अनुपात और समानुपात — अध्ययन नोट्स

Overview

अनुपात और समानुपात UP Police Constable परीक्षा के Numerical & Mental Ability section की एक मौलिक आधारशिला है। यह topic आमतौर पर 3–5 प्रश्नों के लिए जिम्मेदार है और लाभ-हानि, साझेदारी, मिश्रण-alligation, और समय-कार्य में समस्याओं को हल करने की नींव के रूप में कार्य करता है। इस topic में महारत अपरिहार्य है क्योंकि अनुपात की समस्याएं सीधे और अन्य प्रश्न प्रकारों में embedded दोनों रूपों में दिखाई देती हैं।

छात्रों को तीन मुख्य क्षेत्रों में प्रवाह विकसित करना चाहिए: अनुपातों को समझना और सरल बनाना, एकात्मक विधि या cross-multiplication का उपयोग करके समानुपात समस्याओं को हल करना, और इन अवधारणाओं को वास्तविक-विश्व परिस्थितियों जैसे आयु समस्याओं, मिश्रण समस्याओं, और व्यावसायिक साझेदारियों में लागू करना। परीक्षा केवल mechanical calculation का परीक्षण नहीं करती बल्कि word problems को तेजी से mathematical ratios में अनुवाद करने की क्षमता का भी परीक्षण करती है। Direct और inverse proportions, compound ratios, और partnership division पर मजबूत पकड़ आपको सख्त समय सीमा के भीतर आत्मविश्वास से numerical section के 15–20% को tackle करने में सक्षम बनाती है।

सफलता की कुंजी अनुपात के पैटर्न को तुरंत पहचानना, fractions में calculation errors से बचना, और इतना अभ्यास करना है कि standard problem templates जो साल दर साल दिखाई देते हैं, वे आपके अंदर internalize हो जाएं।

Key Concepts

• Ratio एक ही प्रकार की दो quantities की तुलना है, जिसे a:b या a/b के रूप में लिखा जाता है। Ratios के कोई units नहीं होते और इन्हें fractions की तरह सरल किया जा सकता है (12:18 = 2:3)।

• Proportion बताता है कि दो ratios बराबर हैं: a:b = c:d, जिसे a:b::c:d लिखा जाता है। Proportion में, extremes का गुणनफल means के गुणनफल के बराबर होता है (a×d = b×c)।

• Direct Proportion: जब एक quantity बढ़ती है, तो दूसरी भी proportionally बढ़ती है (अधिक workers → अधिक work)। यदि a∝b, तो a₁/a₂ = b₁/b₂।

• Inverse Proportion: जब एक quantity बढ़ती है, तो दूसरी proportionally घटती है (अधिक speed → कम time)। यदि a∝1/b, तो a₁/a₂ = b₂/b₁।

• Compound Ratio: दो या अधिक ratios से compounded ratio संबंधित terms को गुणा करके प्राप्त किया जाता है। a:b और c:d का compound ratio ac:bd है।

• Partnership निवेश की गई पूंजी और अवधि के आधार पर लाभ/हानि साझाकरण के लिए ratio principles लागू करती है। Profit share ratio, capital × time ratio के बराबर है।

• Fourth Proportional: यदि a:b = c:d, तो d चौथा समानुपात है। d को खोजने के लिए: d = (b×c)/a।

• Third Proportional: यदि a:b = b:c, तो c को a और b का तीसरा समानुपात कहा जाता है। सूत्र: c = b²/a।

Formulas / Key Facts

• Ratios को सरल बनाना: दोनों terms को उनके HCF से विभाजित करें। उदाहरण: 48:64 = 3:4 (÷16)।
• Ratios को जोड़ना: यदि a:b = 2:3 और b:c = 4:5, तो 'b' को बराबर बनाएं: a:b:c = 8:12:15।
• Direct Proportion सूत्र: a₁/a₂ = b₁/b₂, unknown को हल करने के लिए cross-multiply करें।
• Inverse Proportion सूत्र: a₁/a₂ = b₂/b₁ (दाईं ओर inversion पर ध्यान दें)।
• Compound ratio: (a:b) को (c:d) के साथ compounded करते हैं = ac:bd।
• Mean Proportional: यदि a:b = b:c, तो b = √(a×c)। 'b' mean proportional है।
• Partnership (equal time): Profit ratio = Capital ratio। यदि A ₹3000, B ₹5000 निवेश करता है, तो लाभ 3:5 में विभाजित होता है।
• Partnership (different time): Profit ratio = (Capital₁ × Time₁) : (Capital₂ × Time₂)।
• Dividend distribution: यदि total profit = P और ratio = a:b:c, तो A का हिस्सा = [a/(a+b+c)] × P।
• Continued proportion: a, b, c continued proportion में हैं यदि a:b = b:c, जिसका अर्थ b² = ac है।

Worked Examples

Example 1: Direct Proportion यदि 15 workers एक दीवार को 12 दिनों में बना सकते हैं, तो 20 workers को कितने दिन लगेंगे?

