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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 11.1 के हल (Areas Related to Circles)

AI-written, checked on 23 Oct 2026

Shishya के लिखे, जाँचे हुए हल — बोर्ड के आधिकारिक उत्तर नहीं

मशीन अनुवाद · Machine-translated on 23 Oct 2026

ये हल Shishya ने अंग्रेज़ी में लिखे हैं और AI से हिंदी में अनुवाद किए गए हैं। हर प्रश्न हमारे अपने छोटे शब्दों में है; प्रश्न के सही शब्द और चित्र NCERT की पुस्तक में देखें। कोई शब्द अटपटा लगे तो अंग्रेज़ी हल देखें।

NCERT पुस्तक का अध्याय (PDF) ↗Read in English

How these were checked: the solutions were drafted with AI and then read and corrected on 23 Oct 2026. Every numerical final answer is recomputed from the question's own numbers by a calculator check that runs before each release; proofs and explanations were read, not machine-checked. The NCERT textbook is the authority — if something here disagrees with it, follow the book.

Hindi: machine-translated from the English solution; each translation was checked to keep every number and every step of the English, and to use NCERT's Hindi terms for the words we check. Wording can still be awkward — the English page is the reference.

किसी चरण के नीचे “क्यों?” दबाएँ और देखें कि उसमें पाठ्यपुस्तक का कौन-सा नियम लगा है — यह Shishya की NCERT कक्षा 9-10 नियमों की तय सूची से है, इस पेज के लिए AI से नहीं लिखा गया। जिस चरण में यह नहीं है, उसके लिए सूची में अभी कोई नियम नहीं है।

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इस अध्याय के बारे में AI ट्यूटर से पूछें — वह जवाब से पहले संकेत देता है — या अपने सवाल की फ़ोटो लेकर हल के चरण पाएँ। आप किसी व्यक्ति से नहीं, AI से बात करेंगे। 13 साल और उससे ऊपर के लिए; दोनों का पहला जवाब मुफ़्त है।

