सरलीकरण — UP पुलिस कांस्टेबल के लिए अध्ययन नोट्स
अवलोकन
सरलीकरण UP पुलिस कांस्टेबल परीक्षाओं में मात्रात्मक योग्यता की नींव है। हर संख्यात्मक समस्या—चाहे लाभ-हानि, समय-कार्य, या डेटा व्याख्या हो—को सही तरीके से और तेजी से सरल करने की आवश्यकता होती है। इस भाग के अधिकांश प्रश्न BODMAS नियमों को लागू करने की, भिन्न और दशमलव को संभालने की, और 60–90 सेकंड में प्रति प्रश्न सटीक रूप से वर्गों, घनों और उनकी जड़ों की गणना करने की क्षमता का परीक्षण करते हैं।
परीक्षा में 3–5 सीधे सरलीकरण प्रश्नों की अपेक्षा करें, साथ ही अनगिनत अन्य जहां सरलीकरण शब्द समस्याओं में एम्बेड है। यहां महारत का मतलब है पूरे पेपर में कम गणना त्रुटियां। मुख्य बात है गति के साथ सटीकता—सामान्य गणनाओं के लिए शॉर्टकट जानना और ब्रैकेट संचालन के माध्यम से जल्दबाजी के जाल से बचना।
जो छात्र सरलीकरण में उत्कृष्ट होते हैं वे आमतौर पर कुल मिलाकर 5–8 अंक अधिक स्कोर करते हैं क्योंकि वे तेजी से समाप्त करते हैं और कम अंकगणितीय त्रुटियां करते हैं। यह विषय अनुशासित अभ्यास को पुरस्कृत करता है: दो सप्ताह के लिए प्रतिदिन 20–30 समस्याओं को हल करें और गणनात्मक प्रवाहिता विकसित करें।
मुख्य अवधारणाएं
- BODMAS/BODMAS नियम: संचालन को सख्त क्रम में पालन करना चाहिए — पहले कोष्ठक, फिर Orders (शक्तियां/जड़ें), फिर Division और Multiplication (बाएं से दाएं), अंत में Addition और Subtraction (बाएं से दाएं)। इस क्रम का उल्लंघन सबसे आम त्रुटि है।
- भिन्न संचालन: जोड़/घटाने के लिए, सार्व हर में बदलें; गुणा के लिए, सीधे अंश और हर को गुणा करें; विभाजन के लिए, व्युत्क्रम से गुणा करें। मिश्रित भिन्नों को संचालन से पहले अनुचित भिन्नों में बदलना चाहिए।
- दशमलव हैंडलिंग: जोड़/घटाने के लिए दशमलव बिंदुओं को संरेखित करें। गुणा के लिए, कारकों में कुल दशमलव स्थान गिनें और गुणनफल में उतने ही रखें। विभाजन के लिए, भाजक को पूर्ण संख्या बनाने के लिए दशमलव बिंदुओं को स्थानांतरित करें।
- वर्गमूल और घनमूल: परिपूर्ण वर्ग (1, 4, 9, 16, 25...144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400) और परिपूर्ण घन (1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000) को कंठस्थ करना चाहिए। अ-परिपूर्ण जड़ों के लिए गुणनखंड विधि या अंक विधि का उपयोग करें।
- व्युत्क्रम और नकारात्मक चिन्ह: भिन्न द्वारा विभाजन उसके व्युत्क्रम द्वारा गुणा के बराबर है। दोहरे नकारात्मक सकारात्मक बनाते हैं; एक नकारात्मक गुणा सकारात्मक नकारात्मक रहता है। बहु-चरण समस्याओं के माध्यम से चिन्ह परिवर्तनों को सावधानी से ट्रैक करें।
- अनुमान तकनीकें: परीक्षाओं में, जब विकल्प महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हों तो सटीक दशमलव की गणना न करें। रणनीतिक रूप से गोल करें—लेकिन केवल सभी संचालन कोष्ठक के अंदर पूरे हो जाने के बाद।
सूत्र / मुख्य तथ्य
BODMAS क्रम: B (Brackets) → O (Of/Orders) → D/M (Division/Multiplication, बाएं से दाएं) → A/S (Addition/Subtraction, बाएं से दाएं)
भिन्न संचालन:
- a/b + c/d = (ad + bc)/bd
- a/b × c/d = ac/bd
- a/b ÷ c/d = a/b × d/c = ad/bc
दशमलव गुणा: 2.5 × 3.2 = 25 × 32 / 100 = 800/100 = 8.0 (कुल दो दशमलव स्थान गिनें)
