केंद्र O वाले वृत्त पर PA और PB स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं।
2. OA, OB और OP को जोड़कर चतुर्भुज OAPB बनाएं।
3. चूँकि स्पर्श बिंदु पर अर्धव्यास स्पर्श रेखा के लंबवत होता है, इसलिए कोण OAP और कोण OBP दोनों 90° हैं।
  क्यों?
  वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
4. चतुर्भुज OAPB के अंतर्गत कोणों का योग 360° होता है, इसलिए कोण AOB + कोण APB + 90° + 90° = 360°।
5. समीकरण को सरल करने पर कोण AOB + कोण APB = 180° प्राप्त होता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
6. अतः, स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण (कोण APB) और स्पर्श जीवा द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण (कोण AOB) एक-दूसरे के पूरक हैं।
उत्तर: सिद्ध किया गया कि कोण APB + कोण AOB = 180°
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प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 11
सिद्ध करें कि एक वृत्त को परिवर्तन (circumscribing) करने वाला समांतर चतुर्भुज एक वृत्तचतुर्भुज (rhombus) होता है।
1. मान लीजिए कि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है जो केंद्र O वाले वृत्त को परिवर्तन करता है।
2. मान लीजिए कि वृत्त भुजाओं AB, BC, CD और DA को क्रमशः P, Q, R और S बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
3. हम जानते हैं कि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान होती है।
  क्यों?
  वृत्त के बाहर के किसी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
4. अतः, AP = AS, BP = BQ, CQ = CR और DR = DS।
5. मान लीजिए AP = AS = a, BP = BQ = b, CQ = CR = c और DR = DS = d।
6. भुजा AB, AP और BP का योग है, इसलिए AB = a + b।
7. भुजा BC, BQ और CQ का योग है, इसलिए BC = b + c।
8. भुजा CD, CR और DR का योग है, इसलिए CD = c + d।
9. भुजा DA, DS और AS का योग है, इसलिए DA = d + a।
10. चूँकि ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए विपरीत भुजाएँ समान होती हैं, अतः AB = CD और BC = DA।
11. AB और CD को समान रखने पर a + b = c + d प्राप्त होता है।
12. BC और DA को समान रखने पर b + c = d + a प्राप्त होता है।
13. समीकरण b + c = d + a से, हम इसे पुनर्व्यवस्थित करके b - a = d - c प्राप्त कर सकते हैं।
14. (d - c) का यह मान पहले समीकरण a + b = c + d में प्रतिस्थापित करने पर, हमें a + b = c + (b - a + c) प्राप्त होता है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
15. इसे सरल करने पर a + b = b + 2c - a प्राप्त होता है, जिससे 2a = 2c, अतः a = c।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
16. चूँकि a = c, इसे b - a = d - c में वापस प्रतिस्थापित करने पर b - a = d - a प्राप्त होता है, अतः b = d।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
17. अब, AB = a + b और BC = b + c। चूँकि a = c, इसलिए AB = a + b और BC = b + a।
18. अतः, AB = BC।
19. चूँकि समांतर चतुर्भुज की सन्निकट भुजाएँ समान हैं, इसलिए चारों भुजाएँ समान हैं।
20. चारों भुजाएँ समान वाला समांतर चतुर्भुज एक वृत्तचतुर्भुज (rhombus) होता है।
उत्तर: सिद्ध किया गया कि एक वृत्त को परिवर्तन करने वाला समांतर चतुर्भुज एक वृत्तचतुर्भुज (rhombus) होता है।
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प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 12
△ABC, 4 cm अर्धव्यास वाले एक वृत्त को परिवर्तन करता है; स्पर्श बिंदु D, BC को BD = 8 cm और DC = 6 cm में विभाजित करता है (चित्र 10.14)। AB और AC ज्ञात करें।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. मान लीजिए कि वृत्त भुजाओं AB, AC और BC को क्रमशः E, F और D बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
