अंकगणित
प्रतिशत, अनुपात-समानुपात, लाभ-हानि और ब्याज
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अवलोकन
अंकगणित AP TET Paper I और Paper II में मात्रात्मक योग्यता की रीढ़ है। यह विषय प्रतिशत, अनुपात, लाभ-हानि की गणना और ब्याज संगणना से जुड़ी दैनंदिन संख्यात्मक समस्याओं को संभालने की आपकी क्षमता का परीक्षण करता है—ये कौशल प्राथमिक और उच्च प्राथमिक स्तर पर गणित पढ़ाने के लिए आवश्यक हैं।
इस खंड से प्रश्न परीक्षा के गणित सामग्री भाग में लगातार आते हैं। परीक्षक केवल गणना की गति का नहीं, बल्कि वैचारिक स्पष्टता का भी परीक्षण करते हैं—क्या आप समझते हैं कि "25% का" वास्तव में क्या मतलब है या साधारण ब्याज चक्रवृद्धि ब्याज से कैसे अलग है। यहाँ महारत आपकी शिक्षा प्रतिक्रियाओं को भी मजबूत करती है, क्योंकि आपको इन अवधारणाओं को युवा शिक्षार्थियों को समझाने की आवश्यकता होगी।
मानसिक गणित के शॉर्टकट बनाने, शब्द-समस्या पैटर्न को समझने और प्रतिशत-से-भिन्न रूपांतरण और अनुपात हेराफेरी में सामान्य त्रुटियों से बचने पर ध्यान दें।
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मुख्य अवधारणाएँ
- Percentage का मतलब "प्रति सौ" है: x% = x/100। प्रतिशत, भिन्न और दशमलव के बीच रूपांतरण आधारभूत है (जैसे, 25% = 1/4 = 0.25)।
- Ratio दो राशियों के बीच संबंध व्यक्त करता है एक ही इकाई में। a:b या a/b के रूप में लिखा जाता है। Ratios के कोई इकाई नहीं होती; वे परिमाण की तुलना करते हैं।
- Proportion बताता है कि दो अनुपात बराबर हैं: यदि a:b = c:d, तो a×d = b×c (cross-multiplication नियम)।
- लागत मूल्य (CP) वह है जो आप भुगतान करते हैं; विक्रय मूल्य (SP) वह है जो आप प्राप्त करते हैं। लाभ या हानि हमेशा CP पर गणना की जाती है जब तक अन्यथा कहा न जाए।
- साधारण ब्याज (SI) मूल मूलधन पर ही गणना की जाती है: SI = (P × R × T)/100।
- चक्रवृद्धि ब्याज (CI) मूलधन और संचित ब्याज पर गणना की जाती है। Amount A = P(1 + R/100)^T।
- क्रमागत प्रतिशत सरलता से जोड़ नहीं होते। 10% की वृद्धि के बाद 10% की कमी मूल में वापसी नहीं करती—इसका परिणाम 1% की शुद्ध कमी होती है।
- विभाजन अनुपात समस्याओं के लिए समझना आवश्यक है कि यदि एक योग S को a:b के अनुपात में विभाजित किया जाता है, तो भाग S×a/(a+b) और S×b/(a+b) हैं।
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सूत्र / मुख्य तथ्य
| अवधारणा | सूत्र / तथ्य | |---------|----------------| | प्रतिशत से भिन्न | x% = x/100 | | संख्या N का x% ज्ञात करना | (x/100) × N | | प्रतिशत वृद्धि | [(New − Old)/Old] × 100 | | प्रतिशत कमी | [(Old − New)/Old] × 100 | | अनुपात a:b भिन्न के रूप में | a/(a+b) और b/(a+b) पूरे का | | समानुपात (cross-multiply) | यदि a:b = c:d, तो ad = bc | | लाभ | SP − CP (जब SP > CP) | | हानि | CP − SP (जब CP > SP) | | लाभ % | (Profit/CP) × 100 | | हानि % | (Loss/CP) × 100 | | SP जब लाभ % दिया हो | SP = CP × (100 + Profit%)/100 | | SP जब हानि % दिया हो | SP = CP × (100 − Loss%)/100 | | साधारण ब्याज | SI = (P × R × T)/100 | | Amount (SI) | A = P + SI = P(1 + RT/100) | | चक्रवृद्धि ब्याज Amount | A = P(1 + R/100)^T | | CI | CI = A − P |
मुख्य भिन्न-प्रतिशत तुल्यता (याद रखें):
- 1/2 = 50%, 1/3 ≈ 33.33%, 1/4 = 25%, 1/5 = 20%, 1/8 = 12.5%, 1/6 ≈ 16.67%
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हल किए गए उदाहरण
### उदाहरण 1: Percentage समस्या एक संख्या में 20% की वृद्धि की जाती है और फिर 20% की कमी की जाती है। शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात करें।
Step 1: मूल संख्या = 100। Step 2: 20% वृद्धि के बाद = 100 + 20 = 120। Step 3: 120 पर 20% की कमी = 120 − (120 का 20%) = 120 − 24 = 96। Step 4: शुद्ध परिवर्तन = 100 − 96 = 4 (कमी)। Step 5: शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन = (4/100) × 100 = 4% कमी।
*Shortcut*: +a% और −a% के क्रमागत परिवर्तन के लिए, शुद्ध परिवर्तन = −(a²/100)% = −(400/100)% = −4%।
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### उदाहरण 2: Ratio और Proportion ₹1800 को A और B के बीच 2:3 के अनुपात में विभाजित करें। प्रत्येक को कितना मिलता है?
