पूर्ण संख्याएँ, भिन्न और दशमलव — अध्ययन नोट्स
अवलोकन
पूर्ण संख्याएँ, भिन्न और दशमलव UPSSSC PET में प्रारंभिक अंकगणित की बिल्कुल नींव हैं। यहाँ महारत का अर्थ है गति और सटीकता—ऐसी प्रतियोगी परीक्षा में दो महत्वपूर्ण लाभ, जहाँ हर सेकंड मायने रखता है।
आपको तीनों संख्या प्रकारों में चार मूल संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) में धाराप्रवाह होना चाहिए। परीक्षा आपकी भिन्नों और दशमलवों के बीच परिवर्तन करने की क्षमता, संख्याओं के मिश्रित समुच्चय को क्रमित करने, दशमलवों में स्थानीय मान को समझने, और इन कौशलों को शाब्दिक प्रश्नों में लागू करने का परीक्षण करती है। प्रश्न सीधी गणना से लेकर मुश्किल तुलना समस्याओं तक होते हैं जो लापरवाही की गलतियों को पकड़ने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं।
अधिकांश PET अंकगणित प्रश्न लंबी लिखित गणनाओं की तुलना में पैटर्न पहचान और मानसिक गणित को अधिक महत्व देते हैं। सहज ज्ञान बनाने में समय व्यतीत करें: सामान्य भिन्न-दशमलव जोड़ियों को पहचानें (½ = 0.5, ¼ = 0.25, ⅓ = 0.333..., ⅕ = 0.2), मिश्रित संख्या समुच्चयों को जल्दी क्रमित करने का अभ्यास करें, और दशमलव बिंदु की त्रुटियों से बचने के लिए स्थानीय मान का बार-बार अभ्यास करें।
मुख्य अवधारणाएँ
- पूर्ण संख्याएँ समुच्चय {0, 1, 2, 3, ...} हैं। इनमें शून्य और सभी धनात्मक पूर्णांक शामिल हैं। कोई भिन्न नहीं, कोई ऋणात्मक नहीं। संक्रियाएँ मानक अंकगणित नियमों का पालन करती हैं: क्रमविनिमेय (a + b = b + a), साहचर्य ((a + b) + c = a + (b + c)), और वितरणीय (a × (b + c) = a×b + a×c)।
- भिन्न किसी पूर्ण के भागों का प्रतिनिधित्व करती हैं, जिन्हें अंश/हर के रूप में लिखा जाता है। उचित भिन्नों में अंश < हर होता है (⅗)। अनुचित भिन्नों में अंश ≥ हर होता है (⁷⁄₅)। मिश्रित संख्याएँ एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न को जोड़ती हैं (1⅖ = ⁷⁄₅)।
- समान भिन्न एक ही हर वाली होती हैं और इन्हें सीधे जोड़ा/घटाया जा सकता है। असमान भिन्नों में संक्रियाओं से पहले एक सामान्य हर (आमतौर पर हरों का LCM) ज्ञात करना होता है।
- दशमलव आधार-10 स्थानीय मान का उपयोग करके भिन्नों का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका है। दशमलव बिंदु पूर्ण भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करता है। दशमलव के दाईं ओर प्रत्येक स्थिति पिछली स्थिति का 1/10 है: दशांश (0.1), शतांश (0.01), सहस्रांश (0.001)।
- सांत दशमलव सीमित संख्या में अंकों के बाद समाप्त होते हैं (0.75 = ¾)। अनंत आवर्ती दशमलव में एक पैटर्न होता है जो हमेशा दोहराया जाता है (⅓ = 0.333..., ¹¹⁄₉₉ = 0.111...)।
