मिश्रण और आलिगेशन — SSC CGL अध्ययन नोट्स

Overview

मिश्रण और आलिगेशन SSC CGL मात्रात्मक योग्यता में एक उच्च-प्रभावी विषय है, जो आमतौर पर प्रति पेपर 1–2 प्रश्न योगदान देता है। यह विषय दो या अधिक घटकों को विशिष्ट अनुपातों में जोड़ने और यह समझने से संबंधित है कि उनके व्यक्तिगत गुण (कीमत, सांद्रता, शक्ति) कैसे मिश्रण के औसत गुणों को बनाते हैं।

इस विषय में महारत आवश्यक है क्योंकि प्रश्न प्रत्यक्ष अनुपात-गणना के रूप में और प्रतिस्थापन, दोहराया मिश्रण, या इष्टतम संयोजन खोजने से जुड़ी शब्द समस्याओं के रूप में दोनों प्रकार के होते हैं। आलिगेशन नियम एक शॉर्टकट विधि प्रदान करता है जो लंबी बीजीय हेराफेरी को समाप्त करता है, जो समय के दबाव में अमूल्य है। छात्रों को दृश्य क्रॉस-विधि आरेख के साथ सहज होना चाहिए और यह पहचानना चाहिए कि भारित औसत अवधारणा के विरुद्ध आलिगेशन शॉर्टकट कब लागू करें।

परीक्षित मूल मक्षता अनुपात संबंध सही तरीके से सेट करने, प्रतिशत-से-अनुपात रूपांतरण संभालने, और मिश्रण के गुणों से घटक मात्रा या उनके अनुपात खोजने के लिए पिछड़ी ओर काम करने की आपकी क्षमता है।

मुख्य अवधारणाएं

• Mixture: दो या अधिक घटकों (तरल, धातु, सामग्री) का संयोजन जो एक साथ मिश्रित होते हैं। परिणामी मिश्रण में गुण होते हैं जो इसके घटकों का भारित औसत होते हैं।

• Alligation: एक विधि दो या अधिक घटकों को विभिन्न कीमतों या सांद्रता पर मिलाने के लिए वांछित माध्य मान के साथ एक मिश्रण प्राप्त करने के लिए अनुपात निर्धारित करने के लिए। आलिगेशन नियम मानों के क्रॉस-अंतर का उपयोग करता है।

• Mean Price/Concentration: जब घटक A और B के मान a और b को अनुपात m:n में मिलाया जाता है, तो मिश्रण का मान = (m×a + n×b)/(m+n)। यह भारित औसत सिद्धांत है।

• Alligation Rule (Cross-Method): C₁ और C₂ मानों के साथ दो घटकों को M माध्य मान के साथ मिश्रण प्राप्त करने के लिए मिलाने के लिए, मात्रा का अनुपात (M − C₂):(C₁ − M) है। नेत्रहीन एक क्रॉस आरेख के रूप में दर्शाया गया है जहां आप विकर्ण रूप से घटाते हैं।

• Replacement: जब मिश्रण का एक हिस्सा हटाया जाता है और इसके शुद्ध घटकों में से एक के साथ बदला जाता है, तो उस घटक की सांद्रता बदलती है। प्रत्येक बार अंश f के n प्रतिस्थापन के बाद, अंतिम मात्रा = प्रारंभिक × (1 − f)ⁿ गैर-प्रतिस्थापित घटक के लिए।

• Percentage to Ratio: 40% A और 60% B वाले मिश्रण में A:B = 40:60 = 2:3 होता है। आसान गणना के लिए अनुपातों को हमेशा सबसे सरल रूप में कम करें।

• Successive Mixing: जब मिश्रण चरणों में संयुक्त होते हैं, तो प्रत्येक चरण पर भारित औसत सिद्धांत लागू करें या iteratively आलिगेशन का उपयोग करें।

सूत्र / मुख्य तथ्य

1. Alligation Formula: माध्य M को C₁ और C₂ से प्राप्त करने के लिए, अनुपात में मिलाएं = (M − C₂):(C₁ − M)।

2. Weighted Average: यदि मात्रा Q₁ और Q₂ को मान V₁ और V₂ के साथ मिलाया जाता है, तो माध्य मान = (Q₁V₁ + Q₂V₂)/(Q₁ + Q₂)।

3. Single Replacement Formula: एक प्रतिस्थापन के बाद एक घटक की अंतिम मात्रा = प्रारंभिक मात्रा × (1 − हटाया गया अंश)।

4. Multiple Replacements: n समान प्रतिस्थापन के बाद अंश f, गैर-प्रतिस्थापित घटक की शेष मात्रा = प्रारंभिक × (1 − f)ⁿ।

5. Milk-Water Ratio Conversion: यदि milk:water = a:b, तो milk% = [a/(a+b)]×100 और water% = [b/(a+b)]×100।

6. Cost Price in Alligation: लक्ष्य बिक्री मूल्य या लाभ मार्जिन प्राप्त करने के लिए विभिन्न लागतों पर वस्तुओं को मिलाते समय, C₁ और C₂ के रूप में लागत कीमतों का उपयोग करें।