2. चूँकि बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समान होती हैं, इसलिए AE = AF, BE = BD और CF = CD।
  क्यों?
  वृत्त के बाहर के किसी बिंदु से वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
3. दिया गया है BD = 8 cm और DC = 6 cm, इसलिए BE = 8 cm और CF = 6 cm।
  क्यों?
  वर्गीकृत आँकड़ों में माध्यक = l + ((n/2 − cf) / f) × h, जहाँ माध्यक वर्ग वह है जिसमें (n/2)वाँ मान आता है; l, f, h उसकी निम्न सीमा, बारंबारता और चौड़ाई हैं और cf उससे पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता है।
4. मान लीजिए AE = AF = x cm। तब AB = AE + BE = x + 8 और AC = AF + CF = x + 6।
  क्यों?
  वर्गीकृत आँकड़ों में माध्यक = l + ((n/2 − cf) / f) × h, जहाँ माध्यक वर्ग वह है जिसमें (n/2)वाँ मान आता है; l, f, h उसकी निम्न सीमा, बारंबारता और चौड़ाई हैं और cf उससे पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता है।
5. त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल, त्रिभुजों OAB, OBC और OCA के क्षेत्रफलों का योग है, जहाँ O वृत्त का केंद्र है।
6. ABC का क्षेत्रफल = (1/2) × r × (AB + BC + CA) = (1/2) × 4 × ((x + 8) + (8 + 6) + (x + 6)) = 2(2x + 28) = 4x + 56।
7. हेरॉन के सूत्र का उपयोग करते हुए, s = (AB + BC + CA) / 2 = (2x + 28) / 2 = x + 14।
8. ABC का क्षेत्रफल = √[s(s - AB)(s - BC)(s - CA)] = √[(x + 14)(x + 14 - x - 8)(x + 14 - 14)(x + 14 - x - 6)]।
9. वर्गमूल के अंदर के पदों को सरल करने पर: √[(x + 14)(6)(x)(8)] = √[48x(x + 14)]।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
10. क्षेत्रफल के दोनों व्यंजकों को समान रखने पर: 4x + 56 = √[48x(x + 14)]।
11. दोनों पक्षों का वर्ग करें: (4x + 56)² = 48x(x + 14)।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
12. 16(x + 14)² = 48x(x + 14)।
13. दोनों पक्षों को 16(x + 14) से विभाजित करें (चूँकि x ≠ -14): x + 14 = 3x।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
14. x के लिए हल करने पर: 2x = 14, अतः x = 7।
15. अतः, AB = x + 8 = 7 + 8 = 15 cm और AC = x + 6 = 7 + 6 = 13 cm।
उत्तर: AB = 15 cm, AC = 13 cm
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प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 13
प्रमाणित कीजिए कि एक चतुर्भुज जिसके भीतर एक वृत्त अंतःसंस्पर्शी है, के विपरीत भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
1. मान लीजिए कि ABCD एक चतुर्भुज है जिसके भीतर केंद्र O वाला एक वृत्त अंतःसंस्पर्शी है, जो AB, BC, CD, DA को क्रमशः P, Q, R, S पर स्पर्श करता है। OA, OB, OC, OD और OP, OQ, OR, OS को जोड़ें।
2. △OAP और △OAS में: OP = OS (त्रिज्याएँ), OA साझा है और AP = AS (A से खींची गई स्पर्श रेखाएँ)। इसलिए वे सर्वांगसम हैं (SSS) और ∠AOP = ∠AOS। इस कोण को ∠1 कहते हैं।
  क्यों?
  वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
3. इसी प्रकार, B, C और D से खींची गई स्पर्श रेखाएँ ∠BOP = ∠BOQ (∠2), ∠COQ = ∠COR (∠3) और ∠DOR = ∠DOS (∠4) देती हैं।
4. O के चारों ओर के कोणों का योग 360° होता है: 2∠1 + 2∠2 + 2∠3 + 2∠4 = 360°, इसलिए ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°।
5. भुजा AB ∠AOB = ∠1 + ∠2 अंतरित करती है और विपरीत भुजा CD ∠COD = ∠3 + ∠4 अंतरित करती है, इसलिए ∠AOB + ∠COD = 180°।
6. इसी प्रकार, ∠BOC + ∠AOD = (∠2 + ∠3) + (∠1 + ∠4) = 180°। विपरीत भुजाएँ केंद्र पर संपूरक कोण अंतरित करती हैं।
उत्तर: ∠AOB + ∠COD = 180° और ∠BOC + ∠AOD = 180°: प्रमाणित।
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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 10.2 के हल (Circles)

प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 1

प्रश्नावली 10.2 प्रश्न 2

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