- स्थानीय मान किसी अंक के स्थान द्वारा उसके मूल्य को निर्धारित करता है। 3425.67 में: 3 हज़ार स्थान में है (3000), 4 सौ स्थान में (400), 2 दस स्थान में (20), 5 इकाई स्थान में (5), 6 दशांश स्थान में (0.6), 7 शतांश स्थान में (0.07)।
- क्रमण का अर्थ है संख्याओं को सबसे छोटे से सबसे बड़े (आरोही) या सबसे बड़े से सबसे छोटे (अवरोही) में व्यवस्थित करना। भिन्नों और दशमलवों के मिश्रित समुच्चयों के लिए, पहले सभी को एक ही रूप में परिवर्तित करें।
- रूपांतरण युक्ति: भिन्न से दशमलव—अंश में हर से भाग दें। दशमलव से भिन्न—दशमलव अंकों को अंश के रूप में लिखें, स्थानीय मान को हर के रूप में लिखें, फिर सरल करें (0.125 = 125/1000 = ⅛)।
सूत्र / मुख्य तथ्य
भिन्नों के साथ संक्रियाएँ:
- जोड़/घटाव: a/b ± c/d = (ad ± bc)/bd। समान हर के लिए: a/b ± c/b = (a ± c)/b।
- गुणा: (a/b) × (c/d) = ac/bd। सरल करने के लिए गुणा से पहले उभयनिष्ठ गुणनखंडों को काट दें।
- भाग: (a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c) = ad/bc। "उलटा करें और गुणा करें।"
- मिश्रित से अनुचित: 2³⁄₅ = (2×5 + 3)/5 = 13/5।
- अनुचित से मिश्रित: अंश में हर से भाग दें; भागफल पूर्ण भाग है, शेषफल नया अंश है।
दशमलवों के साथ संक्रियाएँ:
- जोड़/घटाव: दशमलव बिंदुओं को लंबवत संरेखित करें, फिर स्तंभ-वार संक्रिया करें।
- गुणा: दशमलवों को अनदेखा करें, पूर्ण संख्याओं के रूप में गुणा करें, फिर दशमलव बिंदु रखें। उत्तर में कुल दशमलव स्थान = गुणनखंडों में दशमलव स्थानों का योग।
- भाग: भाजक को पूर्ण संख्या बनाने के लिए उसका दशमलव बिंदु खिसकाएँ, भाज्य का दशमलव बिंदु भी उतने ही स्थान खिसकाएँ, फिर भाग दें।
स्थानीय मान: संख्या 456.789 में — 4 सौ स्थान में है (400), 5 दस स्थान में (50), 6 इकाई स्थान में (6), 7 दशांश स्थान में (0.7), 8 शतांश स्थान में (0.08), 9 सहस्रांश स्थान में (0.009)।
सामान्य परिवर्तन:
- ½ = 0.5, ¼ = 0.25, ¾ = 0.75, ⅕ = 0.2, ⅖ = 0.4, ⅗ = 0.6, ⅘ = 0.8, ⅓ = 0.333..., ⅔ = 0.666..., ⅙ = 0.1666..., ⅛ = 0.125, ⅜ = 0.375, ⅝ = 0.625, ⅞ = 0.875, 1/10 = 0.1, 1/100 = 0.01।
क्रमण नियम: समान अंश वाली भिन्नों के लिए, बड़ा हर = छोटी भिन्न। समान हर के लिए, बड़ा अंश = बड़ी भिन्न। मिश्रित समुच्चयों के लिए, सभी को दशमलवों में या सभी को सामान्य हर वाली भिन्नों में परिवर्तित करें।
हल किए गए उदाहरण
उदाहरण 1: असमान भिन्नों को जोड़ें ⅔ + ⅗ की गणना करें।
समाधान: हरों 3 और 5 का LCM खोजें: LCM(3,5) = 15। प्रत्येक भिन्न को परिवर्तित करें: ⅔ = 10/15, ⅗ = 9/15। जोड़ें: 10/15 + 9/15 = 19/15 = 1⁴⁄₁₅। उत्तर: 1⁴⁄₁₅ या 1.2666...
