अध्ययन नोट्स: अनुपात और समानुपात

अवलोकन

अनुपात और समानुपात RRB NTPC गणित में एक मौलिक विषय है, जो हर साल 4–6 प्रश्नों में दिखाई देता है। यह विषय आपकी मात्राओं की तुलना करने, संसाधनों को साझा करने, और भागीदारी/मिश्रण समस्याओं को हल करने की क्षमता का परीक्षण करता है। इस विषय में महारत आपकी गति को लाभ-हानि, समय-कार्य, और मिश्रण-alligation प्रश्नों में सीधे सुधार करती है क्योंकि वे विषय अनुपात अवधारणाओं पर आधारित हैं।

परीक्षा तीन मुख्य क्षेत्रों पर केंद्रित है: मूल अनुपात संचालन और सरलीकरण, भागीदारी समस्याएँ (निवेश के आधार पर लाभ कैसे विभाजित होता है), और माध्य/तीसरी समानुपाती गणना। आप आयु, धन विभाजन, घटक मिश्रण, और व्यावसायिक परिस्थितियों से संबंधित शब्द समस्याओं का भी सामना करेंगे। अच्छा स्कोर करने की कुंजी समस्या विवरण में छिपे अनुपात पैटर्न को पहचानना और समीकरण को सही तरीके से स्थापित करना है। अधिकांश त्रुटियाँ गणना चरण में नहीं, बल्कि सेटअप चरण में होती हैं।

शब्द समस्याओं को 10–15 सेकंड के भीतर अनुपात संकेतन में परिवर्तित करने का अभ्यास करें। एक बार जब आप "A का हिस्सा 3 भाग है जब B का 5 भाग है" से "A:B = 3:5" लिख सकें, तो बाकी सब कुछ यांत्रिक अंकगणित बन जाता है। यह विषय shortcuts के बजाय व्यवस्थित दृष्टिकोण को पुरस्कृत करता है।

मुख्य अवधारणाएँ

• अनुपात व्यक्त करता है कि एक मात्रा दूसरी में कितनी बार समाहित है। यदि A:B = 3:5, तो A = 3x और B = 5x कुछ सामान्य गुणक x के लिए। अनुपात निरपेक्ष मानों को नहीं बताता, केवल सापेक्ष अनुपात को।

• समानुपात दो अनुपातों का एक समीकरण है: a:b = c:d का मतलब a/b = c/d है, जो ad = bc देता है (cross-multiplication गुण)। जब तीन पद ज्ञात हों तो किसी एक अज्ञात को खोजने के लिए इसका उपयोग करें।

• मिश्रित अनुपात दो अनुपातों a:b और c:d का ac:bd है। तीन अनुपातों a:b, c:d, e:f के लिए, मिश्रित अनुपात ace:bdf है। यह तब दिखाई देता है जब कई शर्तों को जोड़ा जाता है (उदाहरण के लिए, विभिन्न समयों पर आयु अनुपात)।

• Duplicate ratio a:b का a²:b² है। Triplicate ratio a³:b³ है। Sub-duplicate ratio √a:√b है। ये शायद ही कभी सीधे दिखाई देते हैं लेकिन ज्यामिति mensuration समस्याओं में हो सकते हैं।

• माध्य समानुपाती a और c के बीच b है जहाँ a:b = b:c, जो b² = ac देता है, इसलिए b = √(ac)। a और b के लिए तीसरा समानुपाती c है जहाँ a:b = b:c। a, b, c के लिए चौथा समानुपाती d है जहाँ a:b = c:d।

• भागीदारी समस्याएँ लाभ/हानि को (पूंजी × समय) के अनुपात में विभाजित करती हैं। यदि A ₹3000 को 4 महीने के लिए निवेश करता है और B ₹5000 को 6 महीने के लिए निवेश करता है, लाभ अनुपात = (3000×4):(5000×6) = 12000:30000 = 2:5।

• Componendo-dividendo में, यदि a/b = c/d, तो (a+b)/(a−b) = (c+d)/(c−d)। कुछ अनुपात समीकरणों को जल्दी हल करने के लिए उपयोगी, हालाँकि यदि आप cross-multiplication के साथ सहज हैं तो आवश्यक नहीं।

• प्रत्यक्ष अनुपात: जब A बढ़ता है, B आनुपातिक रूप से बढ़ता है (कार्यकर्ता और उत्पादन)। प्रतिलोम अनुपात: जब A बढ़ता है, B घटता है (निश्चित दूरी के लिए गति और समय)। समीकरण स्थापित करने से पहले प्रकार की पहचान करें।

