अनुपात और समानुपात — अध्ययन नोट्स

परिचय

अनुपात और समानुपात SSC CGL की बहुत सारी मात्रात्मक योग्यता समस्याओं की आधारशिला हैं। यह विषय Tier 1 में सीधे 2–3 प्रश्नों के लिए जिम्मेदार है, लेकिन इसके अनुप्रयोग लाभ-हानि, समय-कार्य, मिश्रण-alligation और साझेदारी प्रश्नों तक विस्तृत हैं। अनुपात में हेरफेर, समानुपात समीकरण और यौगिक अनुपात अवधारणाओं की दृढ़ समझ आवश्यक है।

परीक्षा अनुपात समीकरणों को तेजी से हल करने की क्षमता, कई-अनुपात समस्याओं को संभालने की (विशेषकर साझेदारी परिदृश्यों में), और लाभ विभाजित करना, मात्राओं की तुलना करना और सामग्री मिलाना जैसी वास्तविक स्थितियों में अनुपात सिद्धांतों को लागू करने की परीक्षा लेती है। यहाँ महारत का अर्थ है कई QA खंडों में तेजी से गणनाएँ और कम त्रुटियाँ। सटीक भिन्न कार्य, क्रॉस-गुणन गति और सीधे बनाम विपरीत समानुपात का उपयोग कब करना है, इसे पहचानने पर ध्यान केंद्रित करें।

प्रमुख अवधारणाएँ

• अनुपात दो समान प्रकार की मात्राओं के बीच संबंध को भागफल के रूप में व्यक्त करता है: a:b = a/b। अनुपात इकाई रहित हैं; 2 kg : 4 kg को 1:2 में सरल किया जाता है।
• समानुपात कहता है कि दो अनुपात समान हैं: a:b = c:d या a/b = c/d। एक समानुपात में, चरम पदों का गुणनफल माध्य पदों के गुणनफल के बराबर होता है: a × d = b × c।
• यौगिक अनुपात दो या अधिक अनुपातों से संबंधित पदों के गुणनफल का अनुपात है। यदि A से B का अनुपात m:n है और B से C का p:q है, तो यौगिक अनुपात A:B:C गुणा करके प्राप्त किया जाता है। दो अनुपातों a:b और c:d के लिए, यौगिक अनुपात (a×c):(b×d) है।
• समानुपाती समानुपात: जब एक राशि बढ़ता है, दूसरी आनुपातिक रूप से बढ़ता है (x₁/y₁ = x₂/y₂)। विपरीत समानुपात: जब एक बढ़ता है, दूसरा घटता है (x₁ × y₁ = x₂ × y₂)।
• द्विगुण अनुपात a:b का a²:b² है। त्रिगुण अनुपात a³:b³ है। उप-द्विगुण √a:√b है। ये ज्यामिति और क्षेत्र/आयतन तुलना में दिखाई देते हैं।
• साझेदारी समस्याएँ लाभ/हानि को विभाजित करने के लिए अनुपात का उपयोग करती हैं। सरल साझेदारी में, लाभ निवेश की गई पूंजी के अनुपात में विभाजित होता है। यौगिक साझेदारी में, लाभ अनुपात (capital₁ × time₁) : (capital₂ × time₂) के बराबर होता है।
• निरंतर अनुपात तीन या अधिक मात्राओं को एक ही अभिव्यक्ति में संयोजित करता है जैसे A:B:C = 2:3:5, जिसका मतलब है कि यदि कुल भाग = 2+3+5 = 10, तो A को कुल का 2/10 मिलता है।
• चौथा समानुपाती: यदि a:b = c:x है, तो x चौथा समानुपाती है = (b × c)/a। a, b का तीसरा समानुपाती x है जहाँ a:b = b:x है, जो x = b²/a देता है।

सूत्र / प्रमुख तथ्य

1. आधारभूत समानुपात: यदि a:b = c:d है, तो a×d = b×c (क्रॉस-गुणन)। 2. Componendo-Dividendo: यदि a/b = c/d है, तो (a+b)/(a−b) = (c+d)/(c−d)। तेज अनुपात हेरफेर के लिए उपयोगी। 3. माध्य समानुपाती a और b के बीच: √(a×b)। यदि a, m, b निरंतर समानुपात में हैं, तो m² = a×b। 4. अनुपात m:n में राशि को विभाजित करना: पहला भाग = (m/(m+n))×कुल; दूसरा भाग = (n/(m+n))×कुल। 5. a:b और c:d का यौगिक अनुपात: (a×c):(b×d)। तीन अनुपातों a:b, c:d, e:f के लिए, यौगिक (a×c×e):(b×d×f) है। 6. साझेदारी सूत्र: लाभ शेयर अनुपात = (Capital₁ × Time₁) : (Capital₂ × Time₂)। यदि समय समान है, तो अनुपात पूंजी अनुपात के बराबर है। 7. विपरीत समानुपात सूत्र: यदि x व्यक्ति y दिनों में काम करते हैं, तो x₁×y₁ = x₂×y₂ जहाँ सबस्क्रिप्ट अलग-अलग परिदृश्य दर्शाता है। 8. Alligation लिंक: जब दो घटकों को अलग-अलग कीमत/शक्ति के साथ मिलाया जाता है, तो मिलाई गई मात्राओं का अनुपात माध्य मान से अंतर के विपरीत आनुपातिक होता है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: यदि A:B = 2:3 और B:C = 4:5 है, तो A:B:C ज्ञात करें।

