दशमलव और भिन्न — RRB NTPC अध्ययन नोट्स

अवलोकन

दशमलव और भिन्न RRB NTPC परीक्षाओं में अंकगणितीय संगणना की रीढ़ हैं। इस विषय से 3–5 सीधे प्रश्नों की अपेक्षा करें, साथ ही Percentage, Ratio, समय-और-कार्य, और डेटा व्याख्या समस्याओं में इसके अनुप्रयोग। यहाँ महारत का अर्थ है गति और सटीकता — एक मजबूत उम्मीदवार स्वतः ही रूपों के बीच परिवर्तन करता है और संकोच के बिना संक्रियाएं करता है।

पाठ्यक्रम में अंतरपरिवर्तन (भिन्न ↔ दशमलव), दोनों रूपों पर सभी चार अंकगणितीय संक्रियाएं, जटिल अभिव्यक्तियों का सरलीकरण, और भिन्नात्मक/दशमलव मात्राओं की तुलना में प्रवाहिता आवश्यक है। अधिकांश त्रुटियाँ गलत दशमलव बिंदु, अनुचित हर प्रबंधन, और लापरवाही से सरलीकरण से आती हैं। इस विषय को मौलिक मानें: एक बार यह मजबूत हो जाए, तो यह हर अन्य मात्रात्मक खंड को तेज करता है।

प्रश्न सीधी गणना ("0.125 + 3/8 क्या है?") से लेकर पैसे, माप, या मिश्रण से जुड़ी बहु-चरणीय शब्द समस्याओं तक होते हैं। मुख्य बात यह पहचानना है कि संख्याओं को भिन्न (सटीक उत्तर के लिए) के रूप में रखें या दशमलव (तेजी से अनुमान के लिए)।

मुख्य अवधारणाएँ

• भिन्न प्रतिनिधित्व: एक भिन्न a/b, a को b से विभाजित करने का प्रतिनिधित्व करती है। अंश (a) भाग है; हर (b) पूरा है। उचित भिन्न: a < b। अनुचित भिन्न: a ≥ b। मिश्रित संख्या: पूर्ण संख्या + उचित भिन्न (जैसे, 2 3/4)।

• दशमलव प्रतिनिधित्व: एक दशमलव भिन्नों को 10, 100, 1000 आदि हरों के साथ लिखने का एक अन्य तरीका है। दशमलव बिंदु पूरे भाग (बाएं) को भिन्नात्मक भाग (दाएं) से अलग करता है। दाईं ओर प्रत्येक स्थान पिछली एक दसवां है: दसवें (0.1), सौवें (0.01), हजारवें (0.001)।

• भिन्न → दशमलव रूपांतरण: अंश को हर से विभाजित करें। उदाहरण: 3/4 = 3 ÷ 4 = 0.75। समाप्त दशमलव समाप्त होते हैं (जैसे 0.5, 0.125); गैर-समाप्त दशमलव हमेशा दोहराते हैं (जैसे 1/3 = 0.333...)।

• दशमलव → भिन्न रूपांतरण: दशमलव को हर 10, 100, 1000 (दशमलव स्थानों पर निर्भर) के साथ भिन्न के रूप में लिखें, फिर सरल बनाएं। उदाहरण: 0.6 = 6/10 = 3/5। दोहराए जाने वाले दशमलव के लिए, बीजगणितीय विधि का उपयोग करें (RRB में कम आम लेकिन जानने के लिए अच्छा)।

• समान और असमान भिन्न: समान हर वाली भिन्नें समान भिन्न हैं (सीधे जोड़/घटा सकते हैं)। असमान भिन्नों को पहले एक सामान्य हर की आवश्यकता है (आमतौर पर हरों का LCM)।

• सरलीकरण: अंश और हर को उनके HCF से विभाजित करके हमेशा भिन्नों को निम्नतम पदों में कम करें। दशमलव के लिए, दशमलव बिंदु के बाद पिछले शून्य को हटाएं (जैसे, 2.500 = 2.5)।

• संक्रियाओं का क्रम: BODMAS भिन्न और दशमलव दोनों पर लागू होता है। पहले कोष्ठक सरल करें, फिर विभाजन/गुणन (बाएं से दाएं), फिर जोड़/घटाव (बाएं से दाएं)।

• मानों की तुलना: भिन्नों की तुलना करने के लिए, क्रॉस-गुणा करें या दशमलव में परिवर्तित करें। दशमलवों की तुलना करने के लिए, दशमलव बिंदुओं को संरेखित करें और बाएं से दाएं अंक-दर-अंक तुलना करें।

सूत्र / मुख्य तथ्य

• भिन्नों का जोड़/घटाव: हरों को बराबर बनाएं (LCM), फिर अंशों को जोड़ें/घटाएं: a/b + c/d = (ad + bc)/bd। हमेशा परिणाम को सरल बनाएं।

