संख्या प्रणाली — RRB NTPC अध्ययन नोट्स

सारांश

संख्या प्रणाली गणित की नींव है और RRB NTPC में उच्च-भारांश वाला विषय है। इस क्षेत्र से सीधे 3–5 प्रश्न अपेक्षित हैं, साथ ही समय-गति-दूरी, अनुपात-समानुपात और डेटा व्याख्या में कई अप्रत्यक्ष अनुप्रयोग हैं। यहाँ दक्षता पूरे गणित अनुभाग के लिए आत्मविश्वास बनाती है।

यह विषय विभिन्न संख्या श्रेणियों (प्राकृतिक, पूर्ण, पूर्णांक, परिमेय) की आपकी समझ, विभाजनीयता जांचों में आपकी गति, और कारक, गुणज, LCM और HCF को कुशलतापूर्वक खोजने की आपकी क्षमता का परीक्षण करता है। प्रश्न सीधी परिभाषाओं से लेकर बहु-चरणीय समस्याओं तक होते हैं जिनमें विभाजनीयता नियम और अभाज्य गुणनखंडन की आवश्यकता होती है। कुंजी यह है कि गुणों को अच्छे से जानें और मानसिक अंकगणित का अभ्यास करें ताकि आप समय के दबाव में हल कर सकें।

संख्या प्रणाली में मजबूत प्रदर्शन आपको ठोस मंच देता है: कई बीजगणित और अंकगणित समस्याएं अंतत: संख्या गुणों पर निर्भर करती हैं। इसे अपने वार्मअप और स्कोरिंग क्षेत्र के रूप में मानें।

मुख्य अवधारणाएँ

• प्राकृतिक संख्याएँ (N): 1 से शुरू होने वाली गणना संख्याएँ: {1, 2, 3, 4, ...}। विविक्त वस्तुओं की गणना करते समय उपयोग की जाती हैं। शून्य प्राकृतिक संख्या नहीं है।

• पूर्ण संख्याएँ (W): प्राकृतिक संख्याएँ और शून्य: {0, 1, 2, 3, ...}। उन मात्राओं का प्रतिनिधित्व करती हैं जो शून्य हो सकती हैं (जैसे खाली टोकरी में आइटम)।

• पूर्णांक (Z): सभी सकारात्मक और नकारात्मक पूर्ण संख्याएँ शून्य सहित: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}। कोई भिन्न या दशमलव नहीं।

• परिमेय संख्याएँ (Q): कोई भी संख्या जो p/q के रूप में व्यक्त की जा सकती है जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0। समाप्ति दशमलव (0.5 = 1/2) और दोहराई जाने वाली दशमलव (0.333... = 1/3) शामिल हैं। प्रत्येक पूर्णांक परिमेय है (5 = 5/1)।

• विभाजनीयता: एक संख्या a को b से विभाज्य कहा जाता है यदि a ÷ b से कोई शेषफल नहीं बचता। विभाजनीयता परीक्षण आपको पूर्ण विभाजन किए बिना इसे मानसिक रूप से जांचने में मदद करते हैं।

• कारक: संख्याएँ जो दी गई संख्या को बिल्कुल विभाजित करती हैं। 12 के लिए: कारक हैं 1, 2, 3, 4, 6, 12। हर संख्या के कम से कम दो कारक होते हैं: 1 और स्वयं।

• गुणज: एक संख्या को पूर्णांकों से गुणा करने के परिणाम। 5 के गुणज: 5, 10, 15, 20, ... एक संख्या के अनंत गुणज होते हैं।

• अभाज्य बनाम भाज्य: एक अभाज्य के बिल्कुल दो कारक होते हैं (1 और स्वयं); उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11। एक भाज्य के दो से अधिक कारक होते हैं; उदाहरण: 4, 6, 8, 9। नोट: 1 न तो अभाज्य है और न ही भाज्य; 2 एकमात्र सम अभाज्य है।

सूत्र / मुख्य तथ्य

विभाजनीयता नियम (कंठस्थ करने अनिवार्य):

• 2 से: अंतिम अंक 0, 2, 4, 6, या 8 है।
• 3 से: सभी अंकों का योग 3 से विभाज्य है। (उदाहरण: 123 → 1+2+3=6, 3 से विभाज्य।)
• 4 से: अंतिम दो अंक एक ऐसी संख्या बनाते हैं जो 4 से विभाज्य है। (उदाहरण: 316 → 16, 4 से विभाज्य है।)
• 5 से: अंतिम अंक 0 या 5 है।
• 6 से: एक साथ 2 और 3 दोनों से विभाज्य है।
• 8 से: अंतिम तीन अंक एक ऐसी संख्या बनाते हैं जो 8 से विभाज्य है।
• 9 से: सभी अंकों का योग 9 से विभाज्य है।
• 10 से: अंतिम अंक 0 है।
• 11 से: विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग के बीच अंतर 0 है या 11 से विभाज्य है। (उदाहरण: 1331 → (1+3)-(3+1)=0, 11 से विभाज्य।)

