अनुपात और समानुपात — SSC GD अध्ययन नोट्स

अवलोकन

अनुपात और समानुपात SSC GD प्राथमिक गणित में एक उच्च-प्राप्ति वाला विषय है। यह प्रति पत्र सीधे 2–3 प्रश्नों में दिखाई देता है और लाभ-हानि, समय-कार्य, मिश्रण-मिश्रण और साझेदारी समस्याओं की नींव बनाता है। उम्मीदवार अक्सर यहाँ अंक खोते हैं न कि क्योंकि अवधारणाएँ कठिन हैं, बल्कि इसलिए कि वे अनुपात सरलीकरण में जल्दबाजी करते हैं या इकाई जाँच छोड़ते हैं।

इस विषय में महारत हासिल करने का मतलब है तीन मूल विचारों को समझना: अनुपात क्या प्रतिनिधित्व करते हैं (मात्राओं के बीच तुलना), समानुपात कैसे काम करते हैं (दो अनुपातों की समानता), और यौगिक अनुपात और साझेदारी विभाजन मूल अनुपात तर्क को कैसे विस्तारित करते हैं। SSC GD की अपेक्षा है कि आप इन समस्याओं को एक मिनट से कम समय में हल कर सकें, इसलिए मानक विधियों—एकात्मक विधि, क्रॉस-गुणन, और अनुपात-साझा सूत्र—में प्रवाहता आवश्यक है।

SSC GD के लिए, समस्याएँ सरल होती हैं यदि आप सूत्र जानते हैं और मानसिक अंकगणित का अभ्यास करते हैं। परीक्षा जटिल बहु-चरणीय अनुपात श्रृंखलाएँ नहीं पूछती; इसके बजाय, यह परीक्षण करता है कि क्या आप अनुपात संबंध को जल्दी से देख सकते हैं, समीकरण को सही तरीके से सेट कर सकते हैं, और अंकगणितीय त्रुटियों के बिना उत्तर की गणना कर सकते हैं।

मुख्य अवधारणाएँ

• अनुपात एक ही प्रकार की दो मात्राओं की तुलना है, जिसे a:b या a/b के रूप में लिखा जाता है। 3:5 का अनुपात का मतलब है कि पहली मात्रा 3 भाग है और दूसरी कुल 8 भागों में से 5 भाग है।

• समानुपात कहता है कि दो अनुपात बराबर हैं: a:b = c:d या a/b = c/d। क्रॉस-गुणन गुण ad = bc समानुपात समस्याओं को हल करने का मुख्य साधन है।

• यौगिक अनुपात दो या अधिक अनुपातों के अंशों और हरों को गुणा करके प्राप्त अनुपात है। a:b और c:d का यौगिक अनुपात (ac):(bd) है।

• सतत अनुपात a:b:c का अर्थ है कि एक मात्रा को a, b, और c के अनुपात में भागों में विभाजित किया जाता है। यदि कुल T है, तो तीन भाग (a/(a+b+c))×T, (b/(a+b+c))×T, और (c/(a+b+c))×T हैं।

• चौथा समानुपातिक a, b, c के लिए d है जैसे कि a:b = c:d। d = (b×c)/a के लिए हल करें।

• तीसरा समानुपातिक a और b के लिए c है जैसे कि a:b = b:c। c = b²/a के लिए हल करें।

• माध्य समानुपातिक (ज्यामितीय माध्य) a और b के बीच √(ab) है। यह a:m = m:b को संतुष्ट करता है।

• साझेदारी समस्याएँ निवेश के अनुपात में लाभ या हानि को वितरित करती हैं। यदि दो भागीदार I₁ और I₂ को क्रमश: T₁ और T₂ समय के लिए निवेश करते हैं, तो लाभ (I₁×T₁):(I₂×T₂) के अनुपात में साझा किया जाता है। समान समय के लिए, लाभ के शेयर सीधे निवेशों के अनुपात में होते हैं।

सूत्र / मुख्य तथ्य

• अनुपात सरलीकरण: a:b को निम्नतम पदों तक कम करने के लिए दोनों पदों को उनके HCF से विभाजित करें।
• समानुपात गुण: यदि a:b = c:d, तो ad = bc (क्रॉस-गुणन)।
• घटक-विभाजन: यदि a/b = c/d, तो (a+b)/(a−b) = (c+d)/(c−d)। SSC GD में शायद ही कभी आवश्यक है लेकिन तेजी से बीजगणित के लिए उपयोगी है।
• a:b और c:d का यौगिक अनुपात: (a×c):(b×d)।
• अनुपात-साझा सूत्र: यदि एक राशि S को a:b के अनुपात में विभाजित किया जाता है, तो दोनों भाग (a/(a+b))×S और (b/(a+b))×S हैं।
• साझेदारी (समान समय): लाभ अनुपात = निवेश अनुपात। यदि A ₹x निवेश करता है और B ₹y निवेश करता है, तो लाभ x:y में साझा किया जाता है।
• साझेदारी (भिन्न समय): लाभ अनुपात = (निवेश × समय) अनुपात। यदि A ₹x को t₁ महीने के लिए निवेश करता है और B ₹y को t₂ महीने के लिए निवेश करता है, तो लाभ (x×t₁):(y×t₂) में साझा किया जाता है।
• चौथा समानुपातिक: a:b = c:d के लिए, d = (b×c)/a।
• तीसरा समानुपातिक: a:b = b:c के लिए, c = b²/a।
• माध्य समानुपातिक: a और b के बीच √(ab) है।

