संख्याएँ

अवलोकन

संख्याएँ गणित की नींव बनाती हैं और AP TET गणित खंड का एक मुख्य घटक हैं। यह विषय पूर्ण संख्याओं, पूर्णांकों, स्थान मान प्रणाली, विभाज्यता नियमों, और HCF तथा LCM ज्ञात करने की विधियों की आपकी समझ का परीक्षण करता है—ये अवधारणाएँ हैं जिन्हें प्राथमिक विद्यालय के शिक्षकों को युवा शिक्षार्थियों को स्पष्ट रूप से समझानी चाहिए।

AP TET Paper I (कक्षा 1-5) और Paper II (कक्षा 6-8) के लिए, इस विषय से सीधे 3-5 प्रश्नों की अपेक्षा करें। प्रश्न आमतौर पर कम्प्यूटेशनल कौशल, संख्या गुणों की वैचारिक समझ, और विभाज्यता नियमों को तेजी से लागू करने की क्षमता का परीक्षण करते हैं। यहाँ महारत भिन्न, दशमलव और अंकगणितीय संक्रियाओं जैसे संबंधित विषयों को भी समर्थन देती है।

छात्रों को प्रक्रियात्मक गणनाओं (HCF/LCM खोजना) और वैचारिक प्रश्नों (एक संख्या कुछ कारकों से क्यों विभाज्य है) दोनों में आरामदायक होना चाहिए। मानसिक गणित में गति और सटीकता महत्वपूर्ण होगी।

मुख्य अवधारणाएँ

• प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू होने वाली गिनती संख्याएँ हैं (1, 2, 3, ...)। पूर्ण संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के साथ शून्य को शामिल करती हैं (0, 1, 2, 3, ...)।

• पूर्णांक पूर्ण संख्याओं को नकारात्मक संख्याओं को शामिल करने के लिए विस्तारित करते हैं (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...)। हर पूर्ण संख्या एक पूर्णांक है, लेकिन हर पूर्णांक एक पूर्ण संख्या नहीं है।

• स्थान मान एक अंक को उसकी स्थिति के आधार पर एक मान प्रदान करता है। 5,847 में, अंक 5 का स्थान मान 5,000 (हजार स्थान) है, जबकि अंकित मान 5 ही रहता है।

• विभाज्यता का अर्थ है कि एक संख्या दूसरी को शेषफल के बिना बिल्कुल विभाजित करती है। यदि a, b को बिल्कुल विभाजित करता है, तो हम a | b लिखते हैं।

• कारक वे संख्याएँ हैं जो किसी दी गई संख्या को बिल्कुल विभाजित करती हैं। गुणज एक संख्या के प्राकृतिक संख्याओं के साथ गुणन हैं।

• HCF (उच्चतम सामान्य कारक) वह सबसे बड़ी संख्या है जो दो या अधिक संख्याओं को बिल्कुल विभाजित करती है। इसे GCD (सबसे बड़ा सामान्य विभाजक) भी कहा जाता है।

• LCM (लघुत्तम सामान्य गुणज) वह सबसे छोटी संख्या है जो दो या अधिक दी गई संख्याओं से विभाज्य है।

• HCF और LCM के बीच संबंध: किन्हीं दो संख्याओं a और b के लिए, HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b।

सूत्र / मुख्य तथ्य

स्थान मान प्रणाली (भारतीय): | स्थान | मान | |-------|-------| | इकाई | 1 | | दहाई | 10 | | सैकड़ा | 100 | | हजार | 1,000 | | दस हजार | 10,000 | | लाख | 1,00,000 | | दस लाख | 10,00,000 | | करोड़ | 1,00,00,000 |

विभाज्यता नियम:

• 2 से: अंतिम अंक सम है (0, 2, 4, 6, 8)
• 3 से: अंकों का योग 3 से विभाज्य है
• 4 से: अंतिम दो अंक 4 से विभाज्य संख्या बनाते हैं
• 5 से: अंतिम अंक 0 या 5 है
• 6 से: 2 और 3 दोनों से विभाज्य है
• 8 से: अंतिम तीन अंक 8 से विभाज्य संख्या बनाते हैं
• 9 से: अंकों का योग 9 से विभाज्य है
• 10 से: अंतिम अंक 0 है
• 11 से: विषम स्थानों पर अंकों के योग और सम स्थानों पर अंकों के योग का अंतर 0 है या 11 से विभाज्य है

HCF और LCM:

• HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणन
• सहअभाज्य संख्याओं का HCF = 1
• सहअभाज्य संख्याओं का LCM = संख्याओं का गुणन
• एक संख्या और उसके गुणज का HCF = छोटी संख्या
• एक संख्या और उसके गुणज का LCM = बड़ी संख्या

हल किए गए उदाहरण

उदाहरण 1: विभाज्यता परीक्षण *क्या 2,574 को 6 से विभाजित किया जा सकता है?*

चरण 1: 2 से विभाज्यता की जाँच → अंतिम अंक 4 है (सम) ✓ चरण 2: 3 से विभाज्यता की जाँच → अंकों का योग = 2 + 5 + 7 + 4 = 18 चरण 3: क्या 18 को 3 से विभाजित किया जा सकता है? → 18 ÷ 3 = 6 ✓ चूँकि 2 और 3 दोनों से विभाज्य है, 2,574 को 6 से विभाजित किया जा सकता है।

उदाहरण 2: अभाज्य गुणनखंड द्वारा HCF खोजना *48 और 72 का HCF खोजें।*

चरण 1: 48 का अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹ चरण 2: 72 का अभाज्य गुणनखंड = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3² चरण 3: HCF = सामान्य अभाज्य संख्याओं का गुणन न्यूनतम घातों के साथ = 2³ × 3¹ = 8 × 3 = 24

उदाहरण 3: LCM खोजना *12, 15 और 20 का LCM खोजें।*

चरण 1: अभाज्य गुणनखंड:

• 12 = 2² × 3
• 15 = 3 × 5
• 20 = 2² × 5

चरण 2: LCM = सभी अभाज्य संख्याओं का गुणन उच्चतम घातों के साथ = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60

उदाहरण 4: HCF-LCM संबंध का उपयोग करना *दो संख्याओं का HCF 12 है और उनका LCM 180 है। यदि एक संख्या 36 है, तो दूसरी खोजें।*

उपयोग करते हुए: HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणन 12 × 180 = 36 × दूसरी संख्या 2160 = 36 × दूसरी संख्या दूसरी संख्या = 2160 ÷ 36 = 60

सामान्य गलतियाँ

• स्थान मान को अंकित मान के साथ भ्रमित करना → स्थान मान स्थिति पर निर्भर करता है (472 में 7 का स्थान मान 70 है), जबकि अंकित मान अंक ही है (7)। हमेशा पहचानें कि प्रश्न क्या माँगता है।

• 4 के विभाज्यता नियम को पूरी संख्या पर लागू करना → केवल अंतिम दो अंक 4 से विभाज्यता के लिए महत्वपूर्ण हैं। 3,128 के लिए, जाँचें कि क्या 28 को 4 से विभाजित किया जा सकता है (हाँ, 28 ÷ 4 = 7), पूरी संख्या को नहीं।

• HCF के लिए उच्चतम घातें लेना न्यूनतम के बजाय → HCF सामान्य कारकों को न्यूनतम घातों के साथ उपयोग करता है; LCM सभी कारकों को उच्चतम घातों के साथ उपयोग करता है। इसे उलट दें और आप उत्तर स्वैप कर देंगे।

• यह भूल जाना कि HCF × LCM = a × b केवल दो संख्याओं के लिए काम करता है → यह संबंध तीन या अधिक संख्याओं तक सीधे विस्तारित नहीं होता है। तीन संख्याओं के लिए, युग्मवार HCF को शामिल करने वाले सूत्र का उपयोग करें।

• मानना कि सभी पूर्णांक पूर्ण संख्याएँ हैं → ऋणात्मक पूर्णांक मौजूद हैं। जब कोई प्रश्न पूछता है "-5 और 5 के बीच कितने पूर्णांक हैं," नकारात्मक और संभवतः शून्य को शामिल करें, यह इस पर निर्भर करता है कि क्या अंतबिंदु शामिल हैं।

त्वरित संदर्भ

• पूर्ण संख्याएँ = 0, 1, 2, 3, ... (शून्य शामिल; कोई नकारात्मक नहीं)
• पूर्णांक = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... (नकारात्मक शामिल हैं)
• 6 से विभाज्यता = 2 और 3 दोनों द्वारा विभाज्यता परीक्षण पास करना चाहिए
• HCF: सामान्य अभाज्य, न्यूनतम घातें; LCM: सभी अभाज्य, उच्चतम घातें
• HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b
• दो क्रमागत संख्याएँ हमेशा सहअभाज्य होती हैं (HCF = 1)