उदाहरण 2: दशमलवों को गुणा करें 2.5 × 1.3 की गणना करें।
समाधान: दशमलवों को अनदेखा करें: 25 × 13 = 325। दशमलव स्थान गिनें: 2.5 में 1 स्थान है, 1.3 में 1 स्थान है → कुल 2 स्थान। दशमलव रखें: 325 → 3.25। उत्तर: 3.25
उदाहरण 3: परिवर्तित करें और क्रमित करें आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 0.8, ⅔, ⅗, 0.75।
समाधान: भिन्नों को दशमलवों में परिवर्तित करें: ⅔ ≈ 0.6667, ⅗ = 0.6, 0.75 = 0.75, 0.8 = 0.8। क्रमित करें: 0.6 < 0.6667 < 0.75 < 0.8। उत्तर: ⅗, ⅔, 0.75, 0.8।
उदाहरण 4: भिन्नों का भाग (⅘) ÷ (⅖) को हल करें।
समाधान: दूसरी भिन्न को उलटा करें और गुणा करें: (⅘) × (⁵⁄₂) = (4×5)/(5×2) = 20/10 = 2। उत्तर: 2
सामान्य गलतियाँ
गलती 1: सामान्य हर के बिना भिन्नों को जोड़ना/घटाना। गलत: ½ + ⅓ = (1+1)/(2+3) = ⅖। यह गलत बीजगणित है। सुधार: हरों का LCM खोजें (6)। परिवर्तित करें: ½ = ³⁄₆, ⅓ = ²⁄₆। जोड़ें: ³⁄₆ + ²⁄₆ = ⁵⁄₆।
गलती 2: गुणा में दशमलव बिंदु को गलत स्थान पर रखना। गलत: 1.2 × 3.4 = 408 (12 × 34 = 408 मानकर)। सुधार: 12 × 34 = 408, लेकिन 1.2 में 1 दशमलव स्थान है, 3.4 में 1 दशमलव स्थान है → कुल 2 स्थान → 4.08।
गलती 3: भिन्नों के भाग को गुणा के साथ भ्रमित करना। गलत: (⅗) ÷ (⅔) = (3×2)/(5×3) = ⅖। सुधार: दूसरी भिन्न को उलटा करें: (⅗) × (³⁄₂) = 9/10 = 0.9।
गलती 4: भिन्नों को केवल अंश या हर से क्रमित करना। गलत: यह सोचना कि ⅔ > ¾ क्योंकि 3 > 2। सुधार: सामान्य हर या दशमलवों में परिवर्तित करें। ⅔ = 8/12, ¾ = 9/12। तो ¾ > ⅔।
गलती 5: भिन्नों को सरल करना भूल जाना। गलत: 12/16 को ¾ के बजाय उत्तर के रूप में छोड़ना। सुधार: हमेशा अंश और हर में महत्तम समापवर्तक (GCD) से भाग देकर भिन्न को न्यूनतम रूप में सरल करें (यहाँ, 4)।
त्वरित संदर्भ
- भिन्न → दशमलव: अंश में हर से भाग दें।
- दशमलव → भिन्न: दशमलव अंकों को अंश और स्थानीय मान को हर के रूप में लिखें, सरल करें।
- मिश्रित → अनुचित: पूर्ण भाग को हर से गुणा करें, अंश जोड़ें।
- अनुचित → मिश्रित: अंश में हर से भाग दें; भागफल = पूर्ण, शेषफल/हर = भिन्न।
- भिन्नों को जोड़ें/घटाएँ: सामान्य हर (LCM) में परिवर्तित करें, फिर अंशों पर संक्रिया करें।
- भिन्नों को गुणा करें: अंशों को गुणा करें, हरों को गुणा करें, सरल करें।
- भिन्नों का भाग: व्युत्क्रम से गुणा करें (दूसरी भिन्न को उलटा करें)।
- दशमलव संक्रियाएँ: दशमलव बिंदुओं को संरेखित करें (जोड़/घटाव); दशमलव स्थान गिनें (गुणा); दशमलव बिंदुओं को स्थानांतरित करें (भाग)।
- क्रमण सुझाव: तेजी से तुलना के लिए सभी को दशमलवों में परिवर्तित करें, या भिन्नों के लिए सामान्य हर खोजें।