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प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 1
6 cm त्रिज्या और 60° कोण वाले एक खंड (sector) का क्षेत्रफल ज्ञात करें (π = 22/7)।
1. खंड के क्षेत्रफल का सूत्र (θ/360°) × πr² है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
2. दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: θ = 60°, r = 6 cm, और π = 22/7।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
3. क्षेत्रफल = (60/360) × (22/7) × 6²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
4. अनुपात 60/360 को 1/6 में सरल करें।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
5. क्षेत्रफल = (1/6) × (22/7) × 36।
6. 36 को 1/6 से गुणा करने पर 6 प्राप्त होता है।
7. क्षेत्रफल = (22/7) × 6।
8. अंतिम गुणनफल की गणना करें: 132/7।
उत्तर: 132/7 cm²
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प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 2
22 cm परिधि वाले एक वृत्त के चतुर्थांश (quadrant) का क्षेत्रफल ज्ञात करें (π = 22/7)।
1. मान लें कि r वृत्त की त्रिज्या है।
2. परिधि का सूत्र 2πr होता है।
  क्यों?
  परिधि = 2πr = πd: हर वृत्त के लिए π वही अनुपात (परिधि ÷ व्यास) है। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
3. सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: 2 × (22/7) × r = 22।
  क्यों?
  परिधि = 2πr = πd: हर वृत्त के लिए π वही अनुपात (परिधि ÷ व्यास) है। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
4. समीकरण को सरल करने पर (44/7) × r = 22 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
5. r के लिए हल करने के लिए दोनों पक्षों को 7/44 से गुणा करें: r = 22 × (7/44)।
  क्यों?
  समीकरण के दोनों पक्षों पर एक ही काम करने से (एक ही संख्या जोड़ना, घटाना, या एक ही शून्येतर संख्या से गुणा या भाग) दोनों पक्ष बराबर रहते हैं, इसलिए समीकरण सही रहता है और अज्ञात अकेला रह जाता है।
6. त्रिज्या की गणना करें: r = 7/2 cm।
7. चतुर्थांश का क्षेत्रफल पूर्ण वृत्त के क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है, इसलिए क्षेत्रफल = (1/4)πr²।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
8. π और r के मानों को प्रतिस्थापित करें: क्षेत्रफल = (1/4) × (22/7) × (7/2)²।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
9. त्रिज्या का वर्ग करें: (7/2)² = 49/4।
10. पदों को गुणा करें: क्षेत्रफल = (1/4) × (22/7) × (49/4)।
11. सामान्य गुणकों को रद्द करके व्यंजक को सरल करें: क्षेत्रफल = (1/4) × (22 × 7) / 4।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
12. अंतिम क्षेत्रफल की गणना करें: क्षेत्रफल = 154 / 16 = 77/8 cm²।
उत्तर: 77/8 cm²
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प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 3
घड़ी की मिनट सुई की लंबाई 14 cm है। 5 मिनट में इसका कटा हुआ क्षेत्रफल ज्ञात करें (π = 22/7)।
1. घड़ी की मिनट सुई 60 मिनट में एक पूर्ण वृत्त पूरा करती है।
2. 5 मिनट में, मिनट सुई (5/60) × 360° = 30° का कोण कटती है।
3. मिनट सुई द्वारा कटा गया क्षेत्रफल 14 cm त्रिज्या और 30° कोण वाले खंड का क्षेत्रफल है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
4. खंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × π × r² = (30/360) × (22/7) × 14 × 14।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
5. सरल करने पर, क्षेत्रफल = (1/12) × 22 × 28 = (1/12) × 616 = 154/3 cm²।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
उत्तर: 154/3 cm²
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प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 4
10 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा (chord) केंद्र पर एक समकोण अंतरालित करती है। (i) लघु खंड (ii) बृहत् खंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें (π = 3.14)।
1. (i) जीवा केंद्र पर समकोण अंतरालित करती है, इसलिए लघु खंड का कोण 90° है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
2. लघु खंड का क्षेत्रफल = (90/360) × π × r² = (1/4) × 3.14 × 10² = 78.5 cm²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
3. त्रिज्याओं और जीवा द्वारा बनाया गया त्रिभुज 10 cm भुजाओं वाला समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।
4. त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई = (1/2) × 10 × 10 = 50 cm²।
5. लघु खंड का क्षेत्रफल = लघु खंड का क्षेत्रफल − त्रिभुज का क्षेत्रफल = 78.5 − 50 = 28.5 cm²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
6. (ii) बृहत् खंड का कोण 360° − 90° = 270° है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
7. बृहत् खंड का क्षेत्रफल = (270/360) × π × r² = (3/4) × 3.14 × 10²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
