समय और कार्य — अध्ययन नोट्स

परिचय

समय और कार्य SSC GD प्राथमिक गणित में एक मौलिक विषय है, जो प्रत्येक परीक्षा में 2–3 प्रश्न होते हैं। मूल सिद्धांत सरल है: यदि आप जानते हैं कि किसी को एक काम पूरा करने में कितना समय लगता है, तो आप प्रति इकाई समय में उनकी कार्य दर की गणना कर सकते हैं। अधिकांश समस्याएँ आपकी क्षमता का परीक्षण करती हैं कि जब कई लोग या मशीनें एक साथ काम करती हैं, या जब वे वैकल्पिक पैटर्न में काम करती हैं, तो कार्य दरों को कैसे संयोजित किया जाए।

यह विषय तीन मुख्य प्रारूपों में दिखाई देता है: बुनियादी संयुक्त कार्य (दो या अधिक कर्मचारी एक साथ एक कार्य पूरा करते हैं), नकारात्मक कार्य (पाइप एक साथ टैंक भरते और खाली करते हैं), और वैकल्पिक कार्य पैटर्न (कर्मचारी अलग-अलग दिनों पर बारी-बारी से काम करते हैं)। बुनियादी सूत्र "कार्य = दर × समय" में महारत हासिल करना और "मनुष्य-दिन" या प्रति दिन पूर्ण किए गए इकाई कार्य की अवधारणा को समझना 90% प्रश्नों को हल करेगा। शेष 10% को भिन्नों को सावधानीपूर्वक संभालने और कई चक्रों में आंशिक कार्य को ट्रैक करने की क्षमता की आवश्यकता है।

जो छात्र तीनों प्रारूपों को कवर करने वाले 20–25 समस्याओं का अभ्यास करते हैं, वे आमतौर पर इस खंड में पूर्ण अंक प्राप्त करते हैं। गणित सीधा है—कोई जटिल गणना नहीं—लेकिन समीकरण सेट करते समय विस्तार पर ध्यान देने से सफल उम्मीदवार असावधान त्रुटियाँ करने वाले अलग हो जाते हैं।

मुख्य अवधारणाएँ

• एकता के रूप में कार्य: कुल कार्य हमेशा 1 इकाई (या 100%) माना जाता है जब तक अन्यथा नहीं कहा गया हो। यह मानकीकरण सभी समस्याओं में गणना को एक समान बनाता है।

• कार्य दर (दक्षता): यदि कोई व्यक्ति *n* दिनों में काम पूरा करता है, तो उनका एक दिन का कार्य (दर) 1/n है। यदि A किसी काम को 10 दिनों में करता है, तो A की दर = प्रति दिन 1/10।

• संयुक्त कार्य दर: जब कई लोग एक साथ काम करते हैं, तो उनकी दरें जुड़ जाती हैं। यदि A प्रति दिन 1/10 पर काम करता है और B प्रति दिन 1/15 पर काम करता है, तो एक साथ वे (1/10 + 1/15) प्रति दिन पर काम करते हैं।

• मनुष्य-दिन अवधारणा: कुल कार्य को (लोगों की संख्या) × (दिनों की संख्या) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि 5 आदमी 12 दिनों में काम पूरा करते हैं, तो कार्य = 60 मनुष्य-दिन। यही कार्य 10 आदमी 6 दिनों में कर सकते हैं।

• नकारात्मक कार्य (पाइप): पाइप समस्याओं में, भरने वाली पाइपें सकारात्मक कार्य में योगदान देती हैं जबकि खाली करने वाली/रिसाव पाइपें नकारात्मक कार्य में योगदान देती हैं। शुद्ध दर = (भरने वाली दरों का योग) – (खाली करने वाली दरों का योग)।

• आंशिक कार्य ट्रैकिंग: जब कर्मचारी अलग-अलग दिनों पर बारी-बारी से काम करते हैं, तो एक पूर्ण चक्र में किया गया कार्य की गणना करें, फिर पता करें कि कितने पूर्ण चक्र होते हैं, और अंतिम आंशिक चक्र में शेष कार्य को संभालें।

• दक्षता अनुपात: यदि दो कर्मचारियों द्वारा लिए गए समय का अनुपात a:b है, तो उनका दक्षता अनुपात b:a है (व्युत्क्रम संबंध)। एक व्यक्ति जो कम समय लेता है वह अधिक कुशल है।

• मजदूरी वितरण: मजदूरी को किए गए कार्य के अनुपात में वितरित किया जाता है, जो प्रत्येक व्यक्ति के लिए (दक्षता × काम के समय) के अनुपात के बराबर है।

सूत्र / मुख्य तथ्य

• मूल कार्य सूत्र: कार्य = दर × समय, या समकक्ष रूप से, दर = कार्य/समय और समय = कार्य/दर।

• एक दिन का कार्य: यदि A *a* दिनों में काम पूरा करता है, तो A का एक दिन का कार्य = 1/a।