7. Concentration Problems: शुद्ध पदार्थ में 100% सांद्रता होती है; शुद्ध dilutant (पानी, तेल) में सक्रिय घटक का 0% होता है।

8. Ratio Addition: जब A:B = m:n को C:D = p:q के साथ मात्रा x और y में मिलाया जाता है, तो संयुक्त मिश्रण के लिए प्रत्येक घटक के कुल को खोजने की आवश्यकता होती है।

हल किए गए उदाहरण

Example 1: Basic Alligation Problem: एक व्यापारी ₹30/kg वाले चावल को ₹40/kg वाले चावल के साथ मिलाता है और ₹35/kg पर मिश्रण बेचता है। उन्हें किस अनुपात में मिलाना चाहिए?

Solution: आलिगेशन नियम का उपयोग करते हुए: C₁ = 30 (सस्ता), C₂ = 40 (महंगा), M = 35 (माध्य) Ratio = (M − C₂):(C₁ − M) = (35 − 40):(30 − 35) = (−5):(−5) निरपेक्ष मान लेते हुए: 5:5 = 1:1

Answer: अनुपात 1:1 में मिलाएं।

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Example 2: Percentage Concentration Problem: 8% पानी वाले 60 लीटर दूध में कितना पानी मिलाया जाए ताकि इसमें 20% पानी हो?

Solution: प्रारंभिक: 8% पानी का अर्थ 92% दूध है। अंतिम: 20% पानी का अर्थ 80% दूध है। दूध की मात्रा स्थिर रहती है = 60 × 0.92 = 55.2 लीटर। यदि अंतिम मिश्रण में 80% दूध है: कुल मिश्रण = 55.2/0.80 = 69 लीटर। मिलाया जाने वाला पानी = 69 − 60 = 9 लीटर।

Answer: 9 लीटर।

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Example 3: Replacement Problem Problem: एक कंटेनर में 40 लीटर दूध है। 4 लीटर निकाले जाते हैं और पानी से बदले जाते हैं। यह दो बार किया जाता है। अंतिम दूध की मात्रा क्या है?

Solution: प्रत्येक बार हटाया गया अंश = 4/40 = 1/10। पहले प्रतिस्थापन के बाद: दूध = 40 × (1 − 1/10) = 40 × 9/10 = 36 लीटर। दूसरे प्रतिस्थापन के बाद: दूध = 36 × 9/10 = 32.4 लीटर। या सीधे: दूध = 40 × (9/10)² = 40 × 81/100 = 32.4 लीटर।

Answer: 32.4 लीटर।

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Example 4: Three-Component Mixture (Iterative Alligation) Problem: ₹20, ₹30, और ₹40 प्रति लीटर में तरल मिलाएं ताकि ₹28 प्रति लीटर का मिश्रण प्राप्त हो। यदि पहले दो अनुपात 2:3 में हैं, तो सभी तीन का अनुपात खोजें।

Solution: Step 1: ₹20 और ₹30 को अनुपात 2:3 में मिलाएं। इस मिश्रण का माध्य = (2×20 + 3×30)/5 = (40+90)/5 = 26। Step 2: अब इस ₹26 मिश्रण को ₹40 के साथ मिलाएं ताकि ₹28 प्राप्त हो। आलिगेशन का उपयोग करते हुए: (28−40):(26−28) = (−12):(−2) = 12:2 = 6:1। तो ₹26 mixture : ₹40 = 6:1। चूंकि ₹26 mixture में ₹20:₹30 = 2:3 है, इसे 6 भागों से स्केल करें। अंतिम अनुपात ₹20:₹30:₹40 = 12:18:5।

Answer: 12:18:5।

आम गलतियां

Mistake 1: आलिगेशन में कौन सा मान घटाना है यह भ्रमित करना → Fix: क्रॉस-विधि में हमेशा विकर्ण रूप से घटाएं: (माध्य − निम्न मान):(उच्च मान − माध्य)। दोनों अंतर सकारात्मक होने चाहिए।

Mistake 2: प्रतिशत को वास्तविक मात्रा में परिवर्तित नहीं करना → Fix: प्रतिशत के साथ व्यवहार करते समय, पहले प्रत्येक घटक की वास्तविक मात्रा खोजें। 100L के 25% समाधान में 25L विलेय है, मिश्रण का 25% नहीं।

Mistake 3: सरल औसत के बजाय भारित औसत का उपयोग न करना → Fix: यदि 2L का ₹30 तरल 3L के ₹40 तरल के साथ मिश्रित होता है, तो माध्य ≠ (30+40)/2। (2×30 + 3×40)/(2+3) = 36 का उपयोग करें।

Mistake 4: प्रतिस्थापन सूत्र का गलत अनुप्रयोग → Fix: सूत्र Final = Initial × (1−f)ⁿ केवल उस घटक पर लागू होता है जो जोड़ा नहीं जा रहा है। जोड़े गए घटक का पैटर्न अलग होता है।

Mistake 5: अनुपातों को सरल बनाना भूलना → Fix: अनुपातों को हमेशा सबसे सरल रू