LCM और HCF — RRB NTPC के लिए स्टडी नोट्स

Overview

LCM (Least Common Multiple) और HCF (Highest Common Factor, जिसे GCD भी कहते हैं) RRB NTPC गणित में अनगिनत समस्याओं को हल करने की बुनियाद हैं। ये अवधारणाएँ सीधे 2–4 प्रश्नों में आती हैं और अप्रत्यक्ष रूप से भिन्न, समय-और-कार्य चक्र, और आवर्ती घटनाओं जैसे विषयों का समर्थन करती हैं।

परीक्षा तीन मुख्य कौशलों का परीक्षण करती है: (1) अभाज्य गुणनखंड या विभाजन विधि का उपयोग करके पूर्ण संख्याओं का LCM/HCF ज्ञात करना, (2) इन्हें भिन्न और दशमलव पर लागू करना, और (3) शब्द समस्याओं को हल करना जहाँ आपको यह पहचानना चाहिए कि स्थिति में LCM (किसी सामान्य घटना या कुल मात्रा को खोजना) की आवश्यकता है या HCF (अधिकतम समान भाग या सबसे बड़ा माप खोजना)। महारत के लिए LCM और HCF के बीच के संबंध को समझना आवश्यक है, विशेषकर सूत्र LCM × HCF = दो संख्याओं का गुणनफल, जो अक्सर MCQs में गणना को शॉर्टकट करता है।

अधिकांश त्रुटियाँ शब्द समस्याओं में LCM और HCF के उपयोग को लेकर भ्रम से उत्पन्न होती हैं। मुख्य शब्दों की पहचान करना सीखें: "एक साथ," "फिर से साथ," "कम से कम" का सुझाव LCM देता है; "अधिकतम," "सबसे बड़ा," "सबसे बड़ा संभव" का सुझाव HCF देता है। 90–120 सेकंड प्रति प्रश्न के साथ, आपको अभाज्य गुणनखंड को तेज़ी से निष्पादित करना चाहिए और सूत्रों को आत्मविश्वास से लागू करना चाहिए।

Key Concepts

• HCF (Highest Common Factor) सबसे बड़ी संख्या है जो सभी दी गई संख्याओं को बिल्कुल विभाजित करती है। इसे सबसे बड़े माप के रूप में सोचें जो प्रत्येक मात्रा में बिना शेषफल के फिट होता है।

• LCM (Least Common Multiple) सबसे छोटी संख्या है जो सभी दी गई संख्याओं का गुणक है। यह वह पहला बिंदु है जहाँ सभी चक्र संरेखित होते हैं या सबसे छोटी मात्रा जो प्रत्येक संख्या से विभाज्य है।

• अभाज्य गुणनखंड विधि: प्रत्येक संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें। HCF = सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल सबसे छोटी घात के साथ; LCM = सभी अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल सबसे बड़ी घात के साथ।

• विभाजन विधि (HCF के लिए): बड़ी संख्या को छोटी संख्या से बार-बार विभाजित करें और शेषफल तक बड़ी संख्या को शेषफल से प्रतिस्थापित करते रहें। अंतिम भाजक HCF है। इसे यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म भी कहा जाता है।

• संबंध सूत्र: किसी भी दो संख्याओं a और b के लिए, LCM(a, b) × HCF(a, b) = a × b। यह शॉर्टकट RRB NTPC MCQs में सोने जैसा है जब चार में से तीन मान ज्ञात हों।

• भिन्नों का LCM/HCF: भिन्नों का HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM; भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF। अंश और हर पर अलग-अलग मानक विधियाँ लागू करें।

• दशमलव का LCM/HCF: दशमलवों को समान दशमलव (दशमलव स्थानों की समान संख्या) में परिवर्तित करें, दशमलव को हटाकर पूर्ण संख्याओं के रूप में मानें, LCM/HCF ज्ञात करें, फिर उसी स्थान पर दशमलव को फिर से सम्मिलित करें।

• सहअभाज्य संख्याएँ: दो संख्याएँ जिनका HCF = 1 (1 को छोड़कर कोई सामान्य गुणनखंड नहीं)। सहअभाज्य के लिए, LCM = संख्याओं का गुणनफल।