सूत्र / मुख्य तथ्य

• a:b = c:d ⇔ a/b = c/d ⇔ ad = bc — Cross-multiplication मुख्य पहचान है।
• a:b और c:d का मिश्रित अनुपात = ac:bd — अंश और हर को अलग से गुणा करें।
• यदि A:B = m:n, तो A = m/(m+n) × Total और B = n/(m+n) × Total — अनुपात से वास्तविक राशि में सीधा रूपांतरण।
• a और c के बीच माध्य समानुपाती: b = √(ac) — जब तीन मात्राएँ सतत अनुपात बनाती हैं।
• a, b के लिए तीसरा समानुपाती c है जहाँ b² = ac ⇒ c = b²/a।
• a, b, c के लिए चौथा समानुपाती d है जहाँ a:b = c:d ⇒ d = bc/a।
• भागीदारी लाभ अनुपात = (Capital₁ × Time₁):(Capital₂ × Time₂):... — निवेश राशि और अवधि दोनों मायने रखते हैं।
• a:b का Duplicate ratio = a²:b²; Sub-duplicate = √a:√b।
• Componendo-dividendo: a/b = c/d ⇒ (a+b)/(a−b) = (c+d)/(c−d) — नीले अनुपात समीकरणों को सरल करने में मदद करता है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: मूल अनुपात विभाजन ₹7200 को A, B, C में 2:3:4 के अनुपात में विभाजित करें। *समाधान:* कुल भाग = 2 + 3 + 4 = 9। A का हिस्सा = (2/9) × 7200 = ₹1600। B का हिस्सा = (3/9) × 7200 = ₹2400। C का हिस्सा = (4/9) × 7200 = ₹3200। जाँच: 1600 + 2400 + 3200 = 7200 ✓

उदाहरण 2: भागीदारी समस्या A ₹40,000 को 6 महीने के लिए निवेश करता है, B ₹50,000 को 8 महीने के लिए निवेश करता है। यदि कुल लाभ ₹13,600 है, तो प्रत्येक व्यक्ति का हिस्सा खोजें। *समाधान:* लाभ अनुपात = (40000 × 6):(50000 × 8) = 240000:400000 = 3:5 (दोनों को 80000 से विभाजित करें)। कुल भाग = 3 + 5 = 8। A का लाभ = (3/8) × 13600 = ₹5100। B का लाभ = (5/8) × 13600 = ₹8500।

उदाहरण 3: माध्य समानुपाती 9 और 25 के बीच माध्य समानुपाती खोजें। *समाधान:* माध्य समानुपाती b = √(9 × 25) = √225 = 15। सत्यापन: 9:15 = 15:25 ⇒ 9/15 = 15/25 ⇒ 3/5 = 3/5 ✓

उदाहरण 4: मिश्रित अनुपात अनुप्रयोग लड़कों और लड़कियों का अनुपात 5:3 है, और लड़कियों और शिक्षकों का अनुपात 12:1 है। लड़कों और शिक्षकों का अनुपात खोजें। *समाधान:* सामान्य पद (लड़कियाँ) को बराबर करें: 5:3 और 12:1। पहले अनुपात को 4 से गुणा करें: (5×4):(3×4) = 20:12। अब दोनों अनुपातों में लड़कियाँ = 12। लड़के:लड़कियाँ = 20:12 और लड़कियाँ:शिक्षक = 12:1। तो लड़के:शिक्षक = 20:1।

सामान्य गलतियाँ

• गलती: अनुपातों को सीधे जोड़ना — सोचना कि 2:3 और 4:5 का योग 6:8 के बराबर है। समाधान: आप अनुपातों को भिन्नों की तरह जोड़ नहीं सकते। प्रत्येक को एक सामान्य कुल के साथ वास्तविक मात्राओं में रूपांतरित करें, या यदि दो अनुपातों को जोड़ रहे हैं तो एक सामान्य पद खोजें।

• गलती: भागीदारी समस्याओं में समय को शामिल करना भूल जाना — केवल पूंजी निवेश का उपयोग करना। समाधान: भागीदारी लाभ हमेशा (पूंजी × समय) पर निर्भर करता है। यदि समय का उल्लेख नहीं है, तो सभी भागीदारों के लिए समान अवधि मान लें।

• गलती: माध्य समानुपाती को औसत के साथ भ्रमित करना। यदि 4 और 16 का माध्य समानुपाती पूछा गया है, तो (4+16)/2 = 10 लिखना। समाधान: माध्य समानुपाती √(4×16) = √64 = 8 है, अंकगणितीय माध्य नहीं। यहाँ "माध्य" ज्यामितीय माध्य को संदर्भित करता है।

• गलती: गलत सरलीकरण — 12:18 को 10 को दोनों पदों से घटाकर 2:3 में कम करना। समाधान: हमेशा दोनों पदों को उनके HCF से विभाजित करें। 12:18 → 6 से विभाजित करें → 2:3। सरल करने के लिए कभी भी एक ही संख्या को जोड़ें/घटाएँ नहीं।

• गलती: मिश्रित अनुपात में, गुणा करने की बजाय जोड़ना। अनुपातों 2:3 और 4:5 के लिए, मिश्रित को (2+4):(3+5) = 6:8 लिखना। समाधान: मिश्रित अनुपात (2×4):(3×5) = 8:15 है। संबंधित पदों को गुणा करें।