Step 1: कुल भाग = 2 + 3 = 5। Step 2: A का हिस्सा = (2/5) × 1800 = ₹720। Step 3: B का हिस्सा = (3/5) × 1800 = ₹1080।
उत्तर: A को ₹720 मिलता है, B को ₹1080 मिलता है।
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### उदाहरण 3: लाभ और हानि एक दुकानदार ₹400 के लिए एक वस्तु खरीदता है और इसे 15% के लाभ पर बेचता है। विक्रय मूल्य ज्ञात करें।
Step 1: लाभ % = 15, CP = ₹400। Step 2: SP = CP × (100 + लाभ%)/100 = 400 × 115/100 = 400 × 1.15 = ₹460।
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### उदाहरण 4: साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज ₹5000 पर 10% प्रति वर्ष की दर से 2 वर्ष के लिए SI और CI ज्ञात करें।
साधारण ब्याज: SI = (5000 × 10 × 2)/100 = ₹1000। Amount = 5000 + 1000 = ₹6000।
चक्रवृद्धि ब्याज: A = 5000 × (1 + 10/100)² = 5000 × (1.1)² = 5000 × 1.21 = ₹6050। CI = 6050 − 5000 = ₹1050।
अंतर: CI − SI = 1050 − 1000 = ₹50।
*Shortcut 2 वर्ष के लिए*: अंतर = P × (R/100)² = 5000 × 0.01 = ₹50।
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सामान्य गलतियाँ
| गलत विचार | सही सुधार | |----------------|-------------| | "20% वृद्धि फिर 20% कमी से 0% परिवर्तन मिलता है" | क्रमागत प्रतिशत परिवर्तन गुणा होते हैं, जोड़ नहीं। सूत्र का उपयोग करें: शुद्ध = a + b + ab/100। यहाँ: 20 − 20 − 4 = −4%। | | लाभ/हानि प्रतिशत की गणना SP पर करना | Profit% और Loss% हमेशा Cost Price पर गणना की जाती हैं जब तक प्रश्न स्पष्ट रूप से अन्यथा न कहे। | | संयोजन करते समय अनुपात सीधे जोड़ना | आप 2:3 और 1:2 को 3:5 के रूप में नहीं जोड़ सकते। पहले सामान्य हरक्षेत्र के साथ भिन्न में बदलें या पहले वास्तविक मात्राएँ खोजें। | | SI सूत्र को CI सूत्र से भ्रमित करना | SI सरल गुणन (P×R×T/100) का उपयोग करता है। CI (1 + R/100)^T के साथ power सूत्र का उपयोग करता है। आपस में न बदलें। | | समय को वर्षों में रूपांतरित करना भूलना | यदि समय महीने में है, तो 12 से विभाजित करें। 10% p.a. पर 6 महीने के लिए, T = 6 नहीं बल्कि 0.5 का उपयोग करें। |
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त्वरित संदर्भ
- N का x% = (x × N)/100 — हमेशा 100 से विभाजित करें।
- क्रमागत % परिवर्तन (a%, फिर b%): शुद्ध = a + b + (ab/100)।
- लाभ % = (Profit/CP) × 100 — कभी SP पर नहीं।
- SI = PTR/100 — रैखिक वृद्धि; CI (1 + R/100)^T का उपयोग करता है — घातीय वृद्धि।
- Ratio a:b → भाग कुल का a/(a+b) और b/(a+b) हैं।
- 2-वर्ष के लिए CI−SI अंतर: P × (R/100)²।