दशमलव विभाजन: 0.25 से विभाजित करने के लिए, अंश और हर को 100 से गुणा करें ताकि 25 से विभाजन प्राप्त हो।
परिपूर्ण वर्ग कंठस्थ करने हैं: 1² = 1, 2² = 4, 3² = 9... 20² = 400 तक। साथ ही 25² = 625, 30² = 900 जानें।
परिपूर्ण घन कंठस्थ करने हैं: 1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64, 5³ = 125, 6³ = 216, 7³ = 343, 8³ = 512, 9³ = 729, 10³ = 1000।
प्राइम गुणनखंडन द्वारा वर्गमूल: √144 = √(2² × 2² × 3²) = 2 × 2 × 3 = 12
प्राइम गुणनखंडन द्वारा घनमूल: ³√1728 = ³√(2³ × 2³ × 3³) = 2 × 2 × 3 = 12
वर्गों के लिए इकाई अंक विधि: 2 पर समाप्त संख्या का वर्ग 4 पर समाप्त होता है; 3 पर समाप्त 9 पर समाप्त होता है; 7 पर समाप्त 9 पर समाप्त होता है; 8 पर समाप्त 4 पर समाप्त होता है।
कार्य किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: BODMAS अनुप्रयोग
सरल करें: 48 ÷ 4 × 2 + 15 − 3 × 5
समाधान: चरण 1: कोई कोष्ठक नहीं, कोई शक्तियां नहीं। Division और Multiplication को बाएं से दाएं लागू करें।
- 48 ÷ 4 = 12
- 12 × 2 = 24
- 3 × 5 = 15
चरण 2: अब व्यंजक 24 + 15 − 15 है चरण 3: Addition और Subtraction को बाएं से दाएं लागू करें।
- 24 + 15 = 39
- 39 − 15 = 24
उदाहरण 2: कोष्ठक के साथ भिन्न
सरल करें: 5/6 + {2/3 − (3/4 − 1/6)}
समाधान: चरण 1: सबसे भीतरी कोष्ठक (3/4 − 1/6) को हल करें। 4 और 6 का LCM 12 है।
- 3/4 = 9/12, 1/6 = 2/12
- 9/12 − 2/12 = 7/12
चरण 2: अब व्यंजक 5/6 + {2/3 − 7/12} है चरण 3: घुंघराले कोष्ठक (2/3 − 7/12) को हल करें। LCM 12 है।
- 2/3 = 8/12
- 8/12 − 7/12 = 1/12
चरण 4: अब 5/6 + 1/12। LCM 12 है।
- 5/6 = 10/12
- 10/12 + 1/12 = 11/12 = 11/12
उदाहरण 3: दशमलव और वर्गमूल
सरल करें: √(6.25) + 2.5 × 0.4 ÷ 0.2
समाधान: चरण 1: √(6.25) = 2.5 (क्योंकि 2.5 × 2.5 = 6.25) चरण 2: 2.5 × 0.4 ÷ 0.2 को बाएं से दाएं हल करें।
- 2.5 × 0.4 = 1.0
- 1.0 ÷ 0.2 = 5.0
चरण 3: 2.5 + 5.0 = 7.5
उदाहरण 4: गुणनखंडन द्वारा घनमूल
खोजें: ³√(3375)
समाधान: 3375 को गुणनखंडित करें:
- 3375 = 3 × 1125 = 3 × 3 × 375 = 3 × 3 × 3 × 125 = 3³ × 5³
- ³√(3375) = ³√(3³ × 5³) = 3 × 5 = 15
सामान्य गलतियां
गलती 1: कोष्ठक प्राथमिकता को अनदेखा करना गलत सोच: 3 + 4 × 2 में, छात्र पहले जोड़ते हैं और 7 × 2 = 14 प्राप्त करते हैं। सही समाधान: BODMAS के अनुसार पहले गुणा करें: 4 × 2 = 8, फिर 3 + 8 = 11।
गलती 2: Division/Multiplication क्रम भ्रम गलत सोच: 20 ÷ 5 × 2 को 20 ÷ (5 × 2) = 20 ÷ 10 = 2 के रूप में हल किया जाता है। सही समाधान: बाएं से दाएं हल करें: 20 ÷ 5 = 4, फिर 4 × 2 = 8। Division और Multiplication का समान प्राथमिकता है।
गलती 3: सार्व हर के बिना भिन्न घटाव गलत सोच: 5/6 − 1/4 = (5−1)/(6−4) = 4/2 = 2। सही समाधान: LCM खोजें (12): 5/6 = 10/12, 1/4 = 3/12, इसलिए 10/12 − 3/12 = 7/12।
गलती 4: दशमलव बिंदु गलतप्लेसमेंट गलत सोच: 1.5 × 2.4 को 15 × 24 = 360 (दशमलव रखना भूल जाना) के रूप में गणना की जाती है। सही समाधान: 15 × 24 = 360, लेकिन कुल दो दशमलव स्थान गिनें: 360 → 3.60 = 3.6।
गलती 5: गलत परिपूर्ण वर्ग को कंठस्थ करना गलत सोच: 15² = 205 या 18² = 354 मानना। सही समाधान: 15² = 225 (205 नहीं), 18² =