8. बृहत् खंड का क्षेत्रफल = 0.75 × 314 = 235.5 cm²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
उत्तर: (i) 28.5 cm²; (ii) 235.5 cm²
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प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 5
21 cm द्रव्यमान वाले वृत्त में एक चाप केंद्र पर 60° का कोण बनाता है। ज्ञात कीजिए (i) चाप की लंबाई (ii) खंड का क्षेत्रफल (iii) जीवा द्वारा काटा गया खंड का क्षेत्रफल (π = 22/7)।
1. (i) चाप की लंबाई का सूत्र l = (θ/360) × 2πr है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
2. (i) θ = 60° और r = 21 cm रखने पर, l = (60/360) × 2 × (22/7) × 21 प्राप्त होता है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
3. (i) व्यंजक को सरल करने पर l = (1/6) × 2 × 22 × 3 = 22 cm प्राप्त होता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
4. (ii) खंड के क्षेत्रफल का सूत्र A = (θ/360) × πr² है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
5. (ii) मान रखने पर, A = (60/360) × (22/7) × 21 × 21।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
6. (ii) सरल करने पर A = (1/6) × 22 × 3 × 21 = 231 cm² प्राप्त होता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
7. (iii) खंड का क्षेत्रफल खंड के क्षेत्रफल और त्रिज्याओं तथा जीवा द्वारा बनाए गए समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल का अंतर है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
8. (iii) चूंकि केंद्रीय कोण 60° है और त्रिज्याएँ समान हैं, इसलिए त्रिभुज समबाहु है जिसकी भुजा 21 cm है।
9. (iii) समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल (√3/4) × भुजा² होता है।
10. (iii) त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × 21² = (√3/4) × 441 = 441√3/4 cm²।
11. (iii) खंड का क्षेत्रफल = 231 − 441√3/4 cm²।
उत्तर: (i) 22 cm; (ii) 231 cm²; (iii) (231 - 441√3/4) cm²
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प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 6
15 cm द्रव्यमान वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। लघु और महत्तम खंडों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 3.14, √3 = 1.73)।
1. दिया गया त्रिज्या r = 15 cm और केंद्रीय कोण θ = 60° है।
2. वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = 3.14 × 15² = 3.14 × 225 = 706.5 cm²।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
3. खंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr² = (60/360) × 706.5 = 117.75 cm²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
4. चूंकि केंद्रीय कोण 60° है और त्रिभुज समद्विबाहु है जिसकी दो भुजाएँ त्रिज्या के बराबर हैं, इसलिए त्रिज्याओं और जीवा द्वारा बनाया गया त्रिभुज समबाहु है।
5. समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × भुजा² = (1.73/4) × 15² = (1.73/4) × 225 = 97.3125 cm²।
6. लघु खंड का क्षेत्रफल = खंड का क्षेत्रफल − त्रिभुज का क्षेत्रफल = 117.75 − 97.3125 = 20.4375 cm²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
7. महत्तम खंड का क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल − लघु खंड का क्षेत्रफल = 706.5 − 20.4375 = 686.0625 cm²।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
उत्तर: लघु खंड 20.4375 cm², महत्तम खंड 686.0625 cm²
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प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 7
12 cm द्रव्यमान वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 120° का कोण बनाती है। खंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 3.14, √3 = 1.73)।
1. मान लें कि O केंद्र है (त्रिज्या 12 cm) और AB जीवा है जो O पर ∠AOB = 120° बनाती है।
2. AB पर OM लंब खींचें, जो AB और कोण AOB को समद्विभाजित करता है, इसलिए कोण AOM 60° है।
3. समकोण त्रिभुज AOM में, sin 60° = AM/OA, इसलिए AM = 12 × (√3/2) = 6√3 cm।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
4. इस प्रकार, पूर्ण जीवा AB = 2 × 6√3 = 12√3 cm।
5. समकोण त्रिभुज AOM में, cos 60° = OM/OA, इसलिए OM = 12 × (1/2) = 6 cm।
  क्यों?
  समकोण त्रिभुज में sin = सम्मुख/कर्ण, cos = आसन्न/कर्ण, tan = सम्मुख/आसन्न (cosec, sec, cot इनके व्युत्क्रम हैं)। अनुपात केवल कोण पर निर्भर करता है, त्रिभुज के आकार पर नहीं।
6. त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊँचाई = (1/2) × 12√3 × 6 = 36√3 cm²।
7. √3 = 1.73 रखने पर त्रिभुज AOB का क्षेत्रफल = 36 × 1.73 = 62.28 cm² प्राप्त होता है।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
8. खंड AOB का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr² = (120/360) × 3.14 × 12²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