कार्य किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: बुनियादी अनुपात विभाजन ₹8400 को A और B के बीच 3:4 के अनुपात में विभाजित करें।

समाधान: कुल भाग = 3 + 4 = 7। A का शेयर = (3/7) × 8400 = ₹3600। B का शेयर = (4/7) × 8400 = ₹4800। उत्तर: A को ₹3600 मिलते हैं, B को ₹4800 मिलते हैं।

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उदाहरण 2: समानुपात और चौथा समानुपातिक 6, 8, और 9 के लिए चौथा समानुपातिक ज्ञात करें।

समाधान: मान लीजिए चौथा समानुपातिक x है। तब 6:8 = 9:x ⇒ 6x = 8 × 9 = 72 ⇒ x = 72/6 = 12। उत्तर: 12।

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उदाहरण 3: समान समय के साथ साझेदारी A और B ₹5000 और ₹7000 के निवेश के साथ एक व्यवसाय शुरू करते हैं। एक साल के बाद, उन्हें ₹3600 का लाभ मिलता है। A का शेयर ज्ञात करें।

समाधान: निवेश अनुपात = 5000:7000 = 5:7। कुल भाग = 5 + 7 = 12। A का शेयर = (5/12) × 3600 = ₹1500। उत्तर: ₹1500।

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उदाहरण 4: भिन्न समय के साथ साझेदारी A ₹6000 को 4 महीने के लिए निवेश करता है और B ₹8000 को 6 महीने के लिए निवेश करता है। उन्हें ₹3400 का लाभ मिलता है। B का शेयर ज्ञात करें।

समाधान: लाभ अनुपात = (6000×4):(8000×6) = 24000:48000 = 1:2। कुल भाग = 1 + 2 = 3। B का शेयर = (2/3) × 3400 = ₹2266.67 (लगभग ₹2267)। उत्तर: ₹2267।

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उदाहरण 5: यौगिक अनुपात यदि दो अनुभागों में लड़कों और लड़कियों का अनुपात क्रमशः 3:2 और 5:4 है, तो यौगिक अनुपात ज्ञात करें।

समाधान: यौगिक अनुपात = (3×5):(2×4) = 15:8। उत्तर: 15:8।

सामान्य गलतियाँ

• हरों को जोड़ना भूलना: जब किसी राशि को a:b के अनुपात में विभाजित किया जाता है, तो छात्र अक्सर a/b × राशि की गणना करते हैं a/(a+b) × राशि के बजाय। कुल भाग खोजने के लिए पहले हमेशा अनुपात पदों को जोड़ें।

• साझेदारी में समय और निवेश को मिलाना: यदि दो भागीदार विभिन्न अवधियों के लिए निवेश करते हैं, तो लाभ (निवेश × समय) पर निर्भर करता है, केवल निवेश पर नहीं। प्रश्न को सावधानी से पढ़ें—समान समय का अर्थ है समय को अनदेखा करें; भिन्न समय का अर्थ है प्रत्येक निवेश को उसके समय से गुणा करें।

• क्रॉस-गुणन त्रुटियाँ: a:b = c:d में, सही समीकरण ad = bc है, न कि ac = bd। इसे स्पष्ट रूप से लिखें ताकि पदों को पलटने से बचें।

• अनुपातों को सरल न करना: 4000:6000 को 2:3 के बजाय उत्तर के रूप में छोड़ना अव्यावहारिक दिखता है और एकाधिक-चयन मिलान में समय बर्बाद करता है। HCF द्वारा भागने से हमेशा अनुपातों को निम्नतम पदों तक कम करें।

• इकाई असंगति: यदि एक मात्रा kg में है और दूसरी ग्राम में है, तो अनुपात बनाने से पहले दोनों को एक ही इकाई में परिवर्तित करें। एक अनुपात केवल समान मात्राओं की तुलना करता है; इकाइयों को मिलाने से एक अर्थहीन संख्या मिलती है।

त्वरित संदर्भ

• अनुपात a:b का मतलब है कि पहला भाग कुल का (a/(a+b)) है, दूसरा भाग कुल का (b/(a+b)) है।
• समानुपात: a:b = c:d ⇒ ad = bc। अज्ञात पद को हल करने के लिए क्रॉस-गुणन का उपयोग करें।
• a:b और c:d का यौगिक अनुपात (ac