कारकों की संख्या सूत्र: यदि N = p₁^a × p₂^b × p₃^c (अभाज्य गुणनखंडन), तो कारकों की संख्या = (a+1)(b+1)(c+1)।

कारकों का योग सूत्र: N = p^a के लिए, योग = (p^(a+1) - 1)/(p - 1)। भाज्य गुणनखंडन के लिए, प्रत्येक अभाज्य शक्ति के योग सूत्रों को गुणा करें।

सहअभाज्य संख्याएँ: दो संख्याएँ जिनका HCF 1 है (1 को छोड़कर कोई सामान्य कारक नहीं)। उदाहरण: 8 और 15 सहअभाज्य हैं।

Perfect Number: एक संख्या जो अपने उचित भाजक के योग के बराबर है (स्वयं को छोड़कर)। उदाहरण: 6 = 1+2+3।

N! में trailing zeros की संख्या: N! के अभाज्य गुणनखंडन में 5 कितनी बार आता है इसकी गणना करें = floor(N/5) + floor(N/25) + floor(N/125) + ...

कार्य किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: 4872 की 8 से विभाजनीयता जांचें

चरण 1: अंतिम तीन अंक निकालें: 872। चरण 2: 872 ÷ 8 = 109 बिल्कुल जांचें। उत्तर: हाँ, 4872, 8 से विभाज्य है।

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उदाहरण 2: 360 के कारकों की संख्या खोजें

चरण 1: अभाज्य गुणनखंडन: 360 = 2³ × 3² × 5¹। चरण 2: सूत्र लागू करें: (3+1)(2+1)(1+1) = 4 × 3 × 2 = 24। उत्तर: 360 के 24 कारक हैं।

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उदाहरण 3: 1056 को 23 से विभाज्य बनाने के लिए कौन सी न्यूनतम संख्या जोड़ी जानी चाहिए?

चरण 1: 1056 को 23 से विभाजित करें: 1056 ÷ 23 = 45 शेषफल 21। चरण 2: इसे विभाज्य बनाने के लिए, हमें 23 के अगले गुणज तक पहुँचना चाहिए। चरण 3: आवश्यक जोड़ = 23 - 21 = 2। उत्तर: 2 जोड़ें (1056 + 2 = 1058, जो 46 × 23 है)।

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उदाहरण 4: 1 और 100 के बीच कितनी संख्याएँ 3 और 5 दोनों से विभाज्य हैं?

चरण 1: संख्याएँ जो 3 और 5 दोनों से विभाज्य हैं, वे LCM(3,5) = 15 से विभाज्य हैं। चरण 2: 1 और 100 के बीच 15 के गुणज: 15, 30, 45, 60, 75, 90। चरण 3: गिनती = floor(100/15) = 6। उत्तर: 6 संख्याएँ।

सामान्य गलतियाँ

गलती 1: "6 से विभाज्य" को "2 या 3 से विभाज्य" के साथ भ्रमित करना → सुधार: 6 से विभाजनीयता दोनों शर्तों को एक साथ आवश्यक करती है (सम संख्या AND अंक-योग 3 से विभाज्य)।

गलती 2: 1 को अभाज्य सोचना → सुधार: परिभाषा के अनुसार, अभाज्य के दो अलग कारक होते हैं। 1 के केवल एक कारक (स्वयं) हैं, इसलिए यह न तो अभाज्य है और न ही भाज्य।

गलती 3: 4 के लिए विभाजनीयता नियम को केवल अंतिम अंक पर लागू करना → सुधार: अंतिम दो अंक जांचें। इसी तरह, 8 के लिए अंतिम तीन अंक जांचें।

गलती 4: 9 या 3 के लिए विभाजनीयता जांचते समय अंकों के योग की गणना में त्रुटि → सुधार: योग को चरण-दर-चरण लिखें। 4857 के लिए: 4+8+5+7=24; 24÷3=8 (3 से विभाज्य), लेकिन 24÷9 पूर्ण नहीं है (9 से विभाज्य नहीं)।

गलती 5: यह भूलना कि 2 एकमात्र सम अभाज्य है → सुधार: छात्र अक्सर अभाज्य सूचियों से 2 को बाहर करते हैं या इसे भाज्य कहते हैं। याद रखें: 2 अभाज्य है, और यह सबसे छोटा अभाज्य है।

त्वरित संदर्भ

• प्राकृतिक: {1,2,3,...}; पूर्ण: {0,1,2,...}; पूर्णांक: {...,-1,0,1,...}; परिमेय: p/q रूप।
• 3 से विभाजनीयता → अंकों का योग 3 से विभाज्य; 9 से → योग 9 से विभाज्य।