*Solution*: अधिक workers → कम दिन (inverse relationship) Workers ratio = 15:20 = 3:4 Days ratio = 4:3 (inverted) यदि 15 workers → 12 दिन तो 20 workers → (15×12)/20 = 9 दिन

Example 2: Compound Ratio 2:3, 4:5 और 3:7 का compound ratio खोजें।

*Solution*: Compound ratio = (2×4×3) : (3×5×7) = 24 : 105 = 8:35 (÷3)

Example 3: Partnership A ₹5000 के साथ व्यवसाय शुरू करता है। 4 महीने के बाद, B ₹8000 के साथ शामिल होता है। शुरुआत से 8 महीने के बाद, C ₹10000 के साथ शामिल होता है। यदि 12 महीने के बाद कुल लाभ ₹19,200 है, तो प्रत्येक व्यक्ति का हिस्सा खोजें।

*Solution*: A का योगदान = 5000 × 12 = 60,000 B का योगदान = 8000 × 8 = 64,000 (4 महीने के बाद शामिल हुआ, तो 12-4 = 8 महीने) C का योगदान = 10000 × 4 = 40,000 (8 महीने के बाद शामिल हुआ, तो 12-8 = 4 महीने) Ratio = 60,000 : 64,000 : 40,000 = 15:16:10 (÷4000) Ratio का योग = 15+16+10 = 41 A का हिस्सा = (15/41) × 19,200 = ₹7,024.39 ≈ ₹7,024 B का हिस्सा = (16/41) × 19,200 = ₹7,492.68 ≈ ₹7,493 C का हिस्सा = (10/41) × 19,200 = ₹4,682.93 ≈ ₹4,683

Example 4: Fourth Proportional 3, 7, और 9 के चौथे समानुपात को खोजें।

*Solution*: मान लें चौथा समानुपात = x 3:7 = 9:x 3×x = 7×9 x = 63/3 = 21

Common Mistakes

Mistake 1: Direct और inverse proportion को confuse करना → Fix: अपने आप से पूछें: यदि एक बढ़ता है, तो क्या दूसरा भी बढ़ता है (direct) या घटता है (inverse)? अधिक speed = कम time inverse है।

Mistake 2: Middle terms को बराबर नहीं बनाना जब ratios को combine करते हैं जैसे a:b = 2:3 और b:c = 5:7 → Fix: Middle terms का LCM खोजें (b = 3 और 5, LCM = 15)। Convert करें: a:b = 10:15 और b:c = 15:21, तो a:b:c = 10:15:21।

Mistake 3: Partnership में, जब partners विभिन्न अवधियों के लिए निवेश करते हैं तो capital को time से गुणा करना भूलना → Fix: हमेशा (Capital × Time) को contribution measure के रूप में उपयोग करें, केवल capital नहीं।

Mistake 4: Ratios को सीधे जोड़ना (सोचना कि 2:3 + 3:4 = 5:7) → Fix: Ratios को add नहीं किया जा सकता। Common denominator वाले fractions में convert करें या पहले actual values में convert करें।

Mistake 5: दिए गए ratio में कुल amount को distribute करते समय calculation errors → Fix: हमेशा verify करें कि distributed parts का योग कुल के बराबर है। सूत्र का उपयोग करें: प्रत्येक हिस्सा = (part/sum of parts) × total।

Quick Reference

• Ratio simplification: HCF से विभाजित करें। हमेशा lowest terms में व्यक्त करें।
• Proportion test: Extremes का गुणनफल = Means का गुणनफल (a×d = b×c)।
• Direct proportion: एक जैसी दिशा परिवर्तन। a₁/a₂ = b₁/b₂ का उपयोग करें।
• Inverse proportion: विपरीत दिशा परिवर्तन। a₁/a₂ = b₂/b₁ का उपयोग करें।
• Partnership profit ratio: (Capital₁ × Time₁) : (Capital₂ × Time₂)।
• हिस्सा खोजने के लिए: (Individual ratio part / Sum of all parts) × Total amount।