Formulas / Key Facts

1. LCM × HCF = दो संख्याओं का गुणनफल (a × b) — जब कोई भी तीन मात्राएँ ज्ञात हों तो चौथी को खोजने के लिए उपयोग करें। 2. अभाज्य गुणनखंड द्वारा HCF = सामान्य अभाज्य संख्याओं का गुणनफल जो सभी संख्याओं में मौजूद सबसे छोटी घात तक उठाई जाती है। 3. अभाज्य गुणनखंड द्वारा LCM = सभी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल जो किसी भी संख्या में मौजूद सबसे बड़ी घात तक उठाई जाती है। 4. भिन्नों का HCF = (अंशों का HCF) / (हरों का LCM)। 5. भिन्नों का LCM = (अंशों का LCM) / (हरों का HCF)। 6. दशमलव के लिए: दशमलव स्थानों को बराबर करें, परिणामी पूर्णांकों का LCM/HCF ज्ञात करें, दशमलव बिंदु को मूल स्थिति पर रखें। 7. तीन संख्याओं a, b, c का LCM: पहले LCM(a, b) ज्ञात करें, फिर LCM(परिणाम, c) ज्ञात करें। HCF के लिए इसी तरह। 8. यदि a और b का HCF h है, तो a और b को a = hm और b = hn के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ m और n सहअभाज्य हैं।

Worked Examples

Example 1: 72 और 120 का HCF और LCM ज्ञात करें

*Step 1:* प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में व्यक्त करें।

• 72 = 2³ × 3²
• 120 = 2³ × 3¹ × 5¹

*Step 2:* HCF = सामान्य अभाज्य संख्याओं का गुणनफल सबसे छोटी घात के साथ = 2³ × 3¹ = 8 × 3 = 24

*Step 3:* LCM = सभी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल सबसे बड़ी घात के साथ = 2³ × 3² × 5¹ = 8 × 9 × 5 = 360

*सत्यापन:* LCM × HCF = 360 × 24 = 8640; गुणनफल = 72 × 120 = 8640 ✓

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Example 2: 2/3, 4/9, और 5/6 का LCM और HCF ज्ञात करें

*Step 1:* अंश (2, 4, 5) और हर (3, 9, 6) की पहचान करें।

*Step 2:* अंशों का LCM = LCM(2, 4, 5) = 20

*Step 3:* अंशों का HCF = HCF(2, 4, 5) = 1

*Step 4:* हरों का LCM = LCM(3, 9, 6) = 18

*Step 5:* हरों का HCF = HCF(3, 9, 6) = 3

*Step 6:* भिन्नों का HCF = 1/18; भिन्नों का LCM = 20/3

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Example 3: तीन घंटियाँ 12, 15, और 20 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे 8:00 AM पर एक साथ बजती हैं, तो वे फिर से एक साथ कब बजेंगी?

*पहचानें:* "फिर से एक साथ" = सभी चक्र संरेखित हों = LCM समस्या

*Step 1:* LCM(12, 15, 20) ज्ञात करें।

• 12 = 2² × 3
• 15 = 3 × 5
• 20 = 2² × 5
• LCM = 2² × 3 × 5 = 60 मिनट

*Step 2:* वे हर 60 मिनट = 1 घंटा एक साथ बजती हैं।

*उत्तर:* अगली बार एक साथ बजेंगी 9:00 AM पर।

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Example 4: सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 285 और 1249 को विभाजित करती है, क्रमशः 9 और 7 शेषफल छोड़ते हुए।

*पहचानें:* "सबसे बड़ी संख्या जो शेषफल छोड़ते हुए विभाजित करती है" = शेषफल हटाने के बाद HCF समस्या।

*Step 1:* शेषफल घटाएँ: 285 – 9 = 276; 1249 – 7 = 1242

*Step 2:* HCF(276, 1242) ज्ञात करें।

• 276 = 2² × 3 × 23
• 1242 = 2 × 3³ × 23
• HCF = 2 × 3 × 23 = 138

*उत्तर:* सबसे बड़ी संख्या है 138।

Common Mistakes

गलती 1: शब्द समस्याओं में LCM और HCF को लेकर भ्रम। "फिर से मिलने का कम से कम समय" के लिए LCM की आवश्यकता है, लेकिन छात्र HCF का उपयोग करते हैं। सुधार: मुख्य शब्द महत्वपूर्ण हैं — "एक साथ/एक ही समय में/कम से कम" → LCM; "अधिकतम/सबसे बड़ा/सबसे बड़ा भाग" → HCF।

गलती 2: तीन या अधिक संख्याओं पर सूत्र LCM × HCF = a × b लागू करना। सुधार: यह सूत्र केवल दो संख्याओं के लिए काम करता है। तीन संख्याओं के लिए, चरण-दर-चरण गणना करें या अभाज्य गुणनखंड का उपयोग करें।

गलती 3: भिन्न LCM/HCF में, अंश और हर संचालन को स्वैप करना। सुधार: याद रखें: भिन्नों का HCF = (अंश का HCF) / (हर का LCM); भिन्नों का LCM = (अंश का LCM) / (हर का HCF)। जब तक यह स्वचालित न हो जाए तब तक इसे लिखते