• संयुक्त कार्य समय: यदि A *a* दिन लेता है और B *b* दिन अकेले लेता है, तो एक साथ वे लेते हैं: समय = (a×b)/(a+b) दिन।

• तीन कर्मचारी एक साथ: यदि A, B, C क्रमशः *a*, *b*, *c* दिन अलग-अलग लेते हैं, तो एक साथ वे लेते हैं: समय = 1/(1/a + 1/b + 1/c) दिन।

• मनुष्य-दिन सूत्र: M₁D₁ = M₂D₂ (जब कार्य दक्षता समान हो)। यदि कार्य की मात्रा अलग हो: M₁D₁W₂ = M₂D₂W₁।

• पाइप सूत्र (दो पाइप): यदि inlet *a* घंटे में भरता है और outlet *b* घंटे में खाली करता है, तो भरने का शुद्ध समय = (a×b)/(b–a) घंटे (जब b > a)।

• कार्य शेष सूत्र: यदि *n* दिन का कार्य शेष है और कोई व्यक्ति प्रति दिन 1/a दर से काम करता है, तो शेष कार्य = कुल कार्य का n/a।

• दक्षता-आधारित समय: यदि A:B की दक्षता = m:n, तो A:B द्वारा लिया गया समय = n:m।

कार्यित उदाहरण

उदाहरण 1: बुनियादी संयुक्त कार्य A किसी काम को 15 दिनों में पूरा कर सकता है और B को 20 दिनों में। एक साथ काम करते हुए उन्हें कितना समय लगेगा?

*समाधान*:

• A का एक दिन का कार्य = 1/15
• B का एक दिन का कार्य = 1/20
• संयुक्त एक दिन का कार्य = 1/15 + 1/20 = (4+3)/60 = 7/60
• एक साथ लिया गया समय = 1 ÷ (7/60) = 60/7 = 8(4/7) दिन

वैकल्पिक रूप से प्रत्यक्ष सूत्र का उपयोग करते हुए: समय = (15×20)/(15+20) = 300/35 = 60/7 दिन।

उदाहरण 2: पाइप और टंकी एक पाइप टंकी को 6 घंटे में भरता है। दूसरी पाइप इसे 10 घंटे में खाली करती है। यदि दोनों एक साथ खोले जाएँ, तो टंकी कब भर जाएगी?

*समाधान*:

• भरने की दर = प्रति घंटे 1/6 (सकारात्मक)
• खाली करने की दर = प्रति घंटे 1/10 (नकारात्मक)
• शुद्ध दर = 1/6 – 1/10 = (5–3)/30 = 2/30 = प्रति घंटे 1/15
• भरने का समय = 1 ÷ (1/15) = 15 घंटे

उदाहरण 3: वैकल्पिक कार्य पैटर्न A काम को 12 दिनों में कर सकता है और B को 18 दिनों में। वे A से शुरू करते हुए वैकल्पिक दिनों पर काम करते हैं। काम कितने दिनों में पूरा होगा?

*समाधान*:

• A का एक दिन का कार्य = 1/12, B का एक दिन का कार्य = 1/18
• 2-दिन के चक्र में काम (A दिन 1 पर काम करता है, B दिन 2 पर काम करता है) = 1/12 + 1/18 = (3+2)/36 = 5/36
• 7 पूर्ण चक्रों में (14 दिन): किया गया कार्य = 7 × 5/36 = 35/36
• शेष कार्य = 1 – 35/36 = 1/36
• दिन 15 पर, A काम करता है: A एक दिन में 1/12 पूरा करता है, तो 1/36 कार्य के लिए, समय = (1/36)/(1/12) = 1/3 दिन
• कुल समय = 14 + 1/3 = 14(1/3) दिन

उदाहरण 4: मनुष्य-दिन समस्या 12 आदमी किसी काम को 15 दिनों में पूरा कर सकते हैं। 5 दिन के बाद, 3 आदमी चले जाते हैं। काम कितने और दिनों में पूरा होगा?

*समाधान*:

• कुल कार्य = 12 × 15 = 180 मनुष्य-दिन
• 5 दिनों में किया गया कार्य = 12 × 5 = 60 मनुष्य-दिन
• शेष कार्य = 180 – 60 = 120 मनुष्य-दिन
• बचे हुए आदमी = 12 – 3 = 9
• आवश्यक दिन = 120/9 = 13(1/3) दिन

सामान्य गलतियाँ

गलती 1: *दरों की जगह समय को जोड़ना* → जब A को 10 दिन लगते हैं और B को 15 दिन लगते हैं, तो छात्र गलती से संयुक्त समय के रूप में 10+15=25 दिन जोड़ते हैं। समाधान: दरों को जोड़ें (1/10 + 1/15), फिर समय के लिए पारस्परिक लें।

गलती 2: *पाइप समस्याओं में नकारात्मक कार्य को भूलना* → खाली करने वाली पाइपों को अतिरिक्त भरने वाली पाइपों के रूप में मानना। समाधान: हमेशा भर