*समाधान*: दोनों अनुपातों में B को समान बनाएँ। B पहले में 3 और दूसरे में 4 के रूप में दिखाई देता है। LCM(3,4) = 12। पहले अनुपात को 4 से गुणा करें: A:B = 8:12। दूसरे अनुपात को 3 से गुणा करें: B:C = 12:15। अब दोनों में B = 12। संयुक्त: A:B:C = 8:12:15।

उदाहरण 2: तीन साझेदार A, B, C क्रमशः ₹4000, ₹6000, ₹8000 को 6 महीने, 4 महीने, 3 महीने के लिए निवेश करते हैं। ₹7400 का लाभ विभाजित करें।

*समाधान*: लाभ अनुपात = (4000×6) : (6000×4) : (8000×3) = 24000 : 24000 : 24000 = 1:1:1। प्रत्येक साझेदार को ₹7400/3 = ₹2466.67 मिलता है (परीक्षा उत्तर में लगभग ₹2467)।

उदाहरण 3: 3, 8, 9 का चौथा समानुपाती है?

*समाधान*: चौथा समानुपाती x मान लें। फिर 3:8 = 9:x। क्रॉस-गुणा करें: 3x = 8×9 = 72। x = 72/3 = 24।

उदाहरण 4: एक कक्षा में लड़कों और लड़कियों का अनुपात 5:3 है। यदि 4 और लड़के शामिल होते हैं, तो अनुपात 2:1 हो जाता है। मूल छात्रों की संख्या ज्ञात करें।

*समाधान*: लड़के = 5x, लड़कियाँ = 3x मान लें। 4 लड़कों के शामिल होने के बाद: (5x+4)/3x = 2/1। क्रॉस-गुणा करें: 5x + 4 = 6x। x = 4। मूल छात्र = 5(4) + 3(4) = 20 + 12 = 32।

सामान्य गलतियाँ

1. सामान्य पदों को समान किए बिना अनुपात को मिलाना → जब A:B और B:C को संयोजित करते हैं, तो छात्र दोनों में B को समान बनाना भूल जाते हैं। हमेशा सामान्य पद के मानों का LCM ढूंढें और दोनों अनुपातों को तदनुसार स्केल करें।

2. साझेदारी में समय कारक को भूलना → छात्र केवल निवेश की गई पूंजी द्वारा लाभ को विभाजित करते हैं, अवधि को अनदेखा करते हैं। हमेशा अनुपात खोजने से पहले पूंजी को समय अवधि (महीने/वर्ष) से गुणा करें।

3. समानुपाती और विपरीत समानुपात को भ्रमित करना → विपरीत संबंधों के लिए x₁/y₁ = x₂/y₂ का उपयोग करना (जैसे अधिक कार्यकर्ता, कम समय)। याद रखें: विपरीत का मतलब x₁×y₁ = x₂×y₂ है।

4. गलत कुल भाग की गणना → अनुपात 3:4:5 में, कुल भाग 3+4+5 = 12 है, 3×4×5 नहीं। प्रत्येक शेयर = (अनुपात भाग / कुल भाग) × कुल राशि।

5. द्विगुण/त्रिगुण अनुपात भ्रम → 2:3 का द्विगुण अनुपात 4:9 है (प्रत्येक पद को वर्ग करें), 4:6 नहीं (दोगुना करना)। उप-द्विगुण √2:√3 है, 1:1.5 नहीं।

त्वरित संदर्भ

• क्रॉस-गुणन: a:b = c:d ⇒ ad = bc (सबसे तेज समाधान विधि)
• अनुपात संयोजित करना: सामान्य पद को LCM से समान करें, फिर मिलाएँ
• साझेदारी लाभ = (पूंजी × समय) अनुपात
• a, b, c का चौथा समानुपाती = (b×c)/a
• कुल T को अनुपात m:n में विभाजित करें → भाग mT/(m+n) और nT/(m+n) हैं
• यौगिक अनुपात (a:b)(c:d) = ac:bd (संबंधित पदों को गुणा करें)