• भिन्नों का गुणन: अंशों को एक साथ गुणा करें और हरों को एक साथ गुणा करें: (a/b) × (c/d) = ac/bd। कार्य को सरल बनाने के लिए गुणा से पहले सामान्य गुणनखंड को रद्द करें।

• भिन्नों का विभाजन: पारस्परिक से गुणा करें: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = ad/bc।

• दशमलवों का जोड़/घटाव: दशमलव बिंदुओं को लंबवत संरेखित करें, फिर पूर्ण संख्याओं की तरह जोड़/घटाएं। सामान्य रूप से carry/borrow; उत्तर में दशमलव बिंदु संरेखित रहता है।

• दशमलवों का गुणन: दशमलव बिंदुओं को अनदेखा करते हुए पूर्ण संख्याओं के रूप में गुणा करें, फिर दोनों संख्याओं में कुल दशमलव स्थानों को गिनें और उत्पाद में दशमलव को तदनुसार रखें।

• दशमलवों का विभाजन: भाजक को दशमलव बिंदु को दाईं ओर स्थानांतरित करके एक पूर्ण संख्या में परिवर्तित करें (भाज्य के दशमलव को समान संख्या में स्थान स्थानांतरित करें), फिर सामान्य रूप से विभाजित करें।

• सामान्य भिन्न-दशमलव समतुल्य: 1/2 = 0.5; 1/4 = 0.25; 3/4 = 0.75; 1/5 = 0.2; 1/8 = 0.125; 1/10 = 0.1; 1/3 = 0.333...; 2/3 = 0.666...; 1/6 = 0.1666...

• मिश्रित संख्या रूपांतरण: अनुचित भिन्न में परिवर्तित करें: a b/c = (ac + b)/c। वापस परिवर्तित करें: अंश को हर से विभाजित करें; भागफल पूर्ण भाग है, शेष को हर से अधिक भिन्न है।

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: 0.75 + 5/8 को सरल बनाएं।

*समाधान*: सामान्य रूप में परिवर्तित करें। 0.75 = 75/100 = 3/4। अब 3/4 + 5/8। LCM(4,8) = 8। रूपांतरित करें: 3/4 = 6/8। जोड़ें: 6/8 + 5/8 = 11/8 = 1 3/8 या 1.375।

उदाहरण 2: 2.5 × 1.2 की गणना करें।

*समाधान*: दशमलवों को अनदेखा करें: 25 × 12 = 300। दशमलव स्थानों को गिनें: 2.5 में 1 है, 1.2 में 1 है → कुल 2 स्थान। परिणाम: 3.00 = 3।

उदाहरण 3: 3/5 को 4/7 से विभाजित करें।

*समाधान*: पारस्परिक से गुणा करें: (3/5) × (7/4) = 21/20 = 1 1/20 या 1.05।

उदाहरण 4: आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 0.6, 5/8, 0.58।

*समाधान*: सभी को दशमलव में परिवर्तित करें: 0.6 = 0.600, 5/8 = 0.625, 0.58 = 0.580। तुलना करें: 0.58 < 0.6 < 0.625। क्रम: 0.58, 0.6, 5/8।

उदाहरण 5: (2/3 + 1/6) ÷ 1/2 को सरल बनाएं।

*समाधान*: पहला कोष्ठक: LCM(3,6) = 6। 2/3 = 4/6। तो 4/6 + 1/6 = 5/6। अब विभाजित करें: (5/6) ÷ (1/2) = (5/6) × 2 = 10/6 = 5/3 = 1 2/3।

सामान्य त्रुटियाँ

• गुणन/विभाजन में दशमलव बिंदु को गलत जगह रखना: छात्र कुल दशमलव स्थानों को गिनना भूल जाते हैं या गलत तरीके से स्थानांतरित करते हैं। *सुधार*: ऑपरेशन से पहले और बाद में हमेशा दशमलव स्थानों को गिनें; अनुमान द्वारा दोबारा जांचें (जैसे, 2.5 × 1.2 को 3 के पास होना चाहिए, 30 नहीं)।

• सामान्य हर के बिना भिन्नों को जोड़ना/घटाना: सीधे अंशों और हरों को जोड़ना (जैसे, 1/2 + 1/3 ≠ 2/5)। *सुधार*: हमेशा पहले हरों का LCM खोजें, दोनों भिन्नों को परिवर्तित करें, फिर केवल अंशों को जोड़ें/घटाएं।

• अंतिम उत्तरों को सरल बनाना भूल जाना: 4/8 को 1/2 के बजाय या 0.500 को 0.5 के बजाय छोड़ना। *सुधार*: भिन्नों के लिए सरलीकरण को एक प्रतिक्रिया बनाएं — HCF को रद्द करें, दशमलवों के लिए पिछले शून्यों को हटाएं।

• भिन्नों को गलत तरीके से विभाजित करना: पारस्परिक का उपयोग करने के बजाय अंशों और हरों को अलग से विभाजित करने का प्रयास करना। *सुधार*: नियम याद रखें: वि