9. खंड AOB का क्षेत्रफल = (1/3) × 3.14 × 144 = 3.14 × 48 = 150.72 cm²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
10. लघु खंड का क्षेत्रफल = खंड का क्षेत्रफल − त्रिभुज का क्षेत्रफल = 150.72 − 62.28 = 88.44 cm²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
उत्तर: 88.44 cm²
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प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 8
एक घोड़े को 15 m वर्गाकार खेत के कोने की एक किल्ले से 5 m की रस्सी से बांधा गया है। ज्ञात कीजिए (i) वह क्षेत्रफल जहाँ वह चरन कर सकता है (ii) यदि रस्सी 10 m की होती, तो वृद्धि (π = 3.14)।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. घोड़ा वर्गाकार खेत के कोने से बांधा गया है, इसलिए वह चतुर्थांश वृत्त (90° खंड) में चरन कर सकता है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
2. (i) 5 m की रस्सी के लिए, त्रिज्या r 5 m है।
3. चतुर्थांश वृत्त का क्षेत्रफल (90/360) × π × r² होता है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
4. मान रखने पर, क्षेत्रफल = (1/4) × 3.14 × 5²।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
5. क्षेत्रफल = (1/4) × 3.14 × 25 = 19.625 m²।
6. (ii) यदि रस्सी 10 m की है, तो त्रिज्या r 10 m हो जाती है।
7. नया चरन क्षेत्रफल (1/4) × 3.14 × 10² है।
8. नया क्षेत्रफल = (1/4) × 3.14 × 100 = 78.5 m²।
9. क्षेत्रफल में वृद्धि नया क्षेत्रफल और मूल क्षेत्रफल का अंतर है।
10. वृद्धि = 78.5 − 19.625 = 58.875 m²।
उत्तर: (i) 19.625 m²; (ii) 58.875 m²
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प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 9
एक ब्रूच (brooch) 35 mm व्यास वाला चांदी के तार का वृत्त है, जिसमें 5 व्यास हैं जो इसे 10 बराबर खंडों (sectors) में विभाजित करते हैं। ज्ञात कीजिए (i) तार की कुल लंबाई (ii) प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल (π = 22/7)।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. (i) ब्रूच का व्यास 35 mm है, इसलिए त्रिज्या r = 35 ÷ 2 = 17.5 mm है।
2. (i) वृत्ताकार तार की लंबाई परिधि (circumference) है, जिसे 2 × π × r = 2 × (22/7) × 17.5 = 110 mm के रूप में गणना की जाती है।
  क्यों?
  परिधि = 2πr = πd: हर वृत्त के लिए π वही अनुपात (परिधि ÷ व्यास) है। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
3. (i) 5 व्यासों में से प्रत्येक की लंबाई 35 mm है, इसलिए उनकी कुल लंबाई 5 × 35 = 175 mm है।
4. (i) तार की कुल लंबाई परिधि और व्यासों का योग है: 110 + 175 = 285 mm।
5. (ii) पूरे वृत्त का क्षेत्रफल π × r² = (22/7) × (17.5)² = (22/7) × 306.25 = 962.5 mm² है।
6. (ii) 5 व्यास वृत्त को 10 बराबर खंडों में विभाजित करते हैं।
7. (ii) प्रत्येक खंड का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल को 10 से भाग देने पर प्राप्त होता है: 962.5 ÷ 10 = 96.25 mm²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
8. (ii) 96.25 को भिन्न में बदलने पर 385/4 mm² प्राप्त होता है।
उत्तर: (i) 285 mm; (ii) 385/4 mm²
इस हल में गलती बताएँ
प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 10
एक छाता में 8 समान रूप से दूर स्थित रिब्स (ribs) हैं; इसे 45 cm त्रिज्या वाले एक सपाट वृत्त मानते हुए, दो क्रमागत रिब्स के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 22/7)।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. छाते को t = 45 cm त्रिज्या वाले वृत्त के रूप में माना जाता है।
2. 8 समान रूप से दूर स्थित रिब्स हैं, इसलिए दो क्रमागत रिब्स के बीच का कोण 360° ÷ 8 = 45° है।
3. दो क्रमागत रिब्स के बीच का क्षेत्रफल 45° के केंद्रीय कोण वाले खंड (sector) का क्षेत्रफल है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
4. खंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × π × r²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
5. मानों को प्रतिस्थापित करने पर: क्षेत्रफल = (45/360) × (22/7) × 45 × 45।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
6. भिन्न को सरल करने पर: 45/360 = 1/8।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
7. अतः, क्षेत्रफल = (1/8) × (22/7) × 2025।
8. गुणा करने पर: (22 × 2025) ÷ (8 × 7) = 44550 ÷ 56।
9. भिन्न को सरल करने पर: 44550/56 = 22275/28।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
10. इस प्रकार, दो क्रमागत रिब्स के बीच का क्षेत्रफल 22275/28 cm² है।
उत्तर: 22275/28 cm²
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प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 11
एक कार में दो अतिव्यापक (non-overlapping) वाइपर्स हैं, जिनमें से प्रत्येक का ब्लेड 25 cm लंबा है और 115° का कोण घुमाता है। प्रत्येक स्वीप (sweep) पर साफ़ किए गए कुल क्षेत्रफल को ज्ञात कीजिए (π = 22/7)।
1. एक वाइपर द्वारा घुमाए गए क्षेत्र का क्षेत्रफल 25 cm त्रिज्या और 115° कोण वाले खंड का क्षेत्रफल है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
2. एक खंड का क्षेत्रफल = (115/360) × (22/7) × 25²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
3. एक वाइपर के लिए क्षेत्रफल की गणना करने पर 31625/126 cm² प्राप्त होता है।
4. चूँकि दो समान वाइपर्स हैं, कुल क्षेत्रफल 2 × 31625/126 cm² है।
5. कुल क्षेत्रफल को सरल करने पर 158125/126 cm² प्राप्त होता है।
  क्यों?
  सरल करने (समान पदों को मिलाने, साझा गुणनखंड काटने) से व्यंजक का रूप बदलता है, मान नहीं, इसलिए अगला चरण आसान हो जाता है।
उत्तर: 158125/126 cm²
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प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 12
एक लighthouse (लighthouse) 16.5 km की दूरी तक 80° के कोण वाले खंड को प्रकाशित करता है। कवर किए गए समुद्री क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (π = 3.14)।
1. खंड का क्षेत्रफल सूत्र (θ/360) × π × r² द्वारा दिया जाता है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
2. दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें: θ = 80°, r = 16.5 km, और π = 3.14।
  क्यों?
  अक्षरों की जगह ज्ञात मान रखने से सूत्र या समीकरण साधारण अंकगणित बन जाता है — अक्षर इन्हीं मानों के लिए थे।
3. क्षेत्रफल = (80/360) × 3.14 × (16.5)²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
4. भिन्न 80/360 को 2/9 में सरल करें।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
5. (16.5)² की गणना करें, जो 272.25 के बराबर है।
6. 2/9 को 272.25 से गुणा करने पर 60.5 प्राप्त होता है।
7. अंतिम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए 60.5 को 3.14 से गुणा करें।
8. गणना किया गया क्षेत्रफल 189.97 km² है।
उत्तर: 189.97 km²
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प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 13
28 सेमी त्रिज्या वाले एक गोल मेज़ कवर पर छह समान डिज़ाइन हैं, जिनमें से प्रत्येक एक नियमित षट्भुज (regular hexagon) के एक भुजा द्वारा कट गया खंड (segment) है, जिसे उसमें अंतःखंडित (inscribed) किया गया है (चित्र 11.11)। ₹0.35 प्रति सेमी² की दर से डिज़ाइन करने का खर्च ज्ञात कीजिए (π = 22/7, √3 = 1.7)।
यह प्रश्न NCERT पुस्तक के चित्र पर आधारित है — चित्र ऊपर दिए अध्याय में देखें।
1. छह डिज़ाइनों में से प्रत्येक वृत्त में अंतःखंडित नियमित षट्भुज के एक भुजा द्वारा कट गया खंड है, इसलिए प्रत्येक जीवा (chord) केंद्र पर 360° ÷ 6 = 60° का कोण बनाती है।
2. 60° के एक खंड (sector) का क्षेत्रफल = (60/360) × (22/7) × 28² = (1/6) × (22/7) × 784 = 1232/3 ≈ 410.67 सेमी²।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
3. दो त्रिज्याओं और जीवा द्वारा बनाया गया त्रिभुज 28 सेमी भुजा वाला समबाहु त्रिभुज है: क्षेत्रफल = (√3/4) × 28² = (1.7/4) × 784 = 333.2 सेमी²।
4. एक डिज़ाइन का क्षेत्रफल = 1232/3 − 333.2 ≈ 77.47 सेमी²।
5. छह डिज़ाइनों का क्षेत्रफल = 6 × (1232/3 − 333.2) = 2464 − 1999.2 = 464.8 सेमी²।
6. खर्च = 464.8 × ₹0.35 = ₹162.68।
उत्तर: डिज़ाइन का क्षेत्रफल = 464.8 सेमी²; खर्च ₹162.68
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प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 14
R त्रिज्या वाले वृत्त के p° कोण वाले खंड (sector) का क्षेत्रफल (A) p/180 × 2πR (B) p/180 × πR² (C) p/360 × 2πR (D) p/720 × 2πR² है।
1. R त्रिज्या वाले पूर्ण वृत्त का क्षेत्रफल πR² सूत्र द्वारा दिया जाता है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
2. पूर्ण वृत्त केंद्र पर 360° के कोण के बराबर होता है।
3. इसलिए, p° कोण वाले खंड का क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का p/360 भाग होता है।
  क्यों?
  θ कोण वाला त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का θ/360 भाग होता है, इसलिए उसका क्षेत्रफल (θ/360) × πr² और चाप की लंबाई (θ/360) × 2πr है।
4. कुल क्षेत्रफल प्रतिस्थापित करने पर, सूत्र (p/360) × πR² बन जाता है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
5. हम दिए गए विकल्पों से मेल खाने के लिए πR² को (2πR²)/2 के रूप में पुनः लिख सकते हैं।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
6. इससे (p/360) × (2πR²)/2 प्राप्त होता है, जो (p/720) × 2πR² में सरल होता है।
  क्यों?
  वृत्त का क्षेत्रफल = πr² (अर्धवृत्त इसका आधा, चतुर्थांश एक-चौथाई)। प्रश्न के अनुसार π = 22/7 या 3.14 लें।
7. यह व्यंजक विकल्प (D) से मेल खाता है।
उत्तर: (D)
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कक्षा 10 गणित प्रश्नावली 11.1 के हल (Areas Related to Circles)

प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 1

प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 2

प्रश्नावली 11